Mis à jour le 25/09/2015
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Les lentilles minces

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Une lentille est un objet transparent comportant deux faces relativement proches l'une de l'autre et pas tout à fait parallèles entre elles.

Dans ce chapitre, nous allons parler des lentilles minces, celles dont l'épaisseur est négligeable par rapport aux dimensions de leurs deux faces principales. Elles sont presque toujours rondes et, vues de face, elles ressemblent à ceci (à droite) :

Vues "de profil", elles peuvent avoir des aspects beaucoup plus variables. Voici 6 exemples :

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On distingue deux familles de lentilles minces :

  • Les 3 lentilles de gauche sont plus larges au centre et plus fines sur les bords : ce sont des lentilles convergentes.

  • Les 3 lentilles de droite sont plus fines au centre et plus larges sur les bords : ce sont des lentilles divergentes.

Toutes ces lentilles sont généralement en verre mais elles peuvent aussi être en plastique ou dans n'importe quel matériau transparent.

A - Lentilles minces convergentes

Une lentille mince, c'est donc deux dioptres, très proches l'un de l'autre, mais pas parallèles entre eux. Les rayons de lumière qui arrivent sur une lentille sont d'abord réfractés par le premier dioptre, puis par le second.

Le résultat de ces deux réfractions successives est assez intéressant. Prenons d'abord le cas d'une lentille mince convergente. Sur un schéma, elle est symbolisée (de profil) par une double flèche verticale :

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Le point O est en plein centre de la lentille. On l'appelle le centre optique de la lentille. Les rayons de lumière qui passent par le centre optique ne sont jamais déviés.

Et cette ligne horizontale, c'est l'axe optique de la lentille : une droite imaginaire perpendiculaire à la lentille et passant par le centre optique.

Si l'on envoie sur une lentille convergente un faisceau de lumière, c'est-à-dire un ensemble de rayons parallèles entre eux, et si ces rayons sont aussi parallèles à l'axe optique, ils vont converger après avoir traversé la lentille et vont se croiser en un point unique. C'est pour ça qu'on parle de lentille convergente. ;)

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Il y a donc beaucoup de lumière, beaucoup d'énergie, concentrée en ce point unique. Tellement d'énergie qu'il est théoriquement possible d'y allumer un feu. On appelle donc ce point le foyer de la lentille.

Plus précisément, on l'appelle le foyer image. Car la lentille a un deuxième foyer, le foyer objet, situé de l'autre côté. Si des rayons de lumière se croisent au foyer objet avant de traverser la lentille, ils seront parallèles entre eux, et parallèles à l'axe optique, quand ils ressortiront.

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Ajoutons les foyers au schéma précédent :

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On suppose ici (et sur tout mes autres schémas) que la lumière se déplace de gauche à droite.

Les points F et F' sont les foyers de la lentille. F est le foyer objet et F' le foyer image. Ils sont tous deux situés sur l'axe optique, à égale distance du point O.

Cette distance commune dépend des dimensions de la lentille. On l'appelle la distance focale, on la note f' et on l'exprime en mètres (ben oui : c'est une distance ;) ). Vous allez voir qu'elle est très importante. Car les lentilles ne sont pas toutes aussi convergentes les unes que les autres. Et certaines sont carrément divergentes. On appelle vergence la grandeur physique qui dit à quel point une lentille est convergente. Le symbole de la vergence est C. Ne me demandez pas pourquoi. ^^ Son unité est la dioptrie, représentée par la lettre grecque $\(\delta\)$ ("delta").

Plus une lentille est convergente, plus sa vergence est grande. Si elle est divergente (nous y reviendrons), sa vergence est négative. Or, cette vergence est directement liée à la distance focale par la relation :
$\(C = \frac{1}{f'}\)$
Donc, plus une lentille est convergente, plus sa distance focale est petite. C'est logique : plus elle est convergente et moins les rayons doivent parcourir une grande distance avant de se croiser.

