Mis à jour le dimanche 18 octobre 2015
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Introduction du cours

De tous les sujets portant sur l'étude des mathématiques, le nombre d'or est sans doute l'un des plus connus. Parce qu'on connait sa valeur et son expression algébrique et qu'on sait démontrer sa présence dans les différents domaines où il intervient, ce nombre n'a cessé d'attiser la curiosité de nombreuses personnes.

Mais pourquoi étudier un seul nombre ?

C'est vrai ça, pourquoi se concentrer sur un nombre en particulier ? D'ailleurs, qu'est-ce que ce nombre a de si particulier pour qu'on lui consacre à lui seul, un tutoriel entier ? Vous le savez sans doute, il existe des nombres qui possèdent des caractéristiques que les autres n'ont pas, par exemple : le nombre $\(\pi\)$ (qui se prononce "pi") permet de calculer le périmètre d'un cercle et le nombre $\(\textrm{e}\)$ est utilisé lorsque l'on calcule le logarithme népérien. Mais à quoi peut bien servir le nombre d'or sinon que de rendre les mathématiques plus compliquées qu'elles ne le sont déjà ? Je ne vais pas vous dévoiler tout le contenu de ce mini tutoriel, mais sachez que ce nombre a inspiré aussi bien les mathématiciens que les artistes : peintres, sculpteurs, architectes, etc.

Quels sont les pré-requis ?

  • Savoir résoudre une équation du second degré.

  • Savoir ce qu'est une suite arithmétique et géométrique.

  • Savoir ce qu'est une limite et comment la calculer.

Une personne ayant suivi un cours de mathématiques en Première au lycée français ou en cinquième secondaire en Belgique (ou tout autre équivalent dans un autre pays) devrait pouvoir s'en sortir.
(Étant donné que ces pré-requis sont normalement vus entre 16 et 17 ans).

À qui ce tutoriel est-il destiné ?

À tous ceux et celles qui souhaitent apprendre quelque chose de nouveau.

Êtes-vous fin prêts à résoudre toutes les énigmes qui vous attendent ? :pirate:

Le nombre d'or, quésaco ?

Bon, mais commençons par le début (il faut bien un début à tout), qu'est-ce que le nombre d'or ? D'où vient-il ? Quelle est sa valeur ?
(On ne peut pas étudier quelque chose si on ne connait pas d'abord sa définition).

Selon le mathématicien Euclide (-325 à -265), le nombre d'or serait issu du "partage en extrême et moyenne raison" d'un segment autrement dit, il s'agirait d'une "proportion" (un rapport entre deux nombres).

Mais que veut dire ce partage en extrême et moyenne raison et de quels nombres s'agirait-il ?
Dans le livre VI des Éléments, Euclide définit géométriquement le partage en extrême et moyenne raison comme suit.

Citation

Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison lorsque la droite totale est au plus grand segment ce que le plus grand segment est au plus petit.

Le mot raison, qui vient du mot latin ratio, a été mal traduit. Il signifie : le rapport entre quelque chose et non la raison. Dans ce contexte-ci, le mot droite désigne un segment.
On peut donc en déduire ceci : deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit. Pour illustrer cette phrase, rien de tel qu'un schéma :

Section dorée - Segment d'or

Ceci est appelé la "section d'or" (ou "section dorée") et parfois même le "segment d'or". Dans ce cas-ci, le nombre d'or n'est qu'un rapport entre deux grandeurs.

Si l'on prend le tout : $\(a + b\)$, par rapport au plus grand : $\(a\)$, on obtient : $\(\frac{a + b}{a}\)$. Ce rapport est égal au plus grand : $\(a\)$, par rapport au plus petit : $\(b\)$, on obtient :  $\(\frac{a}{b}\)$.

Le rapport du nombre d'or est égal à :  $\(\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}\)$.

Comment connaît-on la valeur du nombre d'or si l'on ne connait ni "a" ni "b" ?

Bonne question, mais je vais vous demander un peu de patience... La réponse à cette question, je la réserve pour la partie suivante. :euh:

Ne soyez pas déçu, je préfère ne pas vous frustrer en déballant toute une démonstration mathématique dès la première partie. En contrepartie, je vais vous dévoiler la valeur du nombre d'or...

Le nombre d'or est un nombre irrationnel qui est égal à :  $\(1,618033988...\)$

Pour plus de lisibilité, on arrondira ce nombre à 3 chiffres après la virgule, c'est-à-dire : 1,618...

Maintenant que nous avons sa valeur, que diriez-vous d'une petite énigme ? :-°

Que se passerait-il (d'après vous), si je vous demandais d'insérer dans votre calculatrice, le nombre d'or multiplié par lui même (autrement dit, le carré du nombre d'or) ?
Et si, au contraire vous divisiez une unité par le nombre d'or (autrement dit, l'inverse du nombre d'or) ?

Essayez un peu... Que constatez-vous ? o_O

Si l'on multiplie le nombre d'or par lui-même, on obtient : 2,618. Le nombre d'or augmenté d'une unité !
Si l'on divise une unité par le nombre d'or, on obtient : 0,618. Le nombre d'or diminué d'une unité !

Il y a sûrement une explication mathématique derrière tout ça... Mais laquelle ?
Je promets de vous l'expliquer dans la partie suivante (promis, juré, craché ;) ).

Existe-t-il un symbole pour représenter le nombre d'or ?

Rassurez-vous, il y en a un. Par convention, on représente le nombre d'or par la lettre grecque : $\(\varphi\)$  ("phi").

Dans l'alphabet grec, on peut écrire les lettres en minuscule, en majuscule et en capitale. La lettre $\(\varphi \)$ (ou $\(\phi\)$) est la lettre "phi" en minuscule et la lettre $\(\Phi\)$  est la lettre "phi" en capitale.
Afin de ne pas mélanger les différentes écritures, on se contentera d'écrire les lettres grecques en minuscule. Mais si un jour, vous rencontrez la lettre "phi" en capitale, vous saurez que c'est exactement la même chose, certains préfèrent l'écrire en minuscule d'autres en capitale.

Mais pourquoi "phi" et pas une autre lettre ?

P-h-i sont les premières lettres de "Phidias", un célèbre sculpteur grec de l'Antiquité.

Phidias (-490 à -430) fut chargé par Périclès de la réalisation des sculptures du Parthénon. Parmi celles-ci, on compte notamment la sculpture chryséléphantine (en or et en ivoire) d'Athéna-Parthénos qui fut sculptée selon la proportion du nombre d'or. Si Phidias choisit le nombre d'or comme proportion idéale pour sa statue, ce n'est pas le fruit du hasard. D'autres artistes (dont Léonard de Vinci) se sont basés sur ce nombre afin de réaliser leurs œuvres.

Propriétés algébriques

Que diriez-vous de voir les caractéristiques algébriques de ce nombre ? :soleil:

Équation caractéristique du nombre d'or

Dans le chapitre précédent, nous avons vu la valeur du nombre d'or sans avoir vu comment on la calcule.
Comme promis, nous allons maintenant terminer le calcul que nous avions commencé. La question était donc :

Comment connaît-on la valeur du nombre d'or si l'on ne connait ni "a" ni "b" ?

