Mis à jour le 25/09/2015
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Systèmes optiques

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Les lentilles nous permettent de jouer avec la lumière. Elles ont de nombreuses applications. Je vous propose maintenant d'en examiner quelques-unes.

En commençant par la plus essentielle de toutes : l'oeil.

A - L'oeil

L'oeil est l'organe de la vue. C'est lui qui reçoit la lumière du monde extérieur et la convertit en influx nerveux compréhensibles par le cerveau. Voici un schéma anatomique d'un oeil humain :

Image utilisateur

La cornée et le cristallin constituent ensemble un lentille convergente. Seul le centre de cette lentille (la pupille) est effectivement transparent : le reste est masqué par l'iris, ce qui garantit le respect des conditions de Gauss. Au fond de l'oeil, au centre de la rétine, la fovéa correspond à peu près au foyer image F' de cette lentille. La rétine en général joue le rôle d'écran. C'est là que l'oeil forme l'image (réelle) des objets extérieurs.

Voici donc un schéma plus simple :

Image utilisateur

Les deux rayons de lumière représentés en rouge sur ce schéma proviennent d'un même point : celui qu'on regarde. Si ce point n'est pas trop proche, les deux rayons sont pratiquement parallèles entre eux quand ils arrivent sur la cornée. Par contre, il n'y a aucune raison pour qu'ils soient parallèles à l'axe optique de l'oeil.

Le rayon qui passe par le centre optique n'est pas dévié. L'autre si.

Les deux rayons sortants rouges se croisent donc quelque part dans le plan focal image de l'oeil. C'est donc dans ce plan que se forme une image nette du monde extérieur, à l'exception toutefois des objets très proches de l'oeil. Et comme la nature est très bien faite :) , c'est aussi là que se trouve la rétine.

Et comment fait-on pour regarder des objets proches ? Pour lire un livre, par exemple ?

Les rayons de lumière venus d'un point du livre ne sont pas parallèles entre eux quand ils arrivent sur la cornée. On est dans le cas du premier exemple du chapitre précédent : l'image va se former plus loin que le plan focal image. Heureusement, les muscles ciliaires sont là. En se contractant, ils modifient la courbure de la cornée et réduisent la distance focale. Du coup, le plan focal se retrouve en avant de la rétine. Et l'image nette, elle, se forme bien sur la rétine. On dit que l'oeil accommode.

Mais bien sûr, ce travail fatigue les muscles ciliaires. Il est donc plus reposant pour l'oeil de regarder l'horizon plutôt qu'un objet proche. En plus, ces muscles ont leurs limites. Si vous placez votre doigt juste devant votre oeil, ils ne pourront pas accommoder suffisamment pour que vous le voyiez net. De même, impossible de voir nettement le bout de votre nez. o_O

On appelle punctum proximum, la plus petite distance à laquelle on est capable de voir nettement un objet en accommodant. Cette valeur varie d'un individu à l'autre et a tendance à augmenter avec l'âge. De plus, certaines personnes souffrent de presbytie, un dysfonctionnement des muscles ciliaires, et ont un punctum proximum relativement éloigné.

On parle aussi de punctum remotum, la plus grande distance à laquelle on peut voir un objet. Mais rien n'est plus facile pour un oeil que de regarder l'horizon, ou même les étoiles. Le punctum remotum se trouve donc à l'infini.

B - Les verres correcteurs

Parfois, l'oeil ne fonctionne pas aussi bien qu'on le voudrait. La position de la rétine ne correspond pas à celle du plan focal image. Il faut alors recourir à des verres correcteurs pour que les images nettes se forment quand même sur la rétine.

Correction de l'hypermétropie

Un oeil hypermétrope est un oeil trop peu convergent ou trop peu profond. Sa distance focale est plus grande que la distance entre la pupille et la rétine. Son plan focal image se trouve donc derrière la rétine. En accommodant, les personnes hypermétropes peuvent arriver à voir les objets lointains. Mais c'est fatiguant. Et ils ne peuvent pas voir nettement les objets proches.

