Bonours à tous !

Je cherche a créer un algorythme en TI-Basic capable de me retourner toutes les solutions de l'équation f(x) = 0 pour f une fonction définie dans l'intervalle [a;b].

- La fonction ainsi que a et b sont les éntrés de l'algorythme.
- La sortie de l'algorythme doit être les solutions.

Je sais que je dois enregistrer la fonction dans Y1 (Visible avec la touche f(x) de la calculatrice) mais après je ne sais pas vraiment comment faire..
Vu que l'algorythme ne sais pas à quoi ressemble la fonction quand je le cré, je ne sais pas comment le créer..

Pour le moment, j'ai fait ceci : (Les entrées)

Input "F(X)=",Str1
Input "A=",A
Input "B",B
Str1->Y1

Je ne vois vraiment pas ensuite comment exploiter la valeur de Y1, merci d'avance pour votre aide.
Cordialement, Corentin.

PS: Je suppose qu'il faut utiliser l'algorythme de dichotomie mais il ne me retournerais qu'une seule solution..

Un algo qui te donnerait toutes les solutions de n'importe quelle équation, ce serait trop beau. Essaie déjà de réaliser un algo d'approximation d'une solution par dichotomie. Cela impliquera que tu saches déjà que cette solution existe (sans forcément connaître sa valeur, en le voyant sur le graphe par exemple). Il faudra également demander à l'utilisateur la précision attendue car toutes les solutions ne sont pas des nombres entiers ou décimaux.

Après, tu pourras peut-être réfléchir à un algo utilisant le précédent et effectuant une recherche de plusieurs solutions.

D'accord, merci

Mais mon profésseur de mathématique m'a demandé de créer cette algo, c'est surement que c'est possible..

Peux tu m'expliquer comment obtenir plusieurs solutions avec l'algo dichotomie stp ?

Salut,
Je doute que ton prof t'aie vraiment demandé cela, parce que de temps en temps, certaines fonctions ont une infinité de zéros sur un intervalle. Bon courage dans ce cas.
La première idée d'un algorithme permettant de trouver un zéro de ta fonction est le théorème des valeurs intermédiaires : si f(a)>0 et f(b)<0, alors il existe c dans [a,b] tel que f(c) = 0 (quand tu traces une telle fonction, tu passes forcément par zéro à un moment ou un autre).
Mais comment trouver ce c ? La dichotomie est la solution. Petit indice sur comment procéder : dichotomie signifie "séparer en deux" (eh ouais je te laisse chercher un peu ).

Le principe est le suivant :
1- on regarde f(a) et f(b), supposons f(a) positif et f(b) négatif
2- on regarde f(c) où c est le "milieu" : <math>\({a + b} \over 2\)</math>. S'il est positif, alors on recommence sur l'intervalle [c;b] au lieu de [a;b]. S'il est négatif, on recommence avec [a;c].

On arrête l'algo soit quand on trouve c tel que f(c) = 0, soit quand la longueur de l'intervalle descend en dessous d'une certaine valeur (en dessous de 0,001 par exemple).

Je connais très bien cette technique, pas besoin de me la détailler.
Mais moi je voulais savoir si il y a un moyen grâce à la dichotomie d'obtenir toutes les solutions si il y en a plusieurs.

Cordialement, Corentin.

De quel type de fonction parles-tu ? S'il s'agit de polynômes, le comportement est plus prévisible qu'une fonction trigo par exemple.

Le problème, c'est que je ne connais pas à l'avance le type de fonction vu que la fonction est une entrée de l'algorythme...

EDIT: Voilà mon algorithme actuel (Il ne trouve que une solution et moi je veux toutes les trouver) :

Eh bien, comme je le disais tu ne peux pas, à l'aide d'un simple algorithme de dichotomie, trouver toutes les solutions nulles d'une fonction quelconque, parce que parfois il y en a une infinité*.
Je ne suis même pas sûr qu'un tel algorithme existe, en fait.

* Bon, elles sont un peu plus complexes que celles que tu peux rentrer dans une calculette, mais si je prends par exemple sur [0;1] le polynôme <math>\(\prod_{k=0}^n(x-\frac1{2^k})\)</math> (le produit des <math>\((x-\frac1{2^k})\)</math>, k allant de zéro à n), il possède n racines. Or n peut être aussi grand qu'on veut, donc ton algorithme devrait tourner indéfiniment pour être sûr d'avoir trouvé toutes les racines. Et ça, on appelle ça une boucle infinie.

Edit : oh, et plus simple, la fonction nulle. Avec un algorithme de dichotomie, tu devras te lever tôt pour trouver toutes les racines de la fonction.

jai envoyer un mail a mon prof de math et il ma confirmer que je devais utiliser la dichotomie et qurme enfaite lalgo devais seulement retourner une solution, cest a lutilisateur de rentrer lintervalle grace a ce quil voit sur la courbe pour trouver plusieurs solutions. bref sujet resolu vu que cest ce que fait mon algo actuel.