En fait, il faut multiplier l'équation par $\(\frac{a}{b}\)$ pour obtenir la valeur du nombre d'or.
Pour ceux et/ou celles qui ont (déjà) oublié de quelle équation on parlait, la voici : $\(\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b}\)$
On multiplie donc les deux membres : $\(\frac{a + b}{a}.\frac{a}{b} = \frac{a}{b}.\frac{a}{b}\)$
On obtient : $\(\frac{a}{b} + 1 = (\frac{a}{b})^2\)$
On met tout dans le même membre : $\((\frac{a}{b})^2- \frac{a}{b} - 1 = 0\)$

Il ne reste plus qu'à la résoudre comme une équation du second degré. Pour plus de facilités, on peut remplacer $\(\frac{a}{b}\)$ par $\(x\)$, ce qui donne : $\(x^{2} - x - 1 = 0\)$ 

$\(\Delta = -1^2 - 4.1.-1 = 5\)$

$\(x_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618 033 988 ...\)$

$\(x_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0,618 033 988 ...\)$

Cette équation est surnommée l'équation caractéristique du nombre d'or. La solution négative de cette équation est appelée le conjugué du nombre d'or, on le note souvent comme ceci : $\(\overline{\varphi}\)$

Carré et inverse du nombre d'or et de son conjugué

Vous vous souvenez que nous avions remarqué que le carré du nombre d'or était égal à lui-même plus une unité et que l'inverse du nombre d'or était égal à lui-même moins une unité ? Eh bien avec l'équation que nous venons de trouver, cela s'explique maintenant très simplement !

À l'aide de l'équation caractéristique (du nombre d'or), il nous est maintenant possible de trouver le carré du nombre d'or.

Commencez par remplacer les $\(x\)$ de cette équation par le nombre d'or, on obtient : $\(\varphi^2 - \varphi - 1 = 0\)$

Isolez le carré : $\(\varphi^2 = \varphi + 1 \Leftrightarrow 1,618 + 1 = 2,618\)$

Pour obtenir le carré du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité au nombre d'or.

Divisez les deux membres par le nombre d'or, on obtient : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\)$ 

Isolez l'inverse : $\(\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \Leftrightarrow 1,618 - 1 = 0,618\)$

Pour obtenir l'inverse du nombre d'or, il suffit de soustraire une unité au nombre d'or.

Maintenant que vous avez compris le principe, que diriez-vous de multiplier le conjugué du nombre d'or par lui même (autrement dit, le carré du conjugué).
Et si, au contraire vous divisiez une unité par le conjugué du nombre d'or (autrement dit, l'inverse du conjugué) ?

Essayez un peu... Faîtes le lien entre ce que vous obtenez et ce que nous avons vu ci-dessus.

$\((-0,618)^2 \approx 0,382 = -0,618 + 1\)$

Pour obtenir le carré du conjugué du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité au conjugué du nombre d'or.

$\(-\frac{1}{0,618} \approx -1,618 = -0,618 - 1\)$

Pour obtenir l'inverse du conjugué du nombre d'or, il suffit de soustraire une unité au conjugué du nombre d'or.

Le nombre d'or et son conjugué sont les seuls nombres qui, lorsqu'on leur ajoute une unité deviennent leur carré, et, lorsqu'on leur soustrait une unité deviennent leur inverse.

Opposé de l'inverse du nombre d'or et de son conjugué

Mais quelle est la différence entre l'opposé et l'inverse d'un nombre ? :euh:

L'opposé d'un nombre est ce même nombre avec un signe opposé.
L'inverse d'un nombre est ce même nombre placé au dénominateur et dont le numérateur vaut une unité.

L'opposé de l'inverse du nombre d'or veut tout simplement dire : $\(-\frac{1}{\varphi}\)$ 

Changez le signe du deuxième membre de l'égalité donnant l'inverse :

$\(-\frac{1}{\varphi} = -\varphi + 1 \Leftrightarrow -1,618 + 1 = -0,618\)$

Pour obtenir l'opposé de l'inverse du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité à l'opposé du nombre d'or.

Que se passerait-il si on calculait l'opposé de l'inverse du conjugué du nombre d'or ?

$\(-\frac{1}{0,618} \Leftrightarrow -(-0,618) + 1 = 1,618\)$

Pour obtenir l'opposé de l'inverse du conjugué du nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité à l'opposé du conjugué du nombre d'or.

Avez-vous remarqué que l'opposé de l'inverse du nombre d'or est égal au conjugué du nombre d'or (et inversement) ? o_O

Puissances du nombre d'or et de son conjugué

Multipliez l'égalité donnant le carré du nombre d'or par le nombre d'or :

$\(\varphi^2.\varphi = (\varphi + 1).\varphi = \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi\)$

(N'oubliez pas que lorsque l'on multiplie un membre d'une équation par un nombre, il faut multiplier le deuxième membre par ce nombre).

Si on continue, on obtient :

$\(\varphi^4 = \varphi^3 + \varphi^2\)$$\(\varphi^5 = \varphi^4 + \varphi^3\)$$\(\varphi^6 = \varphi^5 + \varphi^4\)$

Une puissance quelconque du nombre d'or est égale à la somme des deux puissances précédentes.

Avez-vous remarqué que :

 $\(\varphi^3 = \varphi^2 + \varphi = (\varphi + 1) + \varphi = 2.\varphi + 1\)$ 
 $\(\varphi^4 = \varphi^3 + \varphi^2 = (2.\varphi + 1) + (\varphi + 1) = 3.\varphi + 2\)$ 
 $\(\varphi^5 = \varphi^4 + \varphi^3 = (3.\varphi + 2) + (2.\varphi + 1) = 5.\varphi + 3\)$ 
$\(\varphi^6 = \varphi^5 + \varphi^4 = (5.\varphi + 3) + (3.\varphi + 2) = 8.\varphi + 5\)$

Les égalités qui résultent de la simplification des puissances du nombre d'or seront vues plus en détails dans les prochains chapitres.

Que se passerait-il si on calculait les puissances du conjugué du nombre d'or ?

$\(\overline{\varphi}^3 = \overline{\varphi}^2 + \overline{\varphi} = (\overline{\varphi} + 1) + \overline{\varphi} = 2.\overline{\varphi} + 1\)$
\(\overline{\varphi}^4 = \overline{\varphi}^3 + \overline{\varphi}^2 = (2.\overline{\varphi} + 1) + (\overline{\varphi} + 1) = 3.\overline{\varphi} + 2\) 
\(\overline{\varphi}^5 = \overline{\varphi}^4 + \overline{\varphi}^3 = (3.\overline{\varphi} + 2) + (2.\overline{\varphi} + 1) = 5.\overline{\varphi} + 3\)\(\overline{\varphi}^6 = \overline{\varphi}^5 + \overline{\varphi}^4 = (5.\overline{\varphi} + 3) + (3.\overline{\varphi} + 2) = 8.\overline{\varphi} + 5\) 

Avez-vous remarqué que la façon d'obtenir les puissances du conjugué du nombre d'or est semblable à la façon d'obtenir les puissances du nombre d'or ?

Décomposition du nombre d'or en racine continue

Si l'on part du carré du nombre d'or, il est possible de décomposer le nombre d'or en une racine continue (qui ne s'arrête jamais).

