Mis à jour le mardi 30 décembre 2014
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Introduction du cours

Les nombres complexes, késako ? Ils ne sont pas déjà assez complexes, les nombres que l’on connaît ? Eh bien, au risque de vous désespérer ;) non… Rassurez-vous. De toute façon, il ne s'agit ici que d'une introduction aux nombres complexes, plutôt destinée à celles et ceux qui ne sont pas vraiment familiers du concept, ou alors qui ne sont pas sûrs d'avoir tout compris en classe. Nous allons dans ce cours découvrir ce que sont les complexes, s'amuser un peu avec, et puis découvrir quelques utilisations que l'on peut en faire. Donc : complexes oui, mais vous allez voir, pas si compliqués ! 

Qu’est-ce qu’il veut dire ?

En fait, c’est assez simple à comprendre à partir d’un exemple. Certains d’entre vous –je le sais car j’ai moi-même été concerné à une époque ;) –ont peut-être déjà pressenti leur existence en classe de 4ème, lorsque l’on vous a présenté les fameuses racines carrées. Pour certains, cela fait un bail, pour d’autres un peu moins, mais si vous vous souvenez de ce que vous ont dit vos professeurs de mathématiques alors (certainement en grinçant des dents !), c’était qu’il n’existait pas de racine carrée d’un nombre négatif. Eh bien, c’est faux. La vérité (encore qu’il puisse paraitre un peu déplacé, je le reconnais, d’évoquer le concept de vérité en mathématiques), c’est que nos nombres négatifs possèdent bel et bien une racine carrée. Seulement voilà, ils ne ressemblent pas à ceux que vous connaissez, et  à l’époque vous étiez trop jeunes pour comprendre le concept, ou du moins c’est ce qu’a jugé l’Éducation Nationale. Qu’à cela ne tienne ! Aujourd’hui, vous avez grandi (si, si !) et vous êtes enfin prêts à (re)-découvrir ces fameux nombres complexes. Alors en avant !

Introduction

Les ensembles de nombres

Petite piqûre de rappel, pour ceux qui seraient peu ou pas familiers de cette notion : il existe plusieurs ensembles de nombres. L’ensemble le plus connu, celui avec lequel on travaille tous les jours, est l’ensemble de réels, aussi noté ℝ, qui contient les nombres que vous connaissez : 0, 1, 2.324252556, ¾, √2, π, etc. Ainsi bien entendu que leurs opposés : -1, -2.324252556, etc.

Mais ℝ n’est pas, loin s’en faut, l’ensemble le plus simple, ni même le plus intuitif. Souvenez-vous, avant de comprendre l’utilité des nombres "à virgule", vous ne vous serviez que des nombres entiers positifs et cela vous allait très bien (pour les complexes, c’est pareil, mais on y reviendra plus loin). Cet ensemble des nombres entiers est noté ℕ et contient tous les nombres positifs « sans virgules », les plus intuitifs en quelque sorte : 0, 1, 2… 10000 etc. Lorsqu’on a considéré que vous étiez un peu plus mûrs, on vous a présenté son grand frère : ℤ, qui contient tous les entiers positifs mais également leurs opposés : -1, -2, … -10000 etc.

Lorsque vous êtes entrés en CM1, on vous a parlé des fractions, qui sont ces nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers. Par exemple, 0.5 qui peut s’écrire ½, mais aussi 0.333333… qui peut s’écrire 1/3. Bien entendu, tous les entiers appartiennent également à cet ensemble, noté ℚ, et que l’on appelle ensemble des nombres rationnels. Je rappelle à tout le monde que tous les nombres réels ne sont pas rationnels, et je vous donnerai en exemple le fameux √2. Pour ceux que cela intéresse, ça se démontre (évidemment) mais ce n’est pas le sujet de ce cours (enfin, pas vraiment), et je vous invite à aller vous documenter si le cœur vous en dit.

Enfin, sachez que je vous ai présenté les ensembles les plus courants mais qu’il en existe d’autres, incluant ou excluant ceux que l’on vient de voir. Nous allons maintenant commencer à nous intéresser au sujet d’aujourd’hui, l’ensemble des nombres complexes, que l’on note ℂ.

A quoi ça sert ?