Expérience

Bon, il est temps de faire quelque chose d'utile avec notre lentille. Il faut se placer dans une pièce sombre, pour qu'il n'y ait pas d'autres rayons de lumière que ceux qui nous intéressent. On fixe la lentille sur un support qu'on appelle un banc d'optique. Devant, on place un objet lumineux quelconque, qui sera représenté sur les prochains schémas par le segment AB :

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Je me servirai de l'écran blanc un peu plus tard. La droite verte sur la photo est, bien sûr, une droite imaginaire, perpendiculaire à la lentille et passant par O. C'est donc...

l'axe optique.

Schématisons ce dispositif :

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Le point B (comme tous les autres, mais on ne va en prendre qu'un : ce sera plus simple) émet des rayons de lumière dans toutes les directions. Ceux qui vont vers la droite vont atteindre la lentille, et être déviés. Et parmi eux, il y a trois rayons particuliers dont on peut prévoir le trajet :

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  • 1 : Ce rayon passe par le centre optique de la lentille. Il n'est donc pas dévié.

  • 2 : Ce rayon est parallèle à l'axe optique. Une fois la lentille franchie, il passera donc par le point F'.

  • 3 : Ce rayon passe par le point F. Une fois la lentille franchie, il sera donc parallèle à l'axe optique.

Surprise ! Ces trois rayons se croisent en un même point après la lentille, un point que nous appellerons B'. Si on place un écran blanc à cet endroit, on peut observer en B' une image de ce qui se trouve au point B. Et comme chacun des points de AB diffuse la lumière de la même façon, chacun engendre un point image quelque part sur le segment A'B'. On peut donc observer une image renversée de l'objet AB :

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On peut même enregistrer cette image en plaçant une pellicule photographique sur l'écran. C'est le principe de l'appareil photo ! :) Nous verrons d'autres applications concrètes au prochain chapitre.

Pour obtenir une image nette, il faut bien mettre l'écran au niveau des points A' et B'. Si on le met un peu avant ou un peu après, l'image sera floue.

Exercice

Avant de lire la suite, je vous propose, pour bien digérer ce passage, de vous entraîner à construire des images. Copiez le schéma ci-dessous dans votre logiciel de dessin préféré, puis tracez vous-mêmes les rayons issus de B et cherchez où il faut placer l'écran blanc pour voir une image nette A'B' de AB. Quelle est, en pixels, la distance entre la lentille et l'écran ?

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Il y a 60 pixels entre la lentille et l'image A'B'. C'est au niveau de cette image qu'il faut placer l'écran.

Remarquer qu'il suffit de tracer 2 rayons pour trouver B'.

B - Lentilles minces divergentes

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Les lentilles divergentes ne font pas converger mais diverger les rayons de lumière qui les traversent. Du coup, il y a pas mal de choses qui changent. Regardez sur le schéma de droite comment on la représente et remarquez que les deux foyers sont inversés. La lumière, pourtant, se propage toujours de la gauche vers la droite.

La vergence C et la distance focale f' d'une lentille divergente sont négatives.

Négative, la distance focale ? :o Mais comment une distance peut-elle être négative ?

C'est vrai, une distance est toujours positive. f' n'en est pas vraiment une. C'est plutôt ce qu'on appelle une distance algébrique : une distance avec un sens. C'est-à-dire qu'il y a un point de départ et un point d'arrivée. Si le point d'arrivée (ici F') est à droite du point de départ (ici O), alors la distance algébrique est positive. Mais s'il se trouve à gauche, alors la distance algébrique est négative. On peut aussi noter une distance algébrique de cette façon : $\(\overline{OF'}\)$, avec une barre au dessus, pour la distinguer d'une distance ordinaire. $\(f' = \overline{OF'}\)$

Mais comment F' peut-il être à gauche ? Comment des rayons sortant de la lentille peuvent-ils se croiser en un point situé avant la lentille ?