Image utilisateur

Le problème est donc que l'oeil n'est pas assez convergent. On peut arranger ça en plaçant devant lui une deuxième lentille convergente. Ce verre correcteur peut être une lentille de contact ou faire partie d'une paire de lunettes.

Image utilisateur

Le verre correcteur commence à faire converger les rayons de lumière. La cornée et le cristallin continuent le travail, et les rayons se croisent sur la rétine.

Bien sûr, la vergence du verre correcteur doit être soigneusement choisie. Voyons si vous feriez un bon opticien.

Exercice

Un patient hypermétrope a une profondeur de 1,2 cm entre sa pupille et sa rétine. La distance focale de son oeil est de 1,6 cm. Pour qu'il puisse regarder sans effort un arbre situé à l'infini, on lui donne une paire de lunettes, avec des verres correcteurs placés à 2,0 cm devant ses yeux. Quelle est la vergence de ces verres ?

Pas évident, hein ? :euh:

Bon, je vous donne la réponse. Et vous chercherez vous-mêmes pour la myopie.

On appelle L1 la première lentille (le verre correcteur) et L2 la seconde (la cornée + le cristallin).

$a_1 = -\infty$ : on regarde les objets à l'infini.
$a'_2 = 1,2\ \mathrm{cm} = 0,012\ \mathrm{m}$$f'_2 = 1,6\ \mathrm{cm} = 0,016\ \mathrm{m}$$\overline{O_1O_2} = 2,0\ \mathrm{cm} = 0,020\ \mathrm{m}$

On cherche $C_1$, la vergence de L1. Appliquons la formule de conjugaison.

$\frac{1}{a'_1} - \frac{1}{a_1} = \frac{1}{f'_1}$ donc $\frac{1}{a'_1} - \frac{1}{-\infty} = C_1$ donc $\frac{1}{a'_1} - 0 = C_1$ donc $C_1=\frac{1}{a'_1}$

$a'_1$ est la distance algébrique $\overline{O_1A'_1}$. Au point $A'_1$ se trouve l'image de l'arbre par le verre correcteur. Cette image intermédiaire sert d'objet à la seconde lentille. L'image définitive sera sur la rétine. Donc le point $A'_2$ se trouve sur la rétine tandis que $A_2$ n'est autre que $A'_1$.

Donc $\overline{O_1O_2} + a_2 = a'_1$ donc $C_1 = \frac{1}{\overline{O_1O_2} + a_2}$ donc il faut maintenant calculer $a_2$.

$\frac{1}{a'_2} - \frac{1}{a_2} = \frac{1}{f'_2}$ donc $\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a'_2} - \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{0,012} - \frac{1}{0,016} = 21\ \delta$ donc $a_2 = 0,048\ \mathrm{m}$

$C_1 = \frac{1}{\overline{O_1O_2} + a_2} = \frac{1}{0,020 + 0,048} = \frac{1}{0,068} = 15\ \delta$

Il faut des verres de $15\ \delta$ pour corriger la vue de ce patient hypermétrope. Cette vergence est positive donc les verres correcteurs sont convergents.

Correction de la myopie

Un oeil myope est un oeil trop convergent ou trop profond. Sa distance focale est plus petite que la distance entre la pupille et la rétine. Son plan focal image se trouve donc devant la rétine. En accommodant, les personnes myopes peuvent arriver à voir les objets proches. Mais c'est fatiguant. Et ils ne peuvent pas voir nettement les objets éloignés. Leur punctum remotum n'est pas à l'infini.

Image utilisateur

Le problème est donc que l'oeil est trop convergent. On peut arranger ça en plaçant devant lui une lentille divergente. Ce verre correcteur peut être une lentille de contact ou faire partie d'une paire de lunettes.