Un petit conseil : surtout, ne posez plus jamais cette question. À personne.  De toute façon, après avoir lu ce cours, vous serez comme tous ceux avant vous qui ont découvert la magie de ℂ, vous vous demanderez comment vous aviez vous vivre sans lui jusque-là :p

Parce que demander à quoi sert ℂ, c’est un peu comme lorsqu’un enfant demande à quoi sert le dioxygène ; en tant que parent, ou grand frère ou grande soeur, ou en tout cas en tant qu’adulte (ou pas ;)), cela vous fait sourire : à quoi sert le dioxygène ? Mais à tout, voyons ! C’est mignon, à c’t’âge-là, hein…

Reprenons notre toute première réflexion, celle que vous vous étiez faite en 4ème : alors comme ça, les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée ? Simplement au motif qu’ils seraient négatifs ? Les pauvres… Heureusement, ℂ est là pour eux… entre autres.

Mais les utilisations de ℂ sont multiples : géométrie, automatique, électricité, mécanique… Nous y reviendrons un peu plus tard.

Présentations

Alors voilà, maintenant que vous êtes convaincus de l’utilité de cet ensemble, je vous présente ℂ : votre nouvel ami. Et avant toute chose, il m’impose de vous présenter votre tout premier nombre complexe. Pour cela, je vais me rattacher au problème de départ : les racines carrées. Prenons le nombre négatif qui nous vient à l’esprit en premier : -1. Jusqu’ici, -1 se sentait bien seul, sans sa racine carrée… Nous allons réparer cette injustice : -1, je vous présente votre racine carrée : i. i, je vous présente votre carré : -1.

Forcément, on n’a pas inventé un second alphabet pour écrire ces autres nombres. Et en fait, on n’en a pas eu besoin. Ce qu’il faut impérativement comprendre avant d’aller plus loin, c’est que les complexes sont des nombres à deux dimensions.

ARGHHH !! Quoi, comment ça, des nombres à deux dimensions ??

Rassurez-vous, en fait, il n’y a rien de nouveau. Vous aviez jusqu’ici déjà fait joujou avec des vecteurs ou fait de la géométrie plane ? Alors ces nombres à deux dimensions ne devraient pas vous faire plus peur que cela. En fait, nous allons bientôt nous rendre compte que les vecteurs, les points (notés au moyen d’un couple (x, y) pour (abscisse, ordonnée)) peuvent être représentés par des nombres complexes.

Si on peut représenter un nombre réel par une simple coordonnée (x) et le placer sur une droite, un nombre complexe se note au moyen d’un couple (x, y), et on peut le représenter sur un plan. On peut donc voir dans un premier temps les nombres complexes comme de simples points du plan que l’on va appeler, pour faire pompeux, le plan complexe. Qui n’est rien de plus qu’un plan muni des deux axes que vous connaissez, l’axe des abscisses que l’on va appeler l’axe des réels, et celui des ordonnées que l’on va appeler l’axe des imaginaires purs.

Le plan complexe
Le plan complexe

 

Comme vous l’aurez deviné, mon axe des abscisses n’est autre que notre ensemble ℝ et je peux y placer 0, 1, -1, 3.7856 et leurs copains. Vous voyez comme on vient d’élargir notre horizon ! Voici pourquoi jusqu’à présent, on considérait qu’il n’existait pas de racines carrées aux nombres négatifs : parce qu’on ne pouvait pas les voir !!

Sur le schéma ci-dessus, j’ai représenté un point (ou un nombre complexe, donc), que j’ai appelé z. Et j’ai dessiné également ses projections, ou ses coordonnées, sur les axes des abscisses et des ordonnées. Je vous l’ai dit, un nombre complexe est représenté par deux dimensions : ce sont en fait ses projections sur ces deux axes : je les ai notés x et y. Du fait de leur axe, nous allons par la suite nommer ces deux nombres partie réelle de z et partie imaginaire  de z.

Minute, minute, au fait ça veut dire quoi, « imaginaire » ?

Nous y voilà, donc, à ce qui fait la spécificité des complexes : leur partie imaginaire. Parce qu’on l’a « imaginée », en quelque sorte : c’est cette deuxième dimension. Ainsi, les nombres dont la partie réelle est nulle (elle vaut 0 ; c’est-à-dire que l’abscisse de leur point représentatif vaut 0) seront représentés par un point qui appartient à l’axe des imaginaires purs, en d’autres termes, ils sont des nombres imaginaires purs. À l’inverse, des nombres sont la partie imaginaire est nulle appartiendront à l’axe des réels (de fait, ce sont les réels).

