Bonjour
J'ai dans un exercice besoin de calculer un extremum d'une fonction, niveau seconde :

Citation

La fonction f est définie sur R par :
f(x)=-x^2-4x+7
Justifier que la fonction f atteint un maximum en -2 et calculer ce maximum.

N'ayant pas encore vu cette notion, je regarde le cours dans le livre qui me dit :

Citation

M est le maximum de la fonctionf sur l'intervalle I lorsque pour tous réel x de I, on montre que :
M-f(x) est positif et nul en une valeur de I

J'arrive à répondre à la 2eme partie de la question, (en faisant f(-2)), mais je ne sais pas comment justifier que le maximum est atteint en -2.

Pourriez vous SVP m'expliquer comment calculer un extremum, ou me donner une piste pour cet exercice ? (je ne veux cependant pas la réponses entière, juste une piste... après ce n'est plus drole !)

Merci d'avance

Tu peux le justifier grâce à un tableau de variation je pense.

Je ne suis pas sur qu'au niveau premier trimestre seconde on ait vu les tableaux de variations, d'autant plus qu'il faudrait alors calculer la dérivée de f. Essaye de faire f(-2) - f(x) et tu devrais tomber sur un résultat positif ou nul. Cela prouverait alors que la fonction à atteint son maximum en -2 (cherche du côté des carrés pour prouver qu'une valeur est positive ;))

Bonne chance ! N'hésite pas si tu as encore des soucis ou si tu n'as pas compris !

Merci pour vos réponses, mais le problème, avec le tableau de variation, c'est que je n'ai pas de courbe graphique, donc, je ne peux pas utiliser de tableau de variation. Certes, je pourrais la dessiner moi même, mais à mon avis si elle n'est pas dessinée sur le livre, c'est qu'ils veulent que l'on ne le fasse que avec des calculs...

Il faut que tu saches une chose en maths, c'est qu'on ne base jamais ses réflexions sur un graphique, mais toujours par le calcul . Maintenant je me souviens, on fait effectivement des tableaux de variations en seconde mais à partir d'un graphique et peut être (je ne sais plus) à partir d'une fonction comme f(x) = (x+2)(2x-1) que l'on trouve grâce à une factorisation évidente d'une expression de la forme ax² + bx + c.

PS je viens de vérifier, la première méthode que je t'ai suggéré fonctionne, bonne chance

Ca tombe bien, car je n'aime pas me fier aux graphiques

Cependant, je viens de faire ce que tu m'as dit :
f(-2)-f(x)
je trouve :
-x^2+4x+4
et j'ai essayé de la factoriser (mais je ne suis pas sur car nous navons pas encore vu le format ((a+b)^2)+c
-(x+2)^2+2

Le problème, c'est que le résultat n'est pas toujours positif : avec x=6 : -62, avec x=-1 = 1, avec x=-2 = 2; x=-6 = -14... Le résultat varie : tantôt positif, tantôt négatif.

Est-ce que l'erreur viens de mon développement ? De ma factorisation ? Ou de mon analyse ?
Merci

--EDIT-- Voila mon développement ;
f(-2)-f(x)
=-(-2)^2-4*(-2)+7-(x^2-4x+7)
=11-(x^2+4x-7
=-x^2+4x+4

Factorisation => -(x+2)^2+2

attention, -(-x²) != - x² !!!

Alors, tu n'as pas d'idée pour prouver que ton résultat est positif ?

C'est loin tout ça mais ne faudrait-il pas s'aider du discriminant ?

Citation : Exosta

C'est loin tout ça mais ne faudrait-il pas s'aider du discriminant ?

Tiens, un mec qui a pas lu tout le sujet

Citation : Chaosleague2

Citation : Exosta

C'est loin tout ça mais ne faudrait-il pas s'aider du discriminant ?

Tiens, un mec qui a pas lu tout le sujet

Sisi Mais ça fait tellement longtemps que j'ai fait ça que j'ai proposé une piste un peu au hasard

Citation : Exosta

C'est loin tout ça mais ne faudrait-il pas s'aider du discriminant ?

Du quoi ? (EDIT : apparemment c'est une mauvaise piste )

Citation : Chaosleague2

attention, -(-x²) != - x² !!!

Alors, tu n'as pas d'idée pour prouver que ton résultat est positif ?

Tu parles d'un problème dans ma factorisation ? (de toute façon, il y en a un, c'est sur) Je ne vois pas trop comment factoriser mon expression. Et après tout, y a-t-il besoin de factoriser ?
--EDIT-- Ah, non ! Le problème est lors du -f(x) ! Je revois mes calculs !