Image utilisateur

Le verre correcteur fait diverger les rayons de lumière. Ensuite, la cornée et le cristallin les font converger juste assez pour qu'ils se croisent sur la rétine.

Bien sûr, la vergence du verre correcteur doit être soigneusement choisie. Cette fois, à vous de faire le calcul.

Exercice

Un patient myope a une profondeur de 1,5 cm entre sa pupille et sa rétine. La distance focale de son oeil est de 1,2 cm. Pour qu'il puisse regarder sans effort un arbre situé à l'infini, on lui donne une paire de lunettes, avec des verres correcteurs placés à 2,2 cm devant ses yeux. Quelle est la vergence de ces verres ?

On appelle L1 la première lentille (le verre correcteur) et L2 la seconde (la cornée + le cristallin).

$a_1 = -\infty$ : on regarde les objets à l'infini.
$a'_2 = 1,5\ \mathrm{cm} = 0,015\ \mathrm{m}$$f'_2 = 1,2\ \mathrm{cm} = 0,012\ \mathrm{m}$$\overline{O_1O_2} = 2,2\ \mathrm{cm} = 0,022\ \mathrm{m}$

On cherche $C_1$, la vergence de L1. Appliquons la formule de conjugaison.

$\frac{1}{a'_1} - \frac{1}{a_1} = \frac{1}{f'_1}$ donc $\frac{1}{a'_1} - \frac{1}{-\infty} = C_1$ donc $\frac{1}{a'_1} - 0 = C_1$ donc $C_1=\frac{1}{a'_1}$

$a'_1$ est la distance $\bar{O_1A'_1}$. Au point $A'_1$ se trouve l'image de l'arbre par le verre correcteur. Cette image intermédiaire sert d'objet à la seconde lentille. L'image définitive sera sur la rétine. Donc le point $A'_2$ se trouve sur la rétine tandis que $A_2$ n'est autre que $A'_1$.

Donc $\overline{O_1O_2} + a_2 = a'_1$ donc $C_1 = \frac{1}{\overline{O_1O_2} + a_2}$ donc il faut maintenant calculer $a_2$.

$\frac{1}{a'_2} - \frac{1}{a_2} = \frac{1}{f'_2}$ donc $\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a'_2} - \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{0,015} - \frac{1}{0,012} = -17\ \delta$ donc $a_2 = - 0,060\ \mathrm{m}$

$C_1 = \frac{1}{\overline{O_1O_2} + a_2} = \frac{1}{0,022 - 0,060} = \frac{1}{-0,038} = -26\ \delta$

Il faut des verres de $-26\ \delta$ pour corriger la vue de ce patient myope. Cette vergence est négative donc les verres correcteurs sont divergents.

C - Le microscope

Maintenant que tout le monde voit clair, que diriez-vous d'un peu de Biologie pour changer ? Penchons-nous sur le monde des cellules et organismes microscopiques. Admirez par exemple cette magnifique paramécie, l'un des plus petits animaux que l'on connaisse :

Image utilisateur
Image utilisateur

Elle mesure environ 200 µm de long. 0,2 mm, si vous préférez. Pour la voir aussi bien, on doit naturellement se servir d'un instrument d'optique : un microscope. Cette fois-ci, pas moins de 3 lentilles convergentes interviennent :

  • L'objectif, situé du côté de l'objet observé.

  • L'oculaire, auquel nous accolons notre oeil.

  • L'oeil lui-même, bien entendu.

La lumière arrive par en bas. Un miroir l'envoie vers la plateforme où se trouve l'échantillon à analyser. Celui-ci doit être très fin, pour que la lumière puisse passer et atteindre la première lentille : l'objectif.

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Comme toute lentille convergente, l'objectif produit de l'objet AB une image réelle A'B'. Grâce aux mollettes de mise au point, on règle la distance entre l'objectif et l'oculaire jusqu'à ce que A'B' se retrouve dans le plan focal objet de l'oculaire.