Dans cette équation, il suffit de prendre la racine de chaque membre, on obtient : $\(\varphi = \sqrt{\varphi + 1}\)$

Pour plus de facilités, on intervertit ce qu'il y a dans le deuxième membre : $\(\varphi = \sqrt{1 + \varphi}\)$

On obtient une égalité permettant de trouver le nombre d'or. Il suffit de prendre la racine du nombre d'or ajouté d'une unité.

Dans cette équation, il suffit de remplacer le nombre d'or sous la racine par sa définition (ci-dessus), on obtient : $\(\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \varphi}}\)$

On peut continuer à remplacer le nombre d'or par sa définition : $\(\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \varphi}}}\)$

Encore : $\(\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \varphi}}}}\)$

Et encore : $\(\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + ...}}}}}\)$

On pourrait remplacer le nombre d'or par sa définition autant de fois qu'on veut, on obtiendra toujours le nombre d'or.

Décomposition du nombre d'or en fraction continue

Tout nombre réel peut être écrit sous la forme d'une fraction continue, c'est-à-dire :

$\(x = a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac {1}{a_{3} + \frac{1}{a_{4} + \frac{1}{...}}}}}\)$

$\(a_{0}\)$, $\(a_{1}\)$, $\(a_{2}\)$, $\(a_{3}\)$, $\(a_{4}\)$, ... sont des nombres entiers positifs (sauf éventuellement $\(a_{0}\)$ qui peut être négatif si $\(x\)$ l'est).

La suite [$\(a_{0}\)$, $\(a_{1}\)$, $\(a_{2}\)$, $\(a_{3}\)$, $\(a_{4}\)$,...] est appelée le développement en fraction continue de $\(x\)$.
Ce développement est utile, notamment pour trouver des approximations rationnelles de nombres réels.

Nous allons chercher comment arriver à obtenir une fraction continue à partir de l'équation caractéristique et quel est le développement en fraction continue du nombre d'or.

Si l'on part du carré du nombre d'or, il est possible de décomposer le nombre d'or en une fraction continue (qui ne s'arrête jamais).

Dans cette équation, il nous suffit de diviser les deux membres par le nombre d'or, on obtient : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}\)$

On obtient une égalité permettant de trouver le nombre d'or, il suffit d'ajouter une unité à l'inverse du nombre d'or.

Ensuite, il faut remplacer le nombre d'or au dénominateur par sa définition (ci-dessus), on obtient : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\varphi}}\)$

On peut continuer à remplacer le nombre d'or par sa définition : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{\varphi}}}\)$

Encore : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac{1}{\varphi}}}}\)$

Et encore : $\(\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{...}}}}}\)$

Le développement en fraction continue du nombre d'or est la suite constante égale à 1 : [1, 1, 1, 1, 1,...].
On pourrait remplacer le nombre d'or par sa définition autant de fois qu'on veut, on obtiendra toujours le nombre d'or.

Suite de Fibonacci

Attaquons-nous maintenant à la suite de Fibonacci qui non seulement est l'une des suites les plus célèbres mais possède en plus un lien caché avec le nombre d'or. Seriez-vous capable de le trouver avant que je ne vous le révèle ?

La suite de Fibonacci tient son nom du célèbre mathématicien Léonardo Fibonacci (1175 - 1250). L'idée de cette suite lui est venue suite à un problème (mathématique) portant sur la croissance d'une population de lapins.
Au chapitre XII du Liber Abaci (livre du calcul), Fibonacci expose le problème "récréatif" comme suit.

Citation

Un homme avait un couple de lapins enfermés dans un enclos et il voulait savoir combien de lapins pouvaient naître de ce couple en un an, car de manière naturelle les lapins peuvent engendrer un couple par mois, et chaque nouveau couple peut déjà procréer le mois suivant.

Quand le premier couple procrée le premier mois, l'homme double le nombre de ses lapins ; il y aura 2 couples en un mois. L'un deux, celui qui était le premier, procrée le second mois, et ainsi, il y aura déjà 3 couples le second mois ; de ceux-ci, en un mois, deux couples procréent, ce qui fait que le troisième mois, naissent deux couples de lapins et il y a ainsi 5 couples pendant ce mois ; trois couples procréent le quatrième mois, il y a donc 8 couples le quatrième mois, desquels cinq couples procréent cinq autres couples ; de ceux-ci s'ajoutent aux huit antérieurs ce qui donne 13 couples le cinquième mois ; ces cinq couples qui naquirent ce mois ne s'accouplent pas, mais les huit autres couples procréent, il y a ainsi 21 couples le sixième mois, auxquels il faut ajouter les treize couples qui naquirent le septième mois, il y aura ainsi 34 couples ce mois-là, auxquels il faut ajouter les vingt-et-un couples qui naissent le huitième mois ce qui fait un total de 55 couples ce mois-là, auxquels il faudra ajouter trente-quatre couples qui naissent le neuvième mois et nous aurons déjà 89 couples ce mois-là ; auxquels il faut ajouter une autre fois les cinquante-cinq couples qui naissent le dixième mois et nous aurons déjà 144 couples ce mois-là, auxquels s'ajoutent une fois de plus les quatre-vingt-neuf couples nés le onzième mois, ce qui nous amène à un total de 233 couples ce mois-là. À ceux-ci s'ajoutent encore les cent quarante-quatre couples qui naquirent le dernier mois de l'année. À la fin d'une année entière, le couple avec lequel nous avons commencé aura généré 377 couples.

Voici trois hypothèses de Fibonacci concernant la prolifération des lapins :

  • La maturité sexuelle du lapin est atteinte après un mois qui est aussi la durée de gestation ;

  • Chaque portée comporte toujours un mâle et une femelle ;

  • Les lapins ne meurent pas.

Afin d'y voir plus clair, voici un tableau qui représente le nombre de couples de lapins en fonction des mois :

Mois

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

Nombre de couples

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377

...

  • Mois : il s'agit du n-ième terme de la suite pendant lequel on étudie la population de lapins. On note le mois  $\(n\)$

  • Nombre de couples : il s'agit des termes qui constituent la suite de Fibonacci et qui désignent le nombre de couples né pendant le n-ième mois. On note le nombre de couples  $\(U_{n}\)$

Voici les termes de la suite de Fibonacci telle qu'on la définit aujourd'hui (c'est sur celle-là que l'on se basera tout au long de ce tutoriel) :

 $\(n\)$

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

 $\(U_{n}\)$

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

...

Image utilisateur

Source : http://tpe-1s4-nautile.c-wh.org/partie-2.html

Imaginons qu'au début de l'histoire, on n'a pas un seul lapin et qu'un jour, on décide d'avoir un couple de jeunes lapins. Un mois passe et voilà que notre unique couple de lapins atteint l'âge de maturité sexuelle, ce qui permettra durant le mois suivant, le troisième mois, d'avoir un deuxième couple de jeunes lapins. Le quatrième mois, on conserve notre premier couple qui, puisqu'il est en âge de procréer, donne naissance une deuxième fois tout en n'oubliant pas que le couple de jeunes lapins atteint lui-aussi la maturité sexuelle. Le cinquième mois, on se retrouve donc en possession de trois couples de lapins qui ont la maturité sexuelle et de deux couples de jeunes lapins, ce qui fait un total de cinq couples. Le sixième mois, on retrouve nos cinq couples du cinquième mois et trois nouveaux couples de jeunes lapins, ce qui fait un total de huit couples. Et ainsi de suite...