Les rayons sortant d'une lentille divergente ne convergent nulle part. Je vous l'ai dit : ils divergent. Mais si on prolonge ces rayons vers la gauche, regardez ce que font ces prolongements :

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  • Si un rayon arrive parallèlement à l'axe optique, il s'en éloigne après la lentille, mais son prolongement vers la gauche passe par le foyer image F'.

  • Si un rayon se dirigeait vers le foyer objet F avant d'atteindre la lentille, alors il est parallèle à l'axe optique quand il ressort.

  • Comme avec une lentille convergente, les rayons passant par le centre optique ne sont pas déviés.

Finalement, ce n'est pas si compliqué, vous voyez. Ce sont les mêmes règles qu'avec une lentille convergente. Enfin presque... :-°

Voyons si, en appliquant ces règles, on peut former l'image d'un objet à travers une lentille divergente.
L'objet AB est placé juste derrière la lentille. Comme toute à l'heure, nous allons examiner 3 rayons particuliers passant par B. Les 3 mêmes que pour la lentille convergente.

  • Le rayon 1 (en bas à gauche), passant par B et par le centre optique, n'est pas dévié. Pour lui, c'est simple. Bon, d'accord, il passe d'abord par O avant de passer par B, mais on ne va pas en faire un plat. ;)

  • Voyons maintenant le rayon 2 (à gauche au milieu), qui arrive sur la lentille parallèlement à l'axe optique. Ce rayon passe par B. Bon d'accord, il ne passe pas vraiment par B puisque la lentille le dévie avant. Mais son prolongement (en vert) passe par B. Après avoir franchi la lentille, le rayon sortant doit passer par F'. Mais vous l'avez compris : F' est à gauche. C'est donc le prolongement du rayon sortant (à gauche en vert) qui passe par F'.

  • Le 3ème rayon particulier, en haut à gauche, c'est celui dont le prolongement passe par B et par F. Après avoir franchi la lentille, ce rayon devient parallèle à l'axe optique.

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On obtient donc trois rayons sortant de la lentille. Ces rayons ce croisent en un point que nous appellerons B'. Ce dispositif forme l'image A'B' de AB. Une image plus grande que l'objet de départ mais dans le même sens.

C - Objet, image, réel et virtuel

Maintenant que nous avons vu ces deux exemples, nous pouvons définir les termes objet et image. Ces définitions sont valables aussi bien pour des lentilles convergentes que pour des lentilles divergentes.

Un point objet (B, par exemple) est le point d'intersection des rayons de lumière entrant dans la lentille ou de leurs prolongements.

Un point image (B', par exemple) est le point d'intersection des rayons de lumière sortant de la lentille ou de leurs prolongements.

On distingue deux sortes d'images : les images réelles, que l'on peut recueillir sur un écran, et les images virtuelles, que l'on ne peut observer qu'à travers la lentille. Si les rayons sortant de la lentille se croisent vraiment, l'image sera réelle. Si ce sont seulement leurs prolongements qui se croisent, l'image sera virtuelle.

De même, il existe des objets réels et des objets virtuels. Si les rayons entrant se croisent vraiment, l'objet est réel. Si ce sont leurs prolongements qui se croisent, l'objet est virtuel.

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Voyons maintenant deux autres exemples. Que se passe-t-il si on place un objet juste devant une lentille convergente ?

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L'image A'B' obtenue est virtuelle. On ne peut pas la recueillir sur un écran. Mais si on place notre oeil à droite, et si on regarde à travers la lentille, on la verra. Elle est plus grosse que AB donc plus facile à observer. Et elle est dans le bon sens. Dans cet exemple, la lentille convergente a servi de loupe.

Avec une lentille divergente, maintenant. L'objet est placé à gauche.

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Là encore, l'image est de type virtuel puisque ce sont les prolongements des rayons sortants qui se croisent. Il faut regarder à travers la lentille pour la voir. Cette fois, l'image obtenue est plus petite que l'objet, ce qui présente en général un intérêt limité.