Pour tester si le résultat est toujours positif, il faut tenir compte que x^2 est TOUJOURS positif c'est ça ?

Merci beaucoup pour votre aide.

--EDIT 2--
Je viens de revoir mes calculs donc, et en fait une fois factorisée, le résultat est (x+2)^2+2. Comme le résultat d'une puissance de 2 est toujours positif, quelle que soit la valeur de X le résultat est positif !

OK ! Je crois que je viens de comprendre ! Et il me suffit de dire que pour -2 le résultat est toujours positif et j'ai la preuve que le maximum est atteint en -2 ?

Bon, alors je continue de te donner des indices :

Citation : little_programmeur

Ca tombe bien, car je n'aime pas me fier aux graphiques

f(-2)-f(x)
=-(-2)^2-4*(-2)+7-(x^2-4x+7)
=11-(x^2+4x-7
=-x^2+4x+4

Factorisation => -(x+2)^2+2

Essaye de refaire ton développement proprement et écris le

EDIT : Arrête avec tes édits sauvages, après je passe pour un idiot à répéter ce que tu viens d'écrire , laisse moi le temps de rédiger une réponse correcte

Je viens d'éditer mon précédant message... Je n'avait pas vu ton dernier message. Donc c'est bon ? J'ai juste

Peux tu mettre le détail de ton calcul, car je ne trouve pas la même chose, même si tu as la bonne méthode

f(-2) = 19, non ?

Citation : Exosta

f(-2) = 19, non ?

Non fais attention aux signes !

Tout de suite (et désolé pour les EDITS... )
Donc le voila :
f(-2)-f(x)
-(-2)^2-4*(-2)+7-(-x^2-4x+7)
11-(-x^2-4x+7)
x^2+4x+4

Factorisé =>(x+2)^2+2

Ouh la honte J'ai oublié la priorité du ²...
Par contre, je reviens au discriminant. Il est négatif donc la fonction est forcément positive, on aurait pu le faire de cette façon je pense. A confirmer vu mes restes >_>

Tu as presque tout bon, je voudrais simplement que tu fasses quelque chose. Pourrais tu développer (x+2)² s'il te plait

Citation : Exosta

Ouh la honte J'ai oublié la priorité du ²...
Par contre, je reviens au discriminant. Il est négatif donc la fonction est forcément positive, on aurait pu le faire de cette façon je pense. A confirmer vu mes restes >_>

Oui, mais cet exercice est niveau seconde, ce qui impose l'utilisation de cette méthode comme je l'avais précisé au début du topic. Bien sur au niveau terminal, un élève est normalement capable d'étudier puis de tracer une fonction sans sa calculette, donc au niveau terminal, un élève a beaucoup plus d'outil pour résoudre ce genre de problème

Le discriminant et ses relations avec les courbes sont vus en seconde donc SI little_programmeur l'avait su, il aurait pu ! Et c'est largement faisable de tête.
Oui oui, j'avais raison un peu... quand même

Citation : Exosta

Le discriminant et ses relations avec les courbes sont vus en seconde donc SI little_programmeur l'avait su, il aurait pu ! Et c'est largement faisable de tête.
Oui oui, j'avais raison un peu... quand même

Non, je n'ai pas encore vu le discriminiant. C'est quoi en gros ? A quoi ça sert ?

Citation : Chaosleague2

Tu as presque tout bon, je voudrais simplement que tu fasses quelque chose. Pourrais tu développer (x+2)² s'il te plait

OK : (x+2)²=x²+4x+4

Ah ! OK ! Quel *** je suis ! Pourquoi je rajoute +2 moi...

Donc en fait le résultat est (x+2)²... Il faut donc que je dise pour justifier que f(-2)-f(x) est toujours positif, donc que le maximum est atteint en -2 ?

Citation : Exosta

Le discriminant et ses relations avec les courbes sont vus en seconde donc SI little_programmeur l'avait su, il aurait pu ! Et c'est largement faisable de tête.
Oui oui, j'avais raison un peu... quand même

Et non, je m'en souviens encore, le discriminant c'est niveau première S (je suis en terminal, donc ça fait pas très loin ). Mais oui, tu avais raison, avec le discriminant on peut trouver directement et de tête

Citation : little_programmeur

(x+2)²=x²+4x+4

Ah ! OK ! Quel *** je suis ! Pourquoi je rajoute +2 moi...

Donc en fait le résultat est (x+2)²... Il faut donc que je dise pour justifier que f(-2)-f(x) est toujours positif, donc que le maximum est atteint en -2 ?