Bien, maintenant que nous avons une première définition de la suite de Fibonacci, essayons de la comprendre un peu mieux et de trouver son lien avec le nombre d'or. La première chose que l'on peut remarquer, c'est qu'il est facile de trouver un terme de cette suite à partir des termes qui précèdent. Je vous redonne la suite, observez la et essayez de trouver la logique.

 $\(n\)$

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

 $\(U_{n}\)$

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

...

Vous avez trouvé ? Si vous regardez bien : chaque terme est la somme des deux termes précédents : 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, 8+13 = 21 et ainsi de suite.

À un mois donné, combien y a-t-il de couples ? Si on les compte, il y a d'abord tous les couples qui étaient là le mois précédent, auxquels il faut ajouter tous les couples qui sont nés. Or les couples qui sont nés, il y en a autant que de couples qui étaient à maturité sexuelle le mois précédent, c'est-à-dire autant que de couples qui étaient déjà né deux mois auparavant. Ceci se résume par la formule suivante :

 $\(U_{n}=U_{n-1}+U_{n-2}\)$

Un terme quelconque de la suite de Fibonacci ( $\(U_{n}\)$) se construit en additionnant les deux termes précédents ( $\(U_{n-1}, U_{n-2}\)$ ).Ce principe ne vous rappelle rien ?
N'était-ce pas le même procédé de construction des puissances du nombre d'or et des puissances du conjugué du nombre d'or ? o_O

  • Une puissance quelconque du nombre d'or ($\(\varphi^n\)$) se construit en additionnant les deux puissances précédentes ($\(\varphi^{n-1}, \varphi^{n-2}\)$).

  • Une puissance quelconque du conjugué du nombre d'or ($\(\overline{\varphi}^n\)$) se construit en additionnant les deux puissances précédentes ($\(\overline{\varphi}^{n-1}, \overline{\varphi}^{n-2}\)$).

 $\(U_{n} = U_{n-1} + U_{n-2}\)$

 $\(\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}\)$

 $\(\overline{\varphi}^n = \overline{\varphi}^{n-1} + \overline{\varphi}^{n-2}\)$

 $\(2 = 1 + 1\)$

 $\(\varphi^2 = \varphi + 1\)$

 $\(\overline{\varphi}^2 = \overline{\varphi} + 1\)$

 $\(3 = 2 + 1\)$

 $\(\varphi^3 = \varphi^2 + \varphi\)$

 $\(\overline{\varphi}^3 = \overline{\varphi}^2 + \overline{\varphi}\)$

 $\(5 = 3 + 2\)$

 $\(\varphi^4 = \varphi^3 + \varphi^2\)$

 $\(\overline{\varphi}^4 = \overline{\varphi}^3 + \overline{\varphi}^2\)$

 $\(8 = 5 + 3\)$

 $\(\varphi^5 = \varphi^4 + \varphi^3\)$

 $\(\overline{\varphi}^5 = \overline{\varphi}^4 + \overline{\varphi}^3\)$

 $\(13 = 8 + 5\)$

 $\(\varphi^6 = \varphi^5 + \varphi^4\)$

 $\(\overline{\varphi}^6 = \overline{\varphi}^5 + \overline{\varphi}^4\)$

Maintenant que nous en savons un peu plus sur la suite de Fibonacci, que diriez-vous de démontrer la formule permettant de trouver n'importe quel terme de la suite en fonction du mois $\(n\)$  ? Voici la formule dite de Binet :

Afin de savoir d'ou vient cette formule, que diriez-vous de la démontrer ?

Nous savons que les suites des puissances du nombre d'or et de son conjugué vérifient la formule de récurence ci-dessus. La première chose que nous pouvons nous remarquer, c'est que si on prend n'importe quels nombres $\(a\)$  et $\(b\)$ alors la suite : $\(a\varphi^n + b\overline{\varphi}^n\)$ ($\(n \in {N}\)$) vérifie également la formule de récurrence. En effet, on a :

 $\(a\varphi^n + b\overline{\varphi}^n = a(\varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}) + b(\overline{\varphi}^{n-1} + \overline{\varphi}^{n-2}) = (a\varphi^{n-1} + b\overline{\varphi}^{n-1}) + (a\varphi^{n-2} + b\overline{\varphi}^{n-2})\)$

Pour trouver la formule de Binet, on se pose la question suivante : combien doivent valoir $\(a\)$  et $\(b\)$  pour retomber sur la suite de Fibonacci ?

Premièrement, on sait que le terme 0 de la suite de Fibonacci vaut 0 : $\(U_{0}=0\)$

Il faut donc que $\(a\varphi^0 + b\overline{\varphi}^0 =0\)$

Autrement dit, $\(a+b=0\)$ (car les puissances 0 sont égales à 1).

Deuxièmement, on sait que le terme 1 de la suite de Fibonacci vaut 1 :  $\(U_{1}=1\)$

Il faut donc que $\(a\varphi^1 + b\overline{\varphi}^1 = 1\)$

Autrement dit  $\(a\varphi + b\overline{\varphi} = 1\)$

Pour trouver $\(a\)$  et $\(b\)$ , il suffit donc de résoudre le système d'équations.

Grâce à la première équation on a $\(a=-b\)$ et en réinjectant ceci dans la deuxième équation, on trouve alors $\(a = \frac{1}{\sqrt{5}}\)$ et $\(b = -\frac{1}{\sqrt{5}}\)$

On en déduit donc : $\(U_{n} = a\varphi^n + b\overline{\varphi}^n = \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n - \frac{1}{\sqrt{5}}\overline{\varphi}^n\)$ 

CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer) !

Remarquez que comme $\(|\overline{\varphi}| < 1\)$, on a $\(\lim_{n \to \infty}\overline{\varphi}^n = 0 \)$ par conséquent, quand $\(n\)$  est suffisamment grand, on a :

$\(U_{n} \approx \frac{1}{\sqrt{5}}\varphi^n\)$

On peut donc voir que la suite de Fibonacci se comporte presque comme une suite géométrique de premier terme $\(1/\sqrt{5}\)$ et de raison le nombre d'or.

Bon, si on passait à autre chose ? Regardez un peu le tableau ci-dessous, que remarquez-vous ? 

 $\(n\)$

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

 $\(U_{n}\)$

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

...

 $\(U_{n}/U_{n-1}\)$

-

-

1

2

1,5

1,66

1,6

1,625

1,615

1,619

1,617

1,6182

1,6179

...

  • Il n'y a pas de valeur quand $\(n\)$ est égal à zéro et $\(n\)$ est égal à un car la suite n'est pas définie pour ces valeurs-là.

  •  $\(U_{n}/U_{n-1} \)$représente le nombre de couples du terme que l'on calcule divisé par le nombre de couples du terme qui précède.

  • Au plus grand est $\(U_{n}\)$ (le nombre de couple) et donc $\(n\)$ (le nombre de mois), au plus près le rapport $\(U_{n}/U_{n-1}\)$ se rapproche du nombre d'or.