D - Emplacement et taille de l'image

Pour prévoir l'emplacement d'une image, ainsi que sa taille, il n'est pas nécessaire de sortir à chaque fois sa panoplie de géomètre. Des formules mathématiques permettent de les déterminer par le calcul, ce qui est souvent plus simple, surtout quand on a plusieurs lentilles l'une derrière l'autre.

Ce qui est bien pratique, c'est que ces formules sont exactement les mêmes avec toutes les lentilles, qu'elles soient convergentes ou divergentes, avec tous les objets, qu'ils soient réels ou virtuels, et avec toutes les images, qu'elles soient, elles aussi, réelles ou virtuelles.

Il y a, d'abord, la formule de conjugaison, pour localiser l'image :
$\(\frac{1}{a'}-\frac{1}{a}=\frac{1}{f'}\)$

  • $\(a = \overline{OA}\)$ C'est la distance algébrique de O vers A, en mètres (m)

  • $\(a' = \overline{OA'}\)$ C'est la distance algébrique de O vers A', en mètres (m)

  • $\(f' = \overline{OF'}\)$ C'est la distance algébrique de O vers F', en mètres (m)

Exercice

Un objet est placé à 10 cm à gauche d'une lentille mince convergente de distance focale 3 cm. Où se trouve son image ? Vous pouvez faire un schéma grandeur nature pour vous aider.

L'objet est à gauche de la lentille donc A est à gauche de O, donc la distance algébrique a est négative.

C'est a' qu'on cherche. a = - 10 cm = - 0,10 m et f' = 3,0 cm = 0,030 m.
$\(\frac{1}{a'} = \frac{1}{a} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{- 0,10} + \frac{1}{0,03} = - 10 + 33 = 23\ \delta\)$

$\(a'=\frac{1}{23}=0,043\ \mathrm{m} = 4,3\ \mathrm{cm}\)$

L'image se trouve donc à 4,3 cm à droite du centre optique de la lentille.

La taille, à présent. Le grandissement est une grandeur physique sans unité, de symbole $\(\gamma\)$ ("gamma"), qui permet de comparer la taille de l'image à celle de l'objet.

Soit h la hauteur de l'objet, c'est-à-dire la distance algébrique $\(\overline{AB}\)$ de A vers B. Soit h' la hauteur de l'image, c'est-à-dire la distance algébrique $\(\overline{A'B'}\)$ de A' vers B'.
$\(\gamma = \frac{h'}{h}=\frac{a'}{a}\)$

Exercice

Soit AB un objet de 3,0 cm de haut. B est au dessus de A. On le place à 2,0 cm à droite d'une lentille mince divergente de distance focale - 5,0 cm. Où se trouve l'image et quelle est sa hauteur ?

h = 3,0 cm = 0,030 m
a = 2,0 cm = 0,020 m
f'= -5,0 cm = -0,050 m

$\(\frac{1}{a'} = \frac{1}{a} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{0,020} + \frac{1}{-0,050} = 50 - 20 = 30\ \delta\)$

$\(a'=\frac{1}{30}=0,033\ \mathrm{m} = 3,3\ \mathrm{cm}\)$

L'image se trouve donc à 3,3 cm à droite du centre optique de la lentille.
$\(\frac{h'}{h}=\frac{a'}{a}\)$

$\(h'=\frac{h\cdot a'}{a} = \frac{0,030\cdot 0,033}{0,020} = \frac{3,0}{2,0}\cdot0,033 = 0,050\ \mathrm{m} = 5,0\ \mathrm{cm}\)$
L'image mesure donc 5,0 cm de haut et elle est à l'endroit. Si elle avait été renversée, on aurait trouvé une valeur négative.

Vous aimez les lentilles ? :) Tant mieux. On va continuer à travailler avec elles, et en associer plusieurs pour mettre au point divers systèmes optiques tous plus utiles les uns que les autres.

Exemple de certificat de réussite
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