Oui voila, c'est de la pure logique , par contre à nuancer, f(-2) - f(x) = (x+2)² qui est supérieur ou égal à zéro

Le discriminant te permettra de faire des tableaux de signe (et donc de variation, tu verras ) rien qu'avec la fonction d'une courbe. Et ça te permet de factoriser plus facilement.
C'est une notion importante pour la suite de ton année

Citation : Exosta

Le discriminant te permettra de faire des tableaux de signe (et donc de variation, tu verras ) rien qu'avec la fonction d'une courbe. Et ça te permet de factoriser plus facilement.
C'est une notion importante pour la suite de ton année

Ok, je verrai tout ça.

Citation : Chaosleague2

<citation rid="4317680">
Oui voila, c'est de la pure logique , par contre à nuancer, f(-2) - f(x) = (x+2)² qui est supérieur ou égal à zéro

OK, j'en tiendrai compte ! Merci beaucoup ! J'ai enfin compris !
Juste, encore 2 questions (et après j'arrête de vous embêter ) :

• Si j'avais voulu faire pareil, mais avec le minimum, il faut faire f(x)-f(-2) ?
• Et si je n'avais pas l'indice "-2" et que l'on me demandait juste de trouver le maximum et en combien il est atteint, est-ce que je peux le trouver avec le niveau de seconde ? Faut-il que je fasse une inéquation du genre f(x)-f(b)<=0 où suis-je complètement à coté de la plaque ?

Merci d'avance

Bon j'arrive pas à faire de quote je sais pas pourquoi mais c'est pas grave ,

première question :
Pourquoi faire f(x)-f(-2)? Que penses tu trouver en faisant cela? A ton avis, combien fait -( f(x)-f(-2) )? Essaye de trouver la réponse à cette question par toi même

deuxième question :
Alors là je ne m'en souviens pas, je ne te cache pas que je galérais pas mal en seconde ^^. Je ne suis pas sur que tu puisses trouver si on ne te donne pas le maximum, en tout cas je n'ai pas de méthode à te donner pour y arriver . Par contre tu peux conjecturer ton maximum sur ta calculette et prouver par le calcul qu'il est vrai !

C'est bien d'être curieux comme çà, je pense même que c'est ce qui te permettra de réussir

Citation : Exosta

Le discriminant te permettra de faire des tableaux de signe (et donc de variation, tu verras ) rien qu'avec la fonction d'une courbe. Et ça te permet de factoriser plus facilement.

Faux, ça sert uniquement pour des fonctions polynomiales du second degré.

Il est marrant de constater qu'à chaque fois qu'y a une questions de maths dans ce forum d'un niveau seconde ou troisième, le premier réflexe des gens qui veulent aider c'est de parler de techniques inconnues pour le créateur de sujet, techniques qui servent en générale juste à écraser une mouche avec un bazooka.

@Chaosleague2
Tu peux très bien t'en sortir en seconde pour trouver un extremum même si on te le donne pas pour une fonction polynomiale du second degré : tu mets la fonction sous la forme +/-(x+a)²+b (et ça parait faisable), tu peux très bien en déduire l'extremum.

Oui exact je n'y avais pas pensé. Néanmoins je ne pense pas que ce soit la meilleure méthode dans tout les cas !

Citation : Chaosleague2

C'est bien d'être curieux comme çà, je pense même que c'est ce qui te permettra de réussir

Merci De toute façon, j'ai besoin des maths pour ce que je veux faire : astrophysicien... Donc il vaux mieux être curieux si je veux pouvoir y arriver Je le suis souvent trop au point de m'éparpiller mais bon, c'est une autre histoire... Je vais éviter de faire un HS !

Citation : Chaosleague2

première question :
Pourquoi faire f(x)-f(-2)? Que penses tu trouver en faisant cela? A ton avis, combien fait -( f(x)-f(-2) )? Essaye de trouver la réponse à cette question par toi même

Je voulais faire f(x)-f(-2) (en admettant que -2 est l'endroit où l'on atteint le minimum) car dans le cours, on dit que pour trouver le minimum, il faut faire f(x)-m au lieu de M-f(x) qui lui sert à trouver le maximum. Je pensait que ça fonctionnerai pareil : si on dit que f(-2) est le minimum, f(x)-f(-2) devrai donner la bonne réponse non ?

Bah en fait ca tourne un peu en rond tout çà, tu peux utiliser la formule que tu veux si elle est logique tant que tu interprètes correctement ton résultat, tu comprends?

OK. Merci beaucoup pour vos réponses. Elles m'ont bien apporté. J'ai tout compris maintenant
Encore merci.

Ps : @Chaosleague2 :

Citation : Chaosleague2

Jeanne d'arc elle a frit, elle a tout comprit.

Trop marrant la signature...