Par exemple, notre fameuse racine carrée de -1, i, est un imaginaire pur. C’est plus clair ? Allez, on avance.

Ecriture des nombres complexes

On vient de le voir, les complexes peuvent être notés au moyen d’un couple (x, y) qui désigne leur partie entière et leur partie réelle. Ces nombres x et y sont… des réels. Par exemple, si je considère le nombre complexe que j’ai représenté sur le plan, juste au-dessous :

Le plan complexe gradué
Le plan complexe gradué

On voit que x = 3 et y = 2. Une écriture possible de z est donc (3 ; 2).

Oui, bon, comme les mathématiciens sont des gens torturés (Aaah, la voilà l’Explication !! mais non, je rigole), on note ce nombre : 3 + 2i.

On retrouve donc notre fameux i. Certains ont peut-être déjà fait l’analogie avec les vecteurs : si j’avais posé deux vecteurs : u(1, 0) et v(0, 1), on aurait noté le vecteur (3, 2) = 3u + 2v. Eh bien ici, c’est pareil ! Nos deux vecteurs de base sont cette fois-ci des nombres
(complexes) : 1 (qui vaut (1, 0) ou 1 + 0i ; et i justement, qui vaut (0, 1) ou 0 + 1i.

D’où l’écriture conventionnée, appelée forme algébrique, de z : z = 3 + 2i.

 Bien, à présent, il est temps de passer aux choses un peu sérieuses : du calcul !

Les bases du calcul complexe

Le nom est ronflant, mais je vous rassure, rien de bien méchant.

L'addition et la soustraction

Vous savez additionner des vecteurs ? Alors vous savez additionner des complexes. Ce qu’il faut garder à l’esprit, c’est que les deux « dimensions » de notre nombre complexe z sont
orthogonales : elles sont indépendantes par l’addition. Tout simplement, si je prends deux nombres complexes, z = x + iy et z’ = x’ + iy’, j’ai :

z + z’ = (x + x’) + i (y + y’)

Un exemple ? Allez : z = 4 - 2i et z’ = 2 + i

 z + z’ = 6 - i

Bien-sûr, pour la soustraction, ça marche pareil : dans le cas de mon exemple ci-dessus, je vais avoir : z - z’ = 2 - 3i

 Facile ? On continue, alors.

La multiplication

Alors, la multiplication a l’air comme ça d’être un peu compliquée, mais en fait, pas du tout. On va se contenter de distribuer pour trouver la formule, en gardant à l’esprit une seule chose : i² = -1. Oui, souvenez-vous, i est la racine carrée de -1. On a donc, avec les mêmes notations que précédemment :

zz’ = (x + iy)(x’ + iy’)

     = xx’ + ixy’ + iyx’ + i²yy’

     = xx’ + i(xy’ + yx’) - yy'

Soit :

zz’ = (xx’ - yy') + i(xy’ + yx’)

Bon, ça va toujours ? Je vous épargne la division… Pour le moment.

Le conjugué

Je vais vous parler d’une opération un peu particulière : le conjugué d’un complexe. Rassurez-vous, rien à voir avec votre Bescherelle. On a toujours notre z = x + iy. Eh bien je vais noter w la quantité conjuguée de z, c’est-à-dire le nombre complexe  w = x - iy.

z et son conjugué
z et son conjugué

On peut voir que le conjugué de z est aussi son symétrique par rapport à l’axe des réels. C’est tout ! Pour le moment, dirait Benjamin… Ok, ok, j’arrête. On va maintenant étudier une autre écriture de z, la forme trigonométrique.

La forme trigo

Bon, z = x + iy, c’est bien joli, mais on peut avoir besoin dans certains cas d’une autre écriture de z. Souvenez-vous, on avait vu que x et y, les parties réelle et imaginaire de z, sont en fait les « coordonnées » du point Z, représentant z  (on dit : "le point d’affixe z").

