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Last updated on 12/6/13

La multiplication (partie 2/2)

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Après la théorie, la pratique ! Dans ce chapitre nous allons voir une méthode concrète pour faire les multiplications. Toutes les multiplications, et pas seulement celles qui correspondent à une identité remarquable ou à une astuce. La méthode que je vais vous montrer est très générale et marche toujours.

À vrai dire, cette méthode vous la connaissez peut-être déjà car c'est celle que l'on apprend habituellement à l'école primaire quand on nous explique comment faire les multiplications. Seulement voilà, à l'école primaire on vous a peut-être appris la méthode mais on ne vous a probablement pas expliqué d'où elle sort ni pourquoi elle marche. C'est ce que je vais faire ici.

Les tables de multiplications

La méthode que je vais vous expliquer nécessite de connaître ce que l'on appelle les tables de multiplication, c'est à dire tous les produits entre deux nombres compris entre 0 et 9.

En général, on représente les tables de multiplication sous forme d'un tableau :

table de multiplication

Le produit de deux nombres se lit à l'intersection de la ligne de l'un et de la colonne de l'autre. Par exemple, 3×4 se lit à l'intersection de la troisième ligne et de la quatrième colonne :

table de multiplication

3×4 = 12.

Ces tables de multiplication ont fait trembler des générations entières d'écoliers ! Parce que pour faire une multiplication, il faut commencé par connaître tous les résultats contenus dans ce tableau. Il y a 100 cases. :o
Pourtant quand on y réfléchit, on se dit que ce n'est pas si mal que ça : imaginez, vous n'avez "que" 100 résultats à connaître et avec ceux là, vous pourrez effectuer l'infinité de toutes les multiplications possibles ! Cent pour une infinité c'est tout de même rentable. :p

D'autant plus qu'il est facile de réduire ce nombre.

Tout d'abord, il y a la commutativité. Vous remarquez que le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale. Par conséquent plus besoin d'apprendre 3×4 et 4×3, on n'en apprend qu'un et on connaît l'autre ! Ceci réduit déjà pas mal les cases à apprendre dans le tableau :

table de multiplication

Plus que 55 cases à apprendre ! :)

Ensuite on peut enlever la ligne 0 et la ligne 1 qui, vous l'avouerez, se retiennent en une seconde :

table de multiplication

Et hop ! Plus que 36 à retenir.

Ensuite, il y a toutes sortes d'astuces pour retrouver les autres. En fait, je vous conseille de ne pas apprendre les tables de multiplication par cœur, :-° mais de calculer le résultat que vous voulez de tête à chaque fois. C'est un peu plus long au début, mais avec de l'entraînement on rattrape vite le temps perdu. Et la gymnastique de l'esprit ne fait jamais de mal pour entretenir son cerveau !

Bon voici quand même quelques trucs :

La table de 2

La table de 2 est vraiment très simple elle aussi. Pour multiplier un nombre par deux, il suffit de l'additionner avec lui même. Par exemple 7×2 = 7+7 =14.

La table de 4

On utilise le fait que 4=2×2. La table de quatre est donc égale à la table de 2 multipliée par 2. Donc pour trouver 8×4 on fait : 8+8 = 16, 16+16 = 32, donc 8×4 = 32. Ou pour trouver 7×4 on fait : 7+7 = 14, 14+14 = 28, donc 7×4 = 28.

La table de 5

Cette fois, l'astuce est différente. On remarque que 5 c'est 10 divisé par 2. Donc pour multiplier par 5, on va d'abord multiplier par 10 (ce qui est vraiment très facile, il suffit d'ajouter un 0) puis on divise par 2 (ce qui est simple pour les chiffres ronds).

Par exemple pour calculer 8×5, on fait 8×10 = 80, 80÷2 = 40, donc 8×5 = 40. Et pour 5×5 : 5×10 = 50, 50÷2 = 25, donc 5×5 = 25.

Vous pouvez remarquer que les multiples de 5 se terminent tous soit par 0 soit par 5.

La table de 8

Le nombre 8 est le double de 4. Donc la table de 8 est égale à la table de 4 multipliée par 2. Par exemple 8×3 : 3+3 = 6, 6+6 = 12, 12+12 = 24. Donc 8×3 = 24.

La table de 9

Comme 9 = 10-1, pour multiplier un nombre par 9, on le multiplie d'abord par 10, puis on le soustrait une fois. Ainsi, 9×4= 40-4 = 36, 9×6 = 60-6 = 54, 9×8= 80-8 = 72, 9×9 = 90-9 = 81...

