Bonjour, 

Je dois encadrer cette suite puis calculer la limite de \({u_n} = \sin (2n) + 1\)

J'ai fais : 

\(\sin (2n) \leqslant 1\) (car n naturel)

\(\sin (2n) + n \leqslant 1 + n\)

Mais le corrigé donne \(\left| {{u_n}} \right| \geqslant n - 1\) , pourquoi la valeur absolue ? 

D'où, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({u_n}) =  + \infty \)

Je dois faire la même chose pour une suite sans trigo, 

\({u_n} = \frac{{n + 1}}{{{n^2} + 1}}\)

\({u_n} < \frac{1}{{n - 1}}\)

J'ai la réponse mais je comprends pas comment encadrer cela.. NB : c'est pour n >2 ici

Merci

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Edité par AntoineRb 1 mars 2015 à 22:43:06

Hello,

Il doit y avoir une erreur, est-ce que tu es sûr que \(u_n = \sin(2n) +1 \) ? Parce que dans ce cas on n'a ni \( |u_n| \geq n-1 \), ni \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} u_n = +\infty \)...

Edit : pour la seconde question, tu devrais comparer n^2 + 1 et n^2 -1 et en conclure quelque chose.

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Edité par melepe 1 mars 2015 à 22:57:32

Pour la limite c'est moi par contre le corrigé me donne cet encadrement

Pour la deuxième je suppose que je dois comparé n+1 et n^2 - 1 (et non n^2 +1) ?

Je vois pas trop ce que tu veux dire par comparer.. Peux-tu me donner un exemple similaire pour que je puisse résoudre ce genre d'exo sans me macher la réponse ?

Merci :) 

Antoine > Tu t'es tromper je penses dans la déclaration de Un dans ton premier post, re-regarde.

Ensuite, si \(U_n = sin(2n) + n\) alors il sufit de minorer \(sin(2n)\) par \(-1\) Tu obtient bien alors \(U_n \geq (-1) + n\). La valeur absolu n'a quant a elle pas grande signification je penses (c'est vrai avec et sans...)

Pour la seconde, essai juste de multiplier par \(\frac{n-1}{n-1}\), ça coule tout seul après

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Edité par Graille 2 mars 2015 à 4:30:18

Merci.

Pour la seconde, comment tu sais que tu dois multiplier par (n-1)/(n-1) ? Car dans ce qu'on veut trouver tu as (n-1) au dénominateur ? Autrement dit, comment tu vois par quoi multiplier ? Est-ce au hasard ?

Concernant la 1), je dirais même que c'est faux avec les valeurs absolues. Le fait que \( |u_n | \ge n - 1 \) permet de dire que \( | u_n| \to \infty \) mais pas que \( u_n \to \infty \) : c'est vrai uniquement si les termes de la suite sont positifs, et si ils sont négatifs alors on aurait plutôt \( u_n \to \boldsymbol - \infty \) et ne parlons pas des cas où la suite change de signe. Bref tout ça pour dire qu'utiliser les valeurs absolues nécessitent à un moment ou à un autre de montrer que la suite est positive.

Pour la 2), je ne peux pas m'avancer sur la façon dont a pensé Graille mais en voyant d'une part qu'au numérateur tu as n + 1 et tu veux faire intervenir n - 1, tu peux facilement penser à une identité remarquable et la faire apparaître en conséquence en multipliant en haut et en bas. EDIT : à ce propos, si jamais tu penses à un truc, identités remarquables, formule de trigo, et que tu n'as pas d'autres idées, ça vaut toujours le coup de tenter. Au pire ça ne mène nulle part mais c'est toujours un moyen de se faire la main. Et au mieux tu as la réponse.

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Edité par Anonyme 2 mars 2015 à 17:56:58

C'est de l'expérience, tu verra, d'ici 1 ou 2 mois, ça te sautera aux yeux. Sinon, tu peux réfléchir ainsi :

On veux majorer \(\frac{n + 1}{n^2 + 1}\) par \(\frac{1}{n - 1}\). Donc le truc, c'est de faire apparaître \(\frac{1}{{n - 1}}\) dans ton expression de \(u_n\), donc multiplie par \(\frac{1}{n - 1}\) et de l'autre coté par \(n - 1\) pour compenser, tu laisse ensuite ton  \(\frac{1}{n - 1}\) de coté, tu n'y touche plus, et tu essaye de voir ce que le reste te donne

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Edité par Graille 2 mars 2015 à 18:36:51