Je vais maintenant faire appel à vos connaissances de trigonométrie. Vous vous souvenez sûrement que dans un triangle ABC rectangle en A, on a :

cos(B) = AB / BC

sin(B) = AC / BC

Triangle rectangle
Triangle rectangle

Si maintenant je me place dans le plan complexe et que j’y place mon complexe z ; je considère alors le triangle OZX, où j’ai appelé X la projection de Z sur l’axe des abscisses (à noter que l’on peut très bien raisonner dans l’autre triangle, OZY, avec Y la projection de Z sur l’axe des ordonnées) :

Le triangle rectangle OZX
Le triangle rectangle OZX

OZX est bien rectangle en X, du fait que mon repère est orthogonal (et même orthonormé). Je peux donc écrire, en appelant θ l’angle ZOX et r l’hypoténuse OZ :

cos(θ) = OX / r

sin(θ) = ZX / r

Or : la distance OX, c’est ma partie réelle x, tout simplement. De même, ZX n’est rien d’autre que y. On a donc :

cos(θ) = x / r

sin(θ) = y / r

Vous ne voyez pas la magie ? Eh bien c’est tout simplement que pour décrire un nombre complexe (à deux dimensions), il me faut deux informations (une pour chaque direction, si vous voulez) : jusqu’à présent, on n’avait utilisé que x et y, deux réels décrivant les valeurs des parties réelle et imaginaire de z. Ce que l’on vient de faire, c’est trouver une autre façon de décrire z, au moyen de deux autres de ses caractéristiques : r et θ, que l’on appelle respectivement le module et l’argument de z.

 Pour retrouver r et θ d’après les valeurs de x et y, c’est simple : le théorème de Pythagore nous donne :

r² = x² + y²

Et on avait déjà :

cos(θ) = x / r

sin(θ) = y / r

Dans l’autre sens, c’est encore plus simple :

x = r.cos(θ)

y = r.sin(θ)

Si je remplace donc x et y par ceci dans la forme algébrique de z, je trouve :

z = r.cos(θ) + i.r.sin(θ)

Ou encore (plus joli) :

z = r [ cos(θ) + i.sin(θ) ]

Bien, j’ai donc maintenant deux moyens de décrire mon nombre complexe z ; on dit que l’on a deux écritures de z. Vous connaissiez la forme algébrique de z, vous venez de découvrir sa forme trigonométrique.

Allons-y pour un petit exemple à présent : je prends z = 1 + √3i. Retenez bien la méthode, car c’est elle que vous utiliserez, si l’occasion se présente un jour, pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

z = 1 + √3i

Je calcule en premier le module de z :

r = √(x² + y²) = √(1 + 3) = 2

Je vais maintenant factoriser la forme algébrique de z par son module, soit 2 :

z = 2 ( 1/2 + i.√3/2 )

Arrive maintenant la partie « compliquée » : il s’agit de retrouver, dans la parenthèse, des valeurs de cosinus et sinus… Rassurez-vous si vous êtes scolarisé : en pratique, ce sera toujours des angles dont vous connaissez les valeurs du cosinus et du sinus. Pour les autres :
vous verrez bien ce que l’avenir vous réserve (entre nous, si vous découvrez les nombres complexes avec cet article, il est probable que nous n’ayez  pas à vous en soucier…). Je reprends donc mon calcul : les plus trigo-fans d’entre vous l’auront sans doute identifié : l’angle que l’on cherche, ce fameux θ qui doit satisfaire les conditions suivantes :

cos θ = x / r = 1/2

sin θ = y / r = √3/2

…n’est autre que π/3.

 

Ah, oui, bien évidemment, on oublie les degrés, hein. Je rappelle qu’un angle trigonométrique est exprimé en radians, qui n’est même pas vraiment une unité. Un angle peut avoir une infinité de mesure, dans le sens où l’on peut lui ajouter « autant de tours que l’on veut », c’est-à-dire autant de fois 2π que l’on souhaite, sans en changer la mesure principale qui est sa valeur exprimée la plupart du temps dans l’intervalle [0 ; 2π] ou encore parfois dans [-π ; π].

Finalement, j’ai donc mon nombre z que je peux écrire de deux façons :

 z = 1 + i.√3

 (forme arithmétique correspondant aux coordonnées cartésiennes de Z dans le
repère) ;

 z = 2 [ cos(π/3) + i.sin(π/3)  ]

(forme trigonométrique correspondant aux coordonnées polaires de Z dans le repère).

 

Allez, je vous vois venir… À quoi ça sert ? C’est pas beau ! C’est même pas plus court !

Je vous l’accorde. En fait, la forme trigo d’un complexe ne sert pas à grand-chose en elle-même. Elle va simplement constituer une étape dans la détermination d’une autre écriture de z, que l’on va découvrir tout de suite.

 La forme exponentielle

Ne vous désespérez pas, cette fois c’est la dernière. Promis juré craché. En plus, elle est très simple à obtenir une fois que vous avez votre forme trigo, c’est-à-dire une fois que vous avez trouvé r et θ. Il suffit d’écrire :

 z = r.exp(i.θ)

 

Arghh, quoi, mais d’où ça sort ça ?