Donc, tous les rayons de lumière passant par le point B' sont parallèles entre eux après avoir franchi l'oculaire. Ils sont donc toujours parallèles entre eux quand ils atteignent la cornée. Et comme on l'a vu au début de ce chapitre, des rayons parallèles entre eux finissent par converger dans le plan focal image de l'oeil : sur la rétine, donc. Pour chaque point de la paramécie observée, on obtient un et un seul point de lumière sur la rétine. Donc on voit la paramécie.

Et pourquoi l'image est-elle plus grosse que la paramécie réelle ?

Parce que l'image A'B' est plus loin de l'objectif que l'objet AB. La formule du grandissemment, vue au chapitre précédent (qui découle tout simplement du théorème de Thalès), nous montre que si OA' > OA, alors A'B' > AB.

D - La lunette astronomique

Allez, maintenant, on lève le nez. Regardez vers la Lune. Comme le microscope, la lunette astronomique fait intervenir trois lentilles convergentes : l'objectif (vers l'objet), l'oculaire (vers l'oeil) et l'oeil lui-même. Mais cette fois, l'objet à observer n'est pas 2 mm plus bas. Il est au minimum à des centaines de milliers de kilomètres plus haut. Autrement dit : à l'infini. Et il est clair que deux rayons issus d'un même point de la Lune sont tout à fait parallèles entre eux quand ils arrivent sur l'objectif.

L'important, quand on regarde la Lune, c'est l'angle sous lequel on la voit. L'angle noté i sur le schéma suivant :

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Plus l'angle i est grand, plus on peut voir de détails sur la Lune. Le rôle de la lunette astronomique est donc d'augmenter cet angle.

Le grossissement d'un instrument d'optique est une grandeur physique sans unité, de symbole G, définie par :
$G=\frac{i'}{i}$

  • i' : Angle sous lequel on voit un objet à travers un l'instrument. Ici, la Lune à travers la lunette.

  • i : Angle sous lequel on voit cet objet à l'oeil nu.

Alors, voyons comment fonctionne la lunette :

Image utilisateur

Les deux rayons verts à gauche proviennent du même point de la Lune. Ils sont parallèles entre eux donc se croisent en un certain point du plan focal image de l'objectif L1. On appelle ce point B'. C'est une image réelle. En glissant une pellicule photographique dans ce plan focal, on pourrait photographier la Lune.

L'observateur règle la longueur de la lunette, c'est-à-dire la distance entre L1 et L2. Il s'arrange pour que le point B' se retrouve aussi dans le plan focal objet de l'oculaire L2. Ce plan focal commun à L1 et à L2 doit se trouver plus près de L2 que de L1 pour que l'image de la Lune soit plus grosse que l'originale.

Les rayons de lumière passant par B' sont parallèles entre eux après avoir franchi l'oculaire. L'angle qu'ils forment avec l'axe optique est plus grand que ne l'était l'angle entre ce même axe optique et les rayons lunaires. Ces rayons parallèles arrivent sur l'oeil et donnent donc lieu à un unique point image sur la rétine.

En fait, le grossissement d'une lunette astronomique est tout simplement égal à $\frac{f'_1}{f'_2}$. Plus le plan focal commun est proche de L2 et loin de L1, plus la lune est grossie. Du coup, on peut avoir intérêt à augmenter artificiellement la valeur de $f'_1$ en plaçant juste derrière l'objectif une lentille divergente. On y gagne en grossissement mais on y perd en luminosité. C'est donc intéressant pour la Lune, qui est très lumineuse au départ, mais à éviter quand on observe des étoiles peu brillantes.

Il existe bien d'autres types d'instruments d'optiques, depuis les télescopes jusqu'aux rétroprojecteurs. En plus des lentilles, certains font intervenir des miroirs.

Et puis il y a ceux que nous allons maintenant découvrir, et qui ont permis de mesurer la vitesse de la lumière.

Exemple de certificat de réussite
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