Cette troisième affirmation découle directement de la formule de Binet. En effet, puisque $\(\overline{\varphi}^n\)$ tend vers 0, on a :

 $\(\lim_{n\to \infty}\frac{U_{n}}{U_{n-1}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^n + \overline{\varphi}^n}{\varphi^{n-1} + \overline{\varphi}^{n-1}} = \lim_{n \to \infty}\frac{\varphi^n}{\varphi^{n-1}} = \varphi\)$

Et voilà, lorsque $\(n\)$ se rapproche de ($\(+\)$) l'infini, le rapport $\(U_{n}/U_{n-1}\)$ se rapproche du nombre d'or (et non de son conjugué).

Saviez-vous qu'il existe des suites dites "cousines" de la suite de Fibonacci ?

Il existe des suites qui reprennent la logique de la suite de Fibonacci, pour rappel : chaque terme est obtenu en faisant la somme des deux termes précédents. Mais alors, ne sont-elles pas identiques ?
Non, il suffit que les deux premiers termes de la suite soient différents pour que les termes qui constituent la suite soient totalement différents.

Afin de vous le prouver, voici la suite de Lucas :

 $\(n\)$

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

 $\(U_{n}\)$

0

1

3

4

7

11

18

29

47

76

123

199

322

...

 $\(U_{n}/U_{n-1}\)$

-

-

3

1,33

1,75

1,571

1,636

1,611

1,620

1,617

1,6184

1,6178

1,61809

...

Comme vous pouvez le constater, les formules et propriétés que nous avons découvert à travers la suite de Fibonacci, sont aussi valables pour la suite de Lucas.

Il est même possible de trouver un lien entre les puissances du nombre d'or et la suite de Lucas. Saurez-vous le trouver ?

 $\(\varphi^3 = 4,236 \approx 4\)$

 $\(\varphi^4 = 6,854 \approx 7\)$

 $\(\varphi^5 = 11,090 \approx 11\)$

 $\(\varphi^6 = 17,944 \approx 18\)$

 $\(\varphi^7 = 29,034 \approx 29\)$

 $\(\varphi^8 = 46,978 \approx 47\)$

 $\(\varphi^9 = 76,013 \approx 76\)$

 $\(\varphi^{10} = 122,991 \approx 123\)$

 $\(\varphi^{11} = 199,005 \approx 199\)$

 $\(\varphi^{12} = 321,996 \approx 322\)$

Les puissances du nombre d'or sont proches des nombres de la suite de Lucas.

Bon, il est temps de vous proposer un petit exercice (histoire de voir si vous avez une bonne mémoire). :D

Vous souvenez de la décomposition du nombre d'or en fraction continue ? Si oui, remplacez dans toutes les fractions (que nous avons vu) le nombre d'or au dénominateur par une unité et calculez le résultat.

Exemple :

$\(1 + \frac{1}{1} = 2\)$

 $\(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}} = 3/2 = 1,5\)$

 $\(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1}}} = 5/3 = 1,66\)$

 $\(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac{1}{1}}}} = 8/5 = 1,6\)$

 $\(1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}}} = 13/8 = 1,625\)$
Les valeurs que l'on obtient sont identiques au rapport $\(U_{n}/U_{n-1}\)$ qui se rapproche du nombre d'or. Cette suite de résultats converge donc vers le nombre d'or.

Mais comment cela se fait-il que le dénominateur est égal à un terme de la suite de Fibonacci et que le numérateur est égal au terme suivant ?

Si l'on prend la formule de récurrence de la suite de Fibonacci et qu'on la divise comme ceci :

$\(\frac{U_{n+2}}{U_{n+1}} = 1 + \frac{U_{n}}{U_{n+1}} \Leftrightarrow \frac{U_{n+2}}{U_{n+1}} = 1 + \frac{1}{\frac{U_{n+1}}{U_{n}}}\)$ 

CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer) !
Cela montre bien que l'on a calculé les réduites successives du nombre d'or.

Géométrie d'or

Le nombre d'or est le "joyau de la géométrie"
Johannes Kepler dans Mysterium Cosmographicum

Dans les deux derniers chapitres, nous avons vu les propriétés algébriques du nombre d'or et la suite de Fibonacci.
Maintenant, nous allons voir comment retrouver le nombre d'or à travers plusieurs formes géométriques réalisées à partir de la suite de Fibonacci.

Vous aimez la géométrie ? Oui ? Alors il est temps de s'y mettre, je donne les instructions. :p

Le rectangle d'or

Citation

Un rectangle est appelé rectangle d'or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d'or.

On retrouve le rectangle d'or dans de nombreux domaines de l'art et de la culture un peu partout dans le monde. Certains prétendent que le rectangle d'or permettrait d'encadrer les tableaux et façades de sorte que les yeux de celui qui les regarde soient captivés par la beauté de la proportion (du nombre d'or). Les rectangles d'or possèdent plusieurs propriétés remarquables.

Si on ajoute un carré à un rectangle d'or, on obtient encore un rectangle d'or :

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L : longueur x l : largeur
Pour qu'un rectangle soit d'or, il faut qu'il respecte ceci : $\(L/l = \varphi\)$
D'après Euclide on sait que deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit : $\(\frac{l + L}{L} = \frac{L}{l}\)$
Or $\(L+l\)$ et $\(L\)$ sont les dimensions du rectangle d'or auquel on a ajouté un carré, ceci prouve donc bien que ce grand rectangle est aussi un rectangle d'or.

On peut rajouter des carrés autant de fois qu'on veut, on obtiendra toujours un rectangle d'or :

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  1. Le premier rectangle fait 1,618 x 1 (L : longueur x l : largeur).

  2. En ajoutant un carré dont le côté est égal à la longueur du rectangle précédant (1,618 x 1,618), le deuxième rectangle fait 2,618 x 1,618.

  3. En ajoutant un carré dont le côté est égal à la longueur du rectangle précédant (2,618 x 2,618), le troisième rectangle fait 4,236 x 2,618.

  4. En ajoutant un carré dont le côté est égal à la longueur du rectangle précédant (4,236 x 4,236), le quatrième rectangle fait 6,854 x 4,236.

Et ainsi de suite... Les longueurs et les largeurs des rectangles d'or sont égales aux puissances successives du nombre d'or.

Si l'on fait la liste des longueurs et des largeurs des rectangles obtenus à l'aide de la suite de carrés, nous aurons :

$\(L_{1} = 1,618 = \varphi\)$, $\(l_{1} = 1\)$$\(L_{2} = 2,618 = \varphi^2\)$, $\(l_{2} = 1,618 = \varphi\)$$\(L_{3} = 4,236 = \varphi^3\)$, $\(l_{3} = 2,618 = \varphi^2\)$$\(L_{4} = 6,854 = \varphi^4\)$, $\(l_{4} = 4,236 = \varphi^3\)$

On peut donc généraliser : $\(L_{n} = \varphi^n\)$, $\(l_{n} = \varphi^{n-1}\)$ ($\(\forall n > 1\)$) ce qui montre qu'il s'agit bien d'une suite géométrique de raison $\(\varphi\)$.

Mais que se passe t-il si au lieu de partir d'un rectangle, on partait d'un carré ?