C’est à la fois très simple et très… Non, c’est très simple, en fait. Suivez le guide.

Ce qu’il faut bien comprendre avant toute chose, c’est que i, notre fameuse racine carrée de -1, n’est rien d’autre qu’un nombre, comme tous les autres, mis à part le fait qu’il est imaginaire pur.
Autrement dit, je peux parfaitement effectuer des calculs avec lui, et notamment, je peux écrire e à la puissance i.θ sans bafouer le moins du monde les règles que vous connaissiez jusqu’ici. 

Bon, ok, on a le droit d’écrire ça, mais en fait, d’où elle sort, l’exponentielle ?

Je vous accorde que ça a l’air d’arriver un peu comme par magie, mais tout ça, c’est parce qu’on vous a présenté la fonction exponentielle à l’envers…

J’exagère. En fait, cette égalité :

exp(i θ) = cos θ + i sin θ

  …s’appelle la formule d’Euler, et elle se démontre de plusieurs façons. Ce que je vais faire, c’est une petite démo très simple, en admettant que la fonction exponentielle est la seule fonction vérifiant cette relation :

exp(a + b) = exp(a).exp(b), avec exp(0) = 1, et exp' = exp.

Je vais donc considérer la fonction de la variable θ :

f : θ → cos θ + i sin θ

Et démontrer qu’elle aussi vérifie la relation précédente. Comme exp() est unique, j’aurai démontré que f n’est autre que… exp() !! C’est parti. Je considère donc deux nombres réels, θ et α, et je vais essayer de montrer que f(θ + α) = f(θ) + f(α).

 

Pour cela j’écris :

f(θ + α) = cos(θ + α) + i sin(θ + α)

Et je le transforme en utilisant les formules de trigo que vous connaissez tous par cœur :

cos(a - b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin(a - b) = sin(a) cos (b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

J'obtiens :

f(θ + α) = [cos θ cos α - sin θ sin α] + i [ sin θ cos α + cos θ sin α]

Bon. Maintenant, je vais calculer f(θ).f(α), et on va trouver que ça fait la même chose :

f(θ).f(α) = [ cos θ + i sin θ].[cos α + i sin α ]               
f(θ).f(α) = cos θ cos α  + i cos θ sin α + i sin θ cos α - sin θ sin α

Ce qui est bien la même chose… Et puis bien-sûr, f(0) = cos(0) + i sin(0) = 1.Reste le coup de la dérivée : comme f(θ) est censée valoir exp(iθ), je suis censé pouvoir montrer que f'(θ) = i.exp(iθ), soit f' = i.f. C'est parti :

f(θ) = cos(θ) + i sin(θ)  

donc f'(θ) = cos'(θ) + i sin'(θ) = -sin(θ) + i cos(θ)

... ce qui est bien égal à i.f(θ).

Ouf !!

Donc on a bien montré que :

exp(i θ) = cos θ + i sin θ

Tout ça pour dire que l’on peut écrire z sous trois formes (mettons, deux formes et demie) :

z = x + i y

z = r ( cos θ + i sin θ )

z = reiθ

 

Tout ceci avec : r = √(x² + y²) et θ tel que cos θ = x / r et sin θ = y / r

 

Quant à votre question : « À quoi ça sert ? », j’y répondrais simplement en vous faisant remarquer que pour les multiplications, divisions et autres calculs de puissances, la forme exponentielle est bien mieux adaptée que la forme arithmétique.

Un petit exemple pour s’en convaincre ? Reprenons notre z = 1 + i √3 = 2exp(iπ/3), et prenons z’ = 1 + i = 2√2exp(iπ/4) : on calcule tout de suite que zz’ = 4√2exp(i7π/12). Vous pouvez, si vous le voulez, vous amuser à calculer ce produit en partant des formes arithmétiques. Vous allez sans doute mettre un peu plus d’une ligne pour le même calcul.

Récréation

Ou presque. Maintenant que vous connaissez les formes des nombres complexes, on peut commencer à s’amuser un peu. Par exemple, quelle est la forme exponentielle de i ? de 1 ? de 0 ?