Citation : melepe

Bon, elles sont un peu plus complexes que celles que tu peux rentrer dans une calculette,

Même non nul <math>\(\sin\frac{1}{x}\)</math> suffit

C'était à celle-là que je pensais, mais le problème est qu'il faut la prolonger par continuité en zéro puisque l'on prend un intervalle fermé pour l'étude (donc en fait je pensais plutôt à <math>\(x\sin(\frac1x)\)</math>), et ça une TI-82/83 ne sait pas faire.

Je reviens à vous pour quelques petites questions.

Déjà, je voulais savoir si il était possible de déterminer le nombre de solution pour l'équation f(x) = 0
(Sachant que f peut être n'importe quoi)

Ensuite, si cela est impossible, je voulais savoir si c'était possible de savoir si l'équation comporte au moins une solution.

Merci d'avane pour votre aide
Cordialement, Corentin.

Ce qu'on te dit depuis le début : il est impossible de trouver toutes les solutions de "f(x)=0" en n'ayant pas déjà énormément d'informations sur f.

Si on avait un algo (ce que tu demandes) pour connaître le nombre de solutions, on pourrait alors résoudre ton problème initial : on lance d'abord l'algo pour savoir combien il y a de solutions (mettons n), ensuite on trouve ces n racines par dichotomie (il n'y plus de boucle infini vu qu'on sait qu'une fois qu'on a n racines, on a fini).
Conclusion : il n'y a pas non plus d'algo pour compter les solutions dans le cas où f est quelconque.

D'autre part, on sent bien directement que ça va être compliqué ton histoire car certaines fonctions s'annulent une "infinité de fois" sur un intervalle donné. Deux exemples déjà donné ici : la fonction nulle (je l'appelle f), et la fonction g:x-> xsin(1/x). Petit hic : le "nombre de solutions" de f(x)=0 est infini, mais un infini "beaucoup plus grand" que le "nombre de solutions" de g(x)=0. (pour être rigoureux, il faudrait parler du "cardinal de l'ensemble des solutions" au lieu du "nombre des solutions").
Donc on voit mal comment un algo peux distinguer toutes ces situations...

EDIT : un fonction en toute généralité, c'est ultra moche, il faut imposer des conditions drastiques pour qu'on puisse faire des choses intéressantes dessus. Pour info, il existe :

• des fonctions continues nul part
• des fonctions continues nul part, sauf en un seul point
• des fonctions continues partout mais dérivables nul part
• ...

Il est donc illusoire de chercher à avoir un algo qui travaille sans hypothèses sur la fonction. La façon de procéder est plutôt : j'ai un problème concret, que je modélise avec telle fonction qui a telle propriété. J'arrive à montrer par un raisonnement que (je dis n'importe quoi) le nombre de racines de ma fonction est la partie entière de la dérivée de la fonction en pi. Malheureusement, il m'est impossible de calculer cette dérivée explicitement. Je vais donc chercher à programmer un algo qui me permette d'évaluer la dérivée de la fonction en pi et pour cela je peux m'appuyer sur telle et telle propriété de ma fonction.

Merci pour toutes tes explications. Mais maintenant que j'ai mon algorithme de dichotomie, le programme tourne en boucle sans fin quand il y a 0 solution, ce qui est un peux génant.
Deplus, mon algorithme ne parvient pas à trouver la solution 0 si je pose <math>\(f(x) = x\)</math> et je ne parviens pas à en trouver la raison.
Voici mon algorithme :

ClrHome
Input "F(X)=",Str1
Input "A=",A
Input "B=",B
If A>B
Then
Disp "ERREUR A>B"
Goto 4
End
Str1->Y2
Menu("SOLUTION ?","EXACTE",1,"APPROCHEE",2)
Lbl 1
0->P
Output(4,1,"MARGE ERR=0")
Goto 3
Lbl 2
Input "MARGE ERR=",P
Lbl 3
0->M
While B-A>P
(A+B)/2->M
If Y2(M)*Y2(B)>0
Then
M->B
Else
M->A
End
End
Output(5,1,"X=")
Output(5,3,M)
Pause 
ClrHome
Disp "X=",M>Frac
Lbl 4

Merci d'avance pour votre aide

Tout simplement parceque tu as fait:

While B-A>P
(A+B)/2->M
If Y2(M)*Y2(B)>0
Then
M->B
Else
M->A
End
End

Ce qui veut dire que tu divises ton intervalle en 2 avant de tester tes extrémités, donc les signes des extrémités ne sont testées que pour le deuxième pas et je ne vois pas où est testé la condition où l'une de tes extrémités est un zéro. Autrement dit il faut que tu rajoutes un test avant ta boucle, et que tu testes l'hypothèse je suis tombé sur un zéro:

If Y2(A)==0
  Then
  A->M
  If Y2(B)==0
    Then
    B->M
  Else
    While B-A>P
      (A+B)/2->M
      If Y2(M)*Y2(B)>0
        Then
        M->B
      Else
        If Y2(M)==0
          Then
          A->M
          B->M
        Else
          M->A
        End
      End
    End
  End
End

(je hais ces End sans indentations alors j'ai quand même indenté)


EDIT: Au passage pour les zeros multiples, ce que tu peux faire en pratique c'est diviser ton intervalle en petites portions <math>\([x_i,x_{i+1}]\)</math>, par exemple <math>\(N\)</math> portions égales donc les portions sont: <math>\([A+i\frac{B-A}{N},A+(i+1)\frac{B-A}{N}]\)</math> et testez les produits <math>\(F(x_i)F(x_{i+1})\)</math>, s'il est négatif ou nul, tu effectues l'algorithme ci dessus, sinon tu laisses tomber.