Bonne question. Il n'existe pas de carré d'or autrement dit, il est impossible que le rapport des côtés du carré de départ soit égal au nombre d'or. Pour ce faire, prenons comme forme de départ, un carré de 1 x 1. Ajoutons un carré de mêmes dimensions, on obtient un rectangle de 2 x 1, répétez l'opération deux fois en prenant le temps de faire des dessins pour y voir plus clair, qu'obtenez-vous (quelles sont les dimensions du troisième rectangle) ?

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  1. Le carré fait 1 x 1.

  2. En ajoutant un carré semblable au premier (1 x 1), le premier rectangle fait 2 x 1.

  3. En ajoutant un carré dont le côté est égal à la longueur du rectangle précédant (2 x 2), le deuxième rectangle fait 3 x 2.

  4. En ajoutant un carré dont le côté est égal à la longueur du rectangle précédant (3 x 3), le troisième rectangle fait 5 x 3.

Et ainsi de suite... On pourrait continuer à former des rectangles qui se rapprochent des rectangles d'or et qui sont générés par les nouveaux carrés une infinité de fois.

Avez-vous remarqué que les longueurs des côtés des carrés qui constituent ce rectangle sont les nombres qui constituent la suite de Fibonacci ?

Si l'on fait la liste des rapports entre les longueurs et les largeurs des rectangles obtenus à l'aide la suite de carrés, nous aurons :

Premier rectangle : $\(\frac{2}{1} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{1}\)$

Deuxième rectangle : $\(\frac{3}{2} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}\)$ 

Troisième rectangle : $\(\frac{5}{3} \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{3} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac {1}{1}}}\)$

Ces rapports illustrent parfaitement la fraction continue que nous avons démontrée au chapitre précédent. Plus on va loin, plus le rectangle est proche d'un rectangle d'or.

La spirale d'or

Citation

Une spirale est appelée spirale d'or si elle s'inscrit à l'intérieur d'un rectangle d'or.

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Source : Wikipédia

Voici la marche à suivre pour obtenir cette spirale :

  1. Reconstruisez un rectangle d'or en prenant comme forme de départ, le rectangle de 1,618 x 1.

  2. Reliez les côtés opposés des carrés en traçant des quarts de cercle.

Et voilà, la spirale d'or est déjà finie !

Étant donné qu'une suite ne s'arrête pas, et donc que le nombre de carrés ne cesse d'augmenter jusqu'à l’infiniment grand, il faut savoir que la suite peut aussi commencer de l'infiniment petit (vu que c'est à nous de choisir la longueur du côté du carré de départ, le carré unité). Suivant la façon dont nous construisons les carrés, nous pouvons décider du sens de rotation de la spirale.

L'angle d'or

Citation

Un angle d'or est un angle qui mesure environ 137,5 degrés.

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Mais quel est le rapport entre un angle de 137,5° et le nombre d'or ?

$\(137,5^\circ = \frac{360^\circ}{\varphi + 1} = \frac{360^\circ}{\varphi^2}\)$

$\(360^\circ - 137,5^\circ = 222,5^\circ = \frac{360^\circ}{\varphi}\)$

En observant bien ces deux fractions, on remarque que pour obtenir 137,5°, il faut diviser 360° par le nombre d'or au carré alors que pour obtenir 222,5°, il suffit de diviser 360° par le nombre d'or. Ce qui montre que la différence entre les deux angles est égale à l'inverse du nombre d'or. L'angle d'or est créé en divisant la circonférence du cercle circonscrit à celui-ci en deux sections.

Si vous vous rappelez d'Euclide, deux nombres sont dits être dans le rapport du nombre d'or, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit autrement dit, le rapport entre la circonférence et la plus grande des deux sections doit être égal au rapport entre la grande et la petite section. La petite section est égale à 137,5° la grande section à 222,5° et la circonférence (le tout) à 360°.

Le rapport du nombre d'or est égal à : $\[\frac{360^\circ}{222,5^\circ}\]$ = $\[\frac{222,5^\circ}{137,5^\circ}\]$

Nous reviendrons sur cet angle dans le dernier chapitre car nous verrons qu'il est possible de le trouver un peu partout dans la nature.

Le pentagone doré

Pour rappel, le pentagone régulier est un polygone qui possède cinq côtés de même longueur et cinq sommets dont tous les angles (internes) valent 108°.

Citation

Le pentagone étoilé est un pentagone dont le rapport de la diagonale autrement dit, de la branche de l'étoile (inscrit dans le pentagone) à celle du côté du pentagone (circonscrit à l'étoile) est égal au nombre d'or.
(Une forme inscrite dans une autre signifie qu'elle se trouve à l'intérieur. Une forme circonscrite à une autre signifie qu'elle se trouve à l'extérieur).

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Voici la marche à suivre pour obtenir ce pentagone :

  1. Tracez un cercle.

  2. Prenez un point du cercle et, à l'aide d'un rapporteur, reportez un point tous les 72°. On obtient les 5 points du pentagone et de l'étoile (72°.5 = 360°).

  3. Reliez les points avec leurs voisins (chaque point possède deux points qui lui sont proches) pour obtenir le pentagone.

  4. Reliez les points avec leurs opposés (chaque point possède deux points qui lui sont opposés) pour obtenir l'étoile.

Le pentagone étoilé fait apparaître un second pentagone au centre de l'étoile. On peut tracer une infinité de pentagones ainsi qu'une infinité d'étoiles.
Vu que le pentagone est une forme géométrique qui compte cinq côtés, l'étoile inscrite à l'intérieur possède cinq branches.
Une étoile à 5 branches est appelée, pentacle ou pentagramme (qui vient du grec et qui signifie 5 lignes).
(Dans la Grèce antique, cette forme servait de talisman ou de signe de géométrie sacrée).

Il est possible de prouver que le rapport entre la diagonale et le côté du pentagone est bien égal au nombre d'or. En effet, le pentagone est un assemblage de triangles d'or et d'argent comme nous allons le voir dans le point suivant.

Le triangle d'or

Citation

Un triangle d'or est un triangle isocèle dont le rapport entre le côté et la base est égal au nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 72°, 72° et 36°.
(La somme de ces angles est bien égale à 180°, amplitude que tout triangle se doit d'avoir).

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Voici la marche à suivre pour diviser un triangle d'or en multiples petits triangles d'or :

  1. Construisez un triangle dont les angles font respectivement 72°, 72° et 36°.

  2. Tracez la bissectrice d'un des deux angles de 72° afin d'avoir deux angles de 36°. On obtient deux triangles d'or de taille différente.

  3. Tracez la bissectrice d'un des deux angles de 72° (du dernier triangle tracé) afin d'avoir deux angles de 36°. On obtient trois triangles d'or de taille différente.

  4. Tracez la bissectrice d'un des deux angles de 72° (du dernier triangle tracé) afin d'avoir deux angles de 36°. On obtient cinq triangles d'or de taille différente.

On pourrait continuer à former de nouveaux triangles d'or générés par les nouveaux triangles une infinité de fois.