Pour 0, on peut déjà écrire que sa forme exponentielle, c’est… 0. Voilà, ça c’est dit. Forcément, un nombre complexe de module nul, on peut lui mettre n’importe quel argument, donc ça n’aurait vraiment pas de sens ; aussi on se contente de l’écrire « 0 », et c’est aussi bien ! Pour i et 1, c’est plus intéressant. Voyons voir…

i = 0 + 1.i

r = 1

(logique et même visuellement évident, si on garde à l’esprit que i est associé au point de coordonnées (0 ; 1)

En factorisant : i = 1 (0 + 1.i) Ben oui, vous vous attendiez à quoi :p

On cherche donc θ tel que cos θ = 0 et sin θ = 1. Les plus rapides auront reconnu l’angle π/2 (que l’on pouvait également lire graphiquement en remarquant que, du fait de l’orthogonalité du repère, il y a un angle droit (donc de π/2) entre l’axe de abscisses et celui des
ordonnées auquel appartient i. D’où :

i = exp(i π/2)

Pour 1, on arrive après un calcul du même genre au résultat époustouflant de 1 = e0 … Pour ne rien vous cacher, en général on laisse les nombres réels sous leur forme arithmétique, puisque de toute façon on ne sera pas embêté avec leur partie imaginaire (puisqu’elle vaut 0).

La division

Oui, c’est vrai, on l’avait esquivée jusqu’ici, celle-là. Mais c’était pour la bonne cause, il fallait que vous soyez un peu à l’aise avec les complexes avant. Bon, alors, allons-y. Prenons deux nombres complexes, z = 1 + 2i et z’ = 3 - i, au hasard, et essayons de les diviser. Ça nous donne :

z / z' = (1 + 2i) / (3 - i)

Et… On est bien embêté. Je vous aide : le problème vient du fait qu’il y a un complexe (donc un nombre à deux dimensions) en dessous, et que ça nous gêne pour calculer. Bien-sûr, on pourrait directement essayer de factoriser en haut par le dénominateur, mais quand bien même on y arriverait, on aurait toujours un reste qui nous embêterait.

Alors comment on fait ?

Pas de panique ! Il y a une astuce : multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur.

Vous vous souvenez de cette opération, qui consiste à associer à x + iy la quantité x - iy ; eh bien c’est elle qui va nous sauver. En fait, le conjugué a d’amusantes propriétés, et notamment
celle-ci, que je vous donne maintenant (en notant w le conjugué de z soit w = x - iy) :

 zw = x² + y²  … ce qui est un réel.

Ça se démontre très facilement, simplement en effectuant le calcul. Je vous laisse le faire, ça vous fera un bon petit exercice ;)

 

Reprenons donc notre calcul : de manière à avoir un réel au dénominateur, on va multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur initial :

z / z' = (1 + 2i)(3 + i) / (1 + 2i)(3 + i)

z / z' = (3 + i + 6i - 3) / (9 + 1)

z / z' = (-2 + 7i) / 10

z / z' = (-1 / 5) + (7 / 10)i

Et voilà le travail ! Vous avez retenu la technique ?

Culture générale

Je ne vais pas vous embêter plus longtemps avec du calcul. Après tout, il ne s’agit ici que d’une introduction aux nombres complexes. Je vais plutôt vous présenter brièvement les utilisations les plus courantes des complexes. Et on va commencer avec quelque chose qui parlera à tout le monde ou presque : les polynômes.

Les polynômes du second degré

On va se limiter au second degré. Alors, petit rappel pour commencer, un polynôme est un objet mathématique de la forme suivante : P = aX² + bX + c, de la variable X, avec a, b et c trois réels
dont a non nul.

On calcule son déterminant  de la façon suivante : Δ = b² - 4ac

Et on distingue, ou en tout cas, on distinguait, puisque maintenant avec les complexes, c’est terminé, les trois cas suivants :

  •  Δ > 0 : P admet deux racines distinctes x1 et x2

(il se factorise alors sous la forme suivante : P = a(X - x1)(X - x2) )

  •  Δ = 0 : P admet une racine double x0

(il se factorise ainsi : P = a(X - x0)² )

  •   Δ < 0 : P n’admet pas de racine dans ℝ.

 

Et bien tout ceci reste vrai… si Δ < 0, P n’admet pas de racine dans ℝ. Par contre, il admet des racines… dans ℂ.