Encore une fois, c'est un algorithme approché, qui trouveras au mieux N zéros et qui peut en louper si jamais il y en a deux dans une même portion, mais il te permet sur des fonctions pas trop moches de trouver leur zéros.
Après le mieux est d'avoir une idée de la position des zéros et de leur nombre (du style, polynôme de degré n au maximum n zéros).

Merci pour ta réponse mais il y a un problème. J'ai modifié mon algorithme comme tu l'a écrit mais maintenant il me trouve la solution 0 instantanément n'importe ce que je met pour f(x)= ...
Voici l'algorithme :


PS: Il me semble que tu as fait une erreur dans les lignes suivantes :

A->M
B->M

J'ai donc inverser dans mon code mais ceci n'a rien changé.

Merci d'avance pour ton aide.

EDIT: Il semblerais que sa fonctionne mieu avec cette algorithme :


Mais si par exemple je tappe en entrée :
- f(x)=5x²-13x+3
- A=-100
- B=100
Il me trouve x=-100
Alors que la vrai solution est -0.2559693491
Je ne comprend pas là ...

Ok pour ton deuxième algo, c'est effectivement dans ce gout là, et la TI n'étant pas super stable, je crois qu'elle n'aime pas trop les avalanches de IF, fait donc la même chose pour la deuxième modif, et ca devrait marcher:

J'avais oublié ces Goto Lbl

J'ai remplacé mais ceci n'a pas réglé le problème indiqué en bas de mon message dans l'EDIT. :s

Vraiment?!
Peux tu afficher le M au cours des itéartions alors? Par exemple ceci:

While B-A>P
    (A+B)/2->M
    Output(5,1,"M=")
    Output(5,3,M)
    If Y2(M)=0
    Then
        Goto 5
    End
    If Y2(M)*Y2(B)>0
    Then
         M->B
    Else
         M->A
    End
End

0
-50
-75
-87.5
-93.75
-96.875
-98.4375
-99.21875
-99.609375
-99.804688
-99.902344
-99.951172
-99.975586
-99.987793
-99.993896
-99.996948
-99.998474
-99.999237
-99.999619
-99.999809
-99.999905
-99.999952
-99.999976
-99.999988
-99.999994
-99.999997
-99.999999
-99.999999
-100

Désolé, je n'avais pas réfléchi, je viens de regarder le graphe de la fonction, et il y a quand même une hypothèse vitale dans l'algorithme de dichotomie, c'est les extrémités de l'intervalles correspondent à des valeurs de signes différentes de la fonction, or ici tu as 2 valeurs positives, donc ton algorithme n'a aucune chance de marcher.
Prends B=1 et ca va marcher.

Effectivement, sa fonctionne mais je n'ai pas très bien compris pourquoi, peux tu m'expliquer stp ? :s

Bon l'algorithme de dichotomie est le suivant:
Tu as un point A où ta fonction est négative, un point B où ta fonction est positive, donc elle s'annule quelque part entre les deux (si elle est continue), donc ce que tu vas faire c'est tester le milieu, si le milieu est négatif ca veut dire que tu es trop bas donc que tu dois chercher plus près de la valeur positive, sinon c'est que tu es trop haut et tu dois chercher plus près de ta valeur négative.

Cependant, si tu lui donnes 2 valeurs positives, il ne peut pas savoir d'une part qu'il y a un zéro entre les deux et d'autre part lequel des deux nouveaux intervalles choisir, puisque les deux extrémités ont des vqleurs positives!

Mais -100 est négatif et 100 est positif pourtemps.. Je ne comprend pas là x)

Oui mais ce que tu veux à chaque fois c'est que <math>\(F(A)\)</math> et <math>\(F(B)\)</math> soient de signe différent, l'idée c'est que si <math>\(F\)</math> a changé de signe, alors elle a du passer par zéro à un moment.
Et ici <math>\(F(-100)\)</math> et <math>\(F(100)\)</math> sont positifs, mais <math>\(F(1)<0\)</math>

Ah d'accord j'ai enfin compris.

J'ai rajouté 2 petites conditions avant la dichotomie :

If Y2(A)>0 and Y2(B)>0
Then
Disp "ERR A B POSITIFS"
Goto 4
End
If Y2(A)<0 and Y2(B)<0
Then
Disp "ERR A B NEGATIFS"
Goto 4
End

Et maintenant je n'ai plus de problème, merci beaucoup.