Si l'on prend un compas et qu'on trace des morceaux de cercle (qui font chacun 72°) en mettant la pointe sur le sommet du dernier (au premier) triangle tracé, on obtient la spirale de Fibonacci. Les sommets des triangles sont les points directeurs pour le tracé de la spirale. Celle-ci peut aller de l'infiniment petit à l’infiniment grand (vu que l'on peut compléter le triangle d'or vers l’infiniment grand).

Avez-vous remarqué que l'on peut trouver dix triangles d'or dans le pentagone étoilé ? Les diagonales du pentagone sont égales à la longueur des côtés des triangles d'or. Les cinq triangles qui constituent les cinq branches de l'étoile sont eux aussi des triangles d'or.

Le triangle d'argent

Citation

Un triangle d'argent est un triangle isocèle dont le rapport entre la base et le côté est égal au nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 108°, 36° et 36°.
(La somme de ces angles est bien égale à 180°, amplitude que tout triangle se doit d'avoir).

Voici la marche à suivre pour obtenir ce triangle :

  1. Construisez un triangle ABC dont les angles font respectivement 108°, 36° et 36°.

  2. Tracez la hauteur (aussi appelée la médiane relative, la médiatrice ou la bissectrice) de l'angle A. Nommez le pied de celle-ci, H.
    On obtient deux triangles rectangles (ABH et ACH) dont les angles font 90°, 54° et 36°.
    (La somme de ces angles est bien égale à 180°, amplitude que tout triangle se doit d'avoir).

Et voilà, le triangle d'argent est déjà fini !

Avez-vous remarqué que l'on peut trouver dix triangles d'argent dans le pentagone ? Les côtés du pentagone sont égaux à la longueur des bases des triangles d'argent.

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Ces deux triangles vont nous permettre de démontrer que le rapport entre la base (BC) et l'un des deux côtés adjacents (AB = AC) est égal au nombre d'or.

Comment connaît-on la valeur du numérateur et du dénominateur si l'on n'a aucune mesure ?

On a les amplitudes des angles donc, on peut trouver les valeurs qu'il nous faut grâce à la trigonométrie.

Voici un petit rappel sur la trigonométrie :

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Dans un triangle rectangle :

L'Hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Il s'agit du plus grand côté.
Le côté Opposé est le côté opposé à l'angle que l'on cherche.
Le côté Adjacent est le côté qui touche l'hypoténuse et l'angle que l'on cherche.

Le Sinus est égal au rapport entre le côté Opposé et l'Hypoténuse (SOH).
Le Cosinus est égal au rapport entre le côté Adjacent et l'Hypoténuse (CAH).
La Tangente est égale au rapport entre le côté Opposé et le côté Adjacent (TOA).
Ce qui nous donne : $\(\frac{BC}{BA} = 2\frac{BH}{BA} = 2 \cos{B} = 2.\cos36^\circ = \varphi\)$

CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer) !

Si l'on multiplie le cosinus de 36° par deux, on obtient le nombre d'or. Le cosinus de 36° fait partie des valeurs particulières des tables de cosinus que l'on connait et qui vaut : $\(\frac{1 + \sqrt{5}}{4}\)$

Si cet angle a un lien avec le nombre d'or, que diriez-vous de le convertir en radians ?
(Si vous n'avez jamais entendu parler de radians, un deuxième petit rappel trigonométrique s'impose).

On peut exprimer les mesures d'angles de différentes manières. Parmi celles-ci, on trouve les degrés (°) et les radians (rad).

Pour convertir votre angle (exprimé en degrés) en radians, multipliez-le par $\(\frac{\pi}{180^\circ}\)$

Pour convertir votre angle (exprimé en radians) en degrés, multipliez-le par $\(\frac{180^\circ}{\pi}\)$

Mais pourquoi le convertir ? Convertir un angle en radians demande de le mettre sous la forme d'une fraction où l'on retrouve la lettre pi au numérateur.

N'est-ce pas une belle occasion pour faire le lien entre pi et phi ?

$\(36^\circ.\frac{\pi}{180^\circ} = 1^\circ.\frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{5}\)$

$\(\cos36^\circ = \cos\frac{\pi}{5} = \frac{\varphi}{2}\)$

$\(2.\cos36^\circ = 2.\cos\frac{\pi}{5} = \varphi\)$

Le pavage de Penrose

Le pentagone est le premier polygone régulier avec lequel on ne peut pas faire de pavage du plan. Il est possible de paver un plan avec des triangles équilatéraux (trois côtés), des carrés (quatre côtés) et des hexagones réguliers (six côtés) mais pas avec le pentagone (cinq côtés). En revanche, si on découpe le pentagone en un triangle d'or et deux triangles d'argent, il est possible de faire un pavage qui ne se répète jamais, on appelle cela le pavage de Penrose :

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Source : Wikipédia

A : triangle d'or (aigu) - O : triangle d'argent (obtus)
Les triangles d'or et d'argent peuvent eux aussi se diviser en triangles d'or et d'argent :

  • Tout triangle d'or peut se décomposer (de quatre façons différentes) en trois triangles : un triangle d'argent et deux triangles d'or.

  • Tout triangle d'argent peut se décomposer (de deux façons différentes) en deux triangles : un triangle d'argent et un triangle d'or.

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Source : Wikipédia

Voici ce que ça donne lorsque l'on décompose un triangle d'or en une multitude de triangles d'or et d'argent :

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Source : Wikipédia

Avez-vous remarqué que lorsque l'on décompose ce triangle, on obtient un nombre de la suite de Fibonacci ?

  • Etape n°1 : 1 triangle d'or et 0 triangle d'argent.

  • Etape n°2 : 2 triangles d'or et 1 triangle d'argent.

  • Etape n°3 : 5 triangles d'or et 3 triangles d'argent.

  • Etape n°4 : 13 triangles d'or et 8 triangles d'argent.

  • Etape n°5 : 34 triangles d'or et 21 triangles d'argent.

  • Etape n°6 : 89 triangles d'or et 55 triangles d'argent.

Aller plus loin

Nous voilà déjà à la dernière partie de ce tutoriel, celle-ci a pour but de vous donner quelques exemples quant à l'utilisation de ce nombre. Il ne s'agit pas d'une liste exhaustive car il est impossible de tous les répétorier.

De Divina Proportione

Luca Pacioli (1445 à 1517), un moine et professeur de mathématiques écrivit avec l'aide de Léonard de Vinci, un ouvrage entièrement consacré au nombre d'or : De Divina Proportione, "La Divine Proportion" qui selon eux, donnerait l'harmonie parfaite d'une forme et d'une construction. L'œuvre originale a donc été écrite vers l'an 1500 en italien, les extraits ci-dessous ont été traduits en français mais peuvent paraître difficiles à comprendre.

Dans le chapitre V, Luca Pacioli évoque cinq raisons (à la fois philosophiques, théologiques et mathématiques) pour lesquelles il considère "La Divine Proportion" comme le partage en extrême et moyenne raison d'Euclide.

Citation

Il me paraît, Votre Excellence (le duc de Milan), que le titre approprié à notre traité doit être La Divine Proportion, et cela en vertu du grand nombre de similitudes que je rencontre dans notre proportion, celles dont il s'agira dans ce très utile discours, qui correspondent à Dieu Lui-même.