Souvenez-vous, pour calculer les deux racines x1 et x2, on prenait respectivement :

x1 = (-b - √Δ) / (2a) et

x2 = (-b + √Δ) / (2a)

En fait, on était bloqué par le fait que, si Δ < 0, on ne pouvait pas calculer √Δ. Sauf que maintenant, si ! Prenons un exemple : Δ = -4. Et bien la racine de -4, c’est tout simplement 2i (ou -2i, exactement comme la racine de 4, c’est 2 ou -2). Un petit exemple pour bien comprendre :

P = X² + 1 (un grand classique !)

On calcule Δ = b² - 4ac = 0² - 4x1x1 = -4

On trouve alors les deux racines, qui sont complexes et que je vais noter par convention z1 et z2 :

z1 = (-b - √Δ) / (2a) = (-2i) / 2 = -i

z2 = (-b + √Δ) / (2a) = 2i / 2 = i

Et je peux donc écrire : P = (X + i)(X - i)

En géométrie

Je vais y revenir très brièvement. Tout ce que vous connaissez en géométrie peut s’écrire avec des complexes. Par exemple, toutes les rotations du plan peuvent se traduire par une fonction complexe, qui, à un complexe z, associe le quantité :  f(z) = z.exp(iθ) où θ désigne l’angle de la rotation. Idem pour les homothéties, les translations… Forcément, puisqu’un point Z est représenté par son affixe complexe z, toute opération sur des points du plan est représentée par une fonction de ℂ.

En automatique

C’est beau, l’automatique ! Pour ceux qui ne connaissent pas, il s’agit de l’étude de systèmes automatiques, par exemple, un système de régulation de vitesse d’une voiture. Je ne vais pas
m’attarder, mais sachez que ce genre de système implique bien souvent de résoudre une équation différentielle de degré supérieur à 2 si l’on reste dans le domaine « temporel », c’est-à-dire l’étude du signal suivant le temps. Or, on peut sensiblement simplifier ces équations en les transposant dans le domaine de Laplace, qui considère une variable complexe, appelée p.
Et dans ce domaine, on a ceci de particulier qu’une dérivation se traduit par… une multiplication. Je vous invite à aller vous renseigner plus avant si cela vous intéresse.

En électricité

Même discours. On va quand même développer un petit peu. Je considère un circuit RLC :

Le circuit RLC
Le circuit RLC

Un tel système se résolut de la façon suivante : par exemple, si l’on cherche l’intensité i(t) : en écrivant simplement la loi d’addition des tensions, on obtient :

u = u1 + u2 + u3 =>

où u désigne simplement la tension d’entrée, imposée (au niveau du générateur G).

On peut résoudre cette équation sans les complexes, mais c’est compliqué et c’est long, en un mot fastidieux. Mais bon, ça se fait. Avec les complexes, c’est beaucoup plus simple : il suffit de considérer non plus la variable réelle i(t) mais les grandeurs complexes associées, que l'on note avec la même lettre mais soulignée, et de garder à l’esprit que dériver, c’est multiplier par jω (ω étant la pulsation, la fréquence de la sinusoïde u(t) si vous voulez). Notre équation s’écrit alors :

Et hop, terminée l’équation différentielle ! On se retrouve avec une équation, certes dans le domaine complexe, qui n’était pas celui de départ, mais bien plus simple et facile à résoudre ! Ensuite, il suffira de prendre la partie réelle de la solution que l’on aura trouvée. Pour la culture générale, la solution est de la forme :

 

Mais en fait, d’où ça sort qu’on peut transformer une dérivée dans ℝ en une multiplication dans ℂ ?

Rassurez-vous, ça n’a rien de mystique… Cela tient du fait de la transformée utilisée, Laplace ou autre. De manière générale, vous pouvez remarquer que multiplier un réel par un imaginaire pur, c’est lui faire faire une rotation de π/2.

Conclusion

Il est à présent l’heure de conclure. Si vous n’avez pas tout compris, rassurez-vous, vous pourrez survivre sans. Mais au moins, j’espère que vous avez pu au moins appréhender la magie de ℂ ! Sans avoir tout saisi en profondeur, vous savez maintenant ce que veut dire « nombre complexe » et êtes convaincus, j’espère, de l’incommensurable utilité de cet ensemble.

Petit mot d’excuse pour les puristes (à qui, anyway, ce billet n’était pas destiné) : il y a des imprécisions dans la dernière partie, j’en suis conscient. Mais encore une fois, le but de cet article n’était pas d’en faire un cours exhaustif sur ℂ, juste de le faire découvrir à ceux qui ne le connaissaient pas !

 

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite