non, la limite est valable pour tout point \(x\)

Je tente de le présenter de façon équivalente, mais un peu différente.

Je cherche la dérivée en \(x_0\) quelconque. Si elle existe, c'est par définition la limite de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) quand \(x \rightarrow x_0\).

Je pose \(y =x -x_0\). Donc \(y \rightarrow 0\).

Si la limite de \(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) existe, c'est la même chose que la limite de \(\frac{f(x_0+y)-f(x_0)}{y}\) soit en utilisant l'équation fonctionnelle que la limite de \(\frac{f(y)}{y}\) quand \(y \rightarrow 0\). Ainsi l'existence de la dérivée en \(x_0\) quelconque est équivalente à celle de la dérivée en 0 ! Vérifier l'équation fonctionnelle suffit à garantir que la dérivée de la fonction cherchée  est égale en tout point à celle à l'origine.

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Edité par Sennacherib 29 janvier 2015 à 12:46:08

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Edité par kiobiu 29 janvier 2015 à 13:45:28

Je ne suis pas sûr que tu aies parfaitement compris, alors je vais résumer vite fait (bien que Sennacherib vienne de le faire lui aussi).

On prend un \(x\) quelconque, mais fixé, et on veut savoir si \(f\) est dérivable en \(x\) (et on veut en calculer la dérivée si celle-ci existe).

On est donc amené à calculer le taux \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\), dans lequel \(h\) tend vers \(0\) : c'est bien \(h\) qui tend vers \(0\), \(x\) reste fixé.

Le calcul (en utilisant l'équation fonctionnelle) permet de se rendre compte que ce taux vaut \(\frac{f(h)}{h}\) (quelle que soit la valeur de \(x\) fixée au départ : ce taux ne dépend en fait pas de \(x\), ici).

Et comme on a dit que \(h\) tend vers \(0\), on regarde ce que ça donne ici : \(\frac{f(h)}{h}\) est égal à \(\frac{f(h)-f(0)}{h-0}\) (puisque \(f(0)=0\)).
Or, on sait par hypothèse que \(f\) est dérivable en \(0\), donc la limite quand \(h\) tend vers \(0\) de \(\frac{f(h)-f(0)}{h-0}\) existe et vaut \(f'(0)\) (on n'a pas besoin de savoir précisément que vaut \(f'(0)\), ça dépendra de la fonction en question)

Revenons à notre \(x\) fixé. On a vu que lorsque \(h\) tend vers \(0\), le taux \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) tend vers le nombre \(f'(0)\) (dont on ne connaît pas la valeur, mais on sait au moins que ce nombre existe ).
\(f\) est donc dérivable au point \(x\) considéré, et sa dérivée en ce point \(x\) vaut : \(f'(0)\).

Cette étude, faite pour un \(x\) fixé, peut être faite pour n'importe quelle valeur de \(x\) : quelle que soit la valeur de \(x\), on trouvera que \(f\) est dérivable en \(x\) et que \(f'(x)=f'(0)\).

Conclusion : \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et pour tout réel \(x\) : \(f'(x)=f'(0)\).
\(f'(x)\) ne dépend donc pas de \(x\) : la dérivée est constante.
On sait donc que \(f\) est effectivement une fonction affine (\(x\mapsto kx+q\)), et comme on avait vu précédemment que \(f(0)=0\), seules les fonctions linéaires (\(x\mapsto kx\), avec \(q=0\)) conviennent.

À l'inverse, on vérifie aisément que les fonctions linéaires sont effectivement des solutions (c'est-à-dire qu'elles sont dérivables en \(0\) et vérifient bien la relation \(f(x+y)=f(x)+f(y)\)).

L'ensemble \(E_0\) est donc constitué de toutes les fonctions linéaires (donc les fonctions du type \(x\mapsto kx\)), et seulement celles-ci.

On a ainsi répondu à la question

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Edité par cklqdjfkljqlfj 29 janvier 2015 à 15:02:35

kiobiu a écrit:

C'est très clair. Merci beaucoup !