Elle est unique, parfaitement unique. Il est impossible de lui assigner d'autres catégories, ni distinctions. Et cette unité est l'épithète suprême de Dieu Lui-même, selon toutes les écoles théologiques et aussi philosophiques. Une même proportion se trouvera toujours entre trois termes, ni plus ni moins, comme nous le verrons. Notre proportion ne peut nullement se déterminer par un nombre rationnel ni s'exprimer de manière intelligible. Elle demeure toujours occulte et secrète et est appelée irrationnelle par les mathématiciens. Notre proportion est toujours, dans toute quantité continue ou discrète, grande ou petite, la même et toujours invariable. Et d'aucune manière elle ne peut changer et notre intellect ne peut l'appréhender autrement, comme le démontrera notre explication. Notre sainte proportion confère l'être formel au ciel lui-même, en lui associant la figure du corps appelé dodécaèdre, au corps à douze pentagones, lequel ne peut se former, comme démontré plus loin, sans notre proportion. De même, elle assigne une figure propre et différenciée à chacun des éléments : au feu la figure pyramidale appelée tétraèdre, à la terre le cube appelé hexaèdre, à l'air la figure de l'octaèdre et à l'eau l'icosaèdre. Et selon, les savants, tous les corps réguliers sont occupés par ces formes et figures, comme il sera expliqué plus loin pour chacun d'entre eux. À travers eux, notre proportion donne aussi forme à une infinité de corps appelés dépendants. Et il n'est possible ni de proportionner entre eux ces cinq corps réguliers ni de comprendre qu'ilspeuvent être circonscrits dans une sphère sans notre proportion. Bien que nous puissions ajouter d'autres correspondances, celles-ci suffisent pour justifier l'appellation du présent compendium.

Luca Pacioli présente dans cet extrait une brève description des solides de Platon. Le nombre d'or fut longtemps associé au dodécaèdre de Platon et certains ont même vu dans le nombre d'or, une preuve de l'existence de Dieu.

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Le dodécaèdre, dessiné par Léonard de Vinci dans De Divina Proportione.

La phyllotaxie

Citation

Phyllo, la feuille.
-taxie, l'arrangement et l'ordonnance.

La phyllotaxie est la science qui étudie l'ordre dans lequel sont implantées les feuilles ou les rameaux sur un végétal et la disposition des éléments d’un fruit, d’une fleur, d’un bourgeon ou d’un capitule.

Les motifs phyllotaxiques sont classés en plusieurs catégories selon l'arrangement des feuilles. En voici quelques-unes d'entre elles :

  • Les structures spiralées qui possèdent une feuille par noeud.

  • Les structures opposées-décussées qui possèdent deux feuilles par noeud.

  • Les structures verticillées qui possèdent trois (ou plus) feuilles par noeud.

Un noeud est le point d’attache d’une feuille ou d’un rameau sur la tige.
Rassurez-vous, le but de ce tutoriel n'est pas de vous initier à la botanique. Nous allons seulement nous intéresser aux structures spiralées. ;)

Dans la nature, on trouve divers végétaux qui possèdent des motifs spiralés, c'est le cas des pommes de pin, du tronc des palmiers, des tournesols, des ananas, des artichauts, des marguerites, etc.

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Les pommes de pin

Nous allons commencer par observer une pomme de pin. Je suppose que lorsque vous étiez petit (et peut être encore maintenant), vous aimiez aller vous ballader en forêt, respirer l'air pur et collectioner tout ce qui tombait des arbres. Si oui, vous avez sûrement déjà eu en main, un petit fruit conique qu'on trouve en-dessous des pins. En regardant le dessous de la pomme de pin, on peut constater des spirales particulièrement nettes.

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Source : technicoblog.blogspot.com

N'hésitez pas à compter le nombre de spirales dans les deux sens.

Avez-vous remarqué que le nombre de spirales est égal à un nombre de Fibonacci ?

8 et 13 sont deux nombres qui appartiennent à la suite de Fibonacci. N'est-ce pas innatendu de trouver là, deux nombres de la plus célèbre suite mathématique ? Et ce n'est pas tout, il existe des pommes de pin qui comptent 5 spirales dans un sens et 8 dans l'autre (il en existerait même avec 3 spirales dans un sens et 5 dans l'autre). Le nombre de spirales varie en fonction du degré d'allongement de la pomme de pin. Pour peu que la pomme de pin soit en bonne état et ne présente aucune anomalie, le nombre de spirales est toujours égal à un nombre de Fibonacci. Il est inutile de vous demander quel est le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or, vous le savez déjà.

Les plantes

On dit qu'une plante possède une structure spiralée si ses feuilles s'insèrent en spirale le long de la tige. Il a été prouvé que l'angle de divergeance entre deux feuilles successives est d'environ 137,5°. L'angle que l'on rencontre le plus souvent et qui résulte de l'écartement entre deux feuilles qui se suivent, n'est autre que l'angle d'or. Cette structure permettrait à la plante, de disposer d'un maximum de lumière et de place ce qui optimiserait la photosynthèse.

Voici comment se disposeraient les feuilles sur la tige :

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Mais comment se fait-il que l'angle moyen des plantes spiralées est égal à 137,5° ?

En botanique, l'angle de divergeance des plantes spiralées est égal au rapport entre un nombre de Fibonacci et le nombre qui se trouve deux rangs plus loin, multiplié par 360°. Ce rapport se rapproche de plus en plus de l'angle d'or :

$\((U_{n}/U_{n+2}).360^\circ\)$

(1/2).360°

(1/3).360°

(2/5).360°

(3/8).360°

(5/13).360°

(8/21).360°

(13/34).360°

(21/55).360°

(34/89).360°

(55/144).360°

$\(Angles\)$

180°

120

144°

135°

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Les tournesols

Les tournesols sont souvent associés au soleil, n'avez-vous jamais pensé l'associer à l'or ?

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Source : eljjdx.canalblog.com

Conclusion

Ce chapitre a été conçu de manière à ce que vous puissiez voir par vous-même que les mathématiques sont présentes partout. Dans le cas du nombre d'or, il existe d'autres endroits où l'on peut le trouver. Si vous tapez dans un moteur de recherche : nombre d'or, vous êtes sûr de tomber sur des dizaines de sites qui prétendent que le nombre d'or se dissimule à travers des peintures, des œuvres architecturales, des monuments célèbres etc. Soyez objectif lorsque vous lisez ce genre d'article, les égyptiens ne peuvent pas avoir utilisé ce nombre dans leurs pyramides, aucun texte écrit par l'auteur ou un mathématicien de l'époque ne le mentionne. Il y a dans le monde des millions de choses qui peuvent être mesurées et dont on peut faire le rapport. Il n'est donc pas étonnant que quelques unes d'entre elles soient proche du nombre d'or. Le fait de vouloir voir le nombre d'or partout, égare notre esprit pourtant logique.

Avant de nous quitter, que diriez-vous d'un petit QCM ? Une question par partie, allez c'est parti ! :pirate:

Et voilà, le tutoriel est déjà fini. J'espère vous avoir passionné fait découvrir quelque chose que vous ne connaissiez pas auparavant. :soleil:

Vous pouvez me faire part de vos remarques (positives comme négatives) et suggestions... sur le forum de ce tutoriel ou en m'envoyant un Message Privé.

Exemple de certificat de réussite
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