Maintenant, à vous de vous entraîner, de trouver vos propres trucs de calcul pour aller plus vite. ;)

Poser une multiplication

Ça fait un petit moment que je vous en parle, il serait peut-être temps qu'on y vienne enfin à cette méthode pour faire les multiplications. :-°

Le principe est très simple : nous allons décomposer chaque nombre selon ses unités, ses dizaines, ses centaines..., puis nous allons utiliser la distributivité.
Pour comprendre, mieux vaut un exemple. Calculons le produit 18×23.

$\Large 18\times 23$

Nous commençons par décomposer les deux nombres selon leurs dizaines et leurs unités :

$\Large 18\times 23=(10+8)(20+3)$

Puis on développe :

$\Large 18\times 23=10\times 20+10\times 3+8\times 20+8\times 3$

Il est maintenant facile de calculer les quatre termes avec les tables de multiplications :

$\Large 18\times 23=200+30+160+24$

Et il ne reste plus qu'à faire une addition :

$\Large 18\times 23=414$

Et voilà, le résultat ! Cependant, il est courant que l'on écrive toutes ces étapes sous une forme condensée :

multiplication 18x23

Et là d'un seul coup un éclair de compréhension traverse votre esprit ! :D "Mais bon sang, mais c'est bien sûr ! Quand je pose une multiplication, je ne fait rien d'autre que développer."

Et oui, c'est ça. Détaillons un peu plus la façon dont la multiplication ci-dessus est posée.

multiplication 18x23multiplication 18x23

On commence par multiplier les deux unités.
On inscrit le résultat sous la ligne de multiplication.

multiplication 18x23multiplication 18x23

On multiplie l'unité de 23 avec la dizaine de 18 : 3×1 = 3.
Comme on a une dizaine, le résultat est multiplié par 10.
On obtient donc 30, que l'on inscrit en-dessous.

multiplication 18x23multiplication 18x23

On multiplie la dizaine de 23 avec l'unité de 18 : 2×8 = 16.
On a une dizaine donc on rajoute un zéro à la fin pour multiplier par 10.
On inscrit le résultat, 160, en-dessous des autres.

multiplication 18x23multiplication 18x23

On multiplie les deux dizaines : 1×2 = 2.
Comme il s'agit de deux dizaines, on rajoute cette fois deux zéros pour multiplier deux fois par 10.
On obtient 200 que l'on inscrit en dessous.

multiplication 18x23multiplication 18x23

Voilà on a multiplié toutes les possibilités de combinaisons entre un chiffre de 18 et un chiffre de 23.
C'est-à-dire qu'on a bien tout développé.
Il ne reste donc plus qu'à faire l'addition finale.

Essayons en une autre pour voir. Par exemple 123×718. Si on écrit le développement de façon classique, cela donne ça :

multiplication

Et sous la forme d'une multiplication posée :

multiplication

Et les nombres à virgule ? Comment les multiplie-t-on ?

Nous allons utiliser une astuce. Supposons que nous voulions faire la multiplication 2,1×7,43. Comme nous savons déjà faire les multiplications des nombres entiers, nous allons multiplier 2,1 par 10 pour obtenir 21 et 7,43 par 100 pour obtenir 743. Et à la place de la multiplication 2,1×7,43, nous allons faire 21×743.

Mais si on fait ça, le résultat ne va pas être celui qu'on cherche ?

C'est vrai. En fait, on va obtenir un résultat 10×100 plus grand que celui que l'on cherche. Pour retomber sur nos pieds, il faudra donc que l'on divise le résultat obtenu par 1000 à la fin de la multiplication.

En bref, pour multiplier 2,1 et 7,43 :

  • on multiplie 21 et 743 ;

  • on divise par 1000.

Alors allons y posons la multiplication :

multiplication à virgule

Je vous laisse vérifier que vous êtes d'accord avec mon résultat. Normalement maintenant vous savez faire ça. ;)

Et maintenant il ne nous reste plus qu'à diviser par 1000. On trouve donc 15603÷1000=15,603. En conclusion :

$2,1\times 7,43=15,603.$

(Merci à henri27 qui m'a suggéré cette façon bien plus simple d'expliquer les multiplications à virgule. :) )

À vous maintenant de vous entraîner en vous posant d'autres multiplications avec l'habitude on finit par aller très vite. (Peut-être même plus vite que le temps de sortir la calculatrice s'il y a peu de chiffres :-° )

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