Maîtrisez les bases des probabilités

Différencier une VAC d'une VAD

Rappel

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, une variable aléatoire est dite continue ou à densité si elle prend ses valeurs dans un ensemble non dénombrable.

Exemple

Si une variable aléatoire est à valeur dans un ensemble $\$\backslash (E\backslash )\$$ , par exemple, dans le cas des ensembles $\$\backslash (E\; \backslash )\$$ suivants, elle est dite continue :

 $\$\backslash (E\; =\; [a\; ;\; b]\backslash )\$$ , $\$\backslash (a\; \backslash )\$$ et $\$\backslash (b\; \backslash )\$$ réels quelconques avec $\$\backslash (b\; >\; a\backslash )\$$

 $\$\backslash (E\; =\; \backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$

Dans ces deux cas de figure, il s'agit d'ensembles infinis et non dénombrables.

Tandis que, si notre variable aléatoire est à valeur, par exemple, dans l'un des ensembles $\$\backslash (E\; \backslash )\$$ suivants,  elle est qualifiée de discrète :

  $\$\backslash (E\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash pi\; ,\; \backslash sqrt\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right\backslash \}\backslash )\$$ 

Dans ce cas, il s'agit d'un ensemble fini, peu importe que les valeurs ne soient pas entières.

 $\$\backslash (E\; =\; \backslash mathbb\{N\}\backslash )\$$

L'ensemble des entiers naturels est le parfait exemple d'un ensemble dénombrable infini.

Fonction de répartition

Nous avons vu, au chapitre précédent, la définition d'une fonction de répartition et ses propriétés caractéristiques.

Soit $\$\backslash (F\_X\; \backslash )\$$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire $\$\backslash (X\backslash )\$$ . On peut considérer $\$\backslash (\; F\_X\; \backslash )\$$ comme la fonction de répartition d'une VAC si elle présente les deux propriétés suivantes :

Rappelons qu'une fonction est dite $\$\backslash (C^1\backslash )\$$ , sur $\$\backslash (\backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$ si elle est dérivable sur  $\$\backslash (\backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$ et que sa fonction dérivée est continue sur $\$\backslash (\backslash mathbb\{R\}\backslash )\$$ .

Densité de probabilité

Si  $\$\backslash (F\_X\backslash )\$$ est la fonction de répartition d'une VAC $\$\backslash (X\backslash )\$$ , alors les propriétés de $\$\backslash (F\_X\backslash )\$$ nous permettent de définir une fonction $\$\backslash (f\_X\backslash )\$$ telle que, pour tout $\$\backslash (x\backslash )\$$ réel, $\$\backslash (f\_X(x)\; =\; F\text{'}\_X(x)\backslash )\$$ .

Et nous avons, pour tout $\$\backslash (x\; \backslash )\$$ réel :

  $\$\backslash (F\_X(x)\; =\; \backslash mathbb\{P\}(X\; \backslash leq\; x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\{f\_X(t)\}dt\backslash )\$$

Par ailleurs, pour tout couple de réels $\$\backslash (a\; \backslash )\$$ et $\$\backslash (b\; \backslash )\$$ tels que $\$\backslash (b\; >\; a\backslash )\$$ , nous aurons :

  $\$\backslash (\backslash mathbb\{P\}(a\; \backslash leq\; X\; \backslash leq\; b)\; =\; F\_X(b)\; -\; F\_X(a)\; =\; \backslash int\_a^b\{f\_X(t)dt\}\backslash )\$$

Enfin, remarquons au passage que, pour tout réel $\$\backslash (\; a\backslash )\$$ :

 $\$\backslash (\backslash mathbb\{P\}(X=a)\; =\; \backslash int\_a^a\{f\_X(t)dt\}\; =\; 0\backslash )\$$

Cette dernière égalité signifie que la probabilité qu'une VAC $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ prenne une valeur ponctuelle en particulier sera toujours nulle. Pour une VAC, il faut raisonner par tranche de valeurs.

Espérance d'une VAC

Définition de l'espérance

Par analogie avec les VAD, on définit l'espérance d'une VAC $\$\backslash (X\backslash )\$$ de densité $\$\backslash (f\_x\backslash )\$$ , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  $\$\backslash (\backslash mathbb\{E\}(X)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\{xf\_X(x)dx\}\backslash )\$$

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une espérance que lorsque cette intégrale généralisée converge.

Convergence d'une intégrale généralisée

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle $\$\backslash ([a\; ,\; +\; \backslash infty[\; \backslash )\$$ . Alors on dira que l'intégrale suivante est généralisée ou impropre en $\$\backslash (+\backslash infty\backslash )\$$ :

  $\$\backslash (\backslash int\_a^\{+\backslash infty\}\{f(x)\}dx\backslash )\$$

Par ailleurs, on dira que cette intégrale converge si la limite suivante est finie :

 $\$\backslash (\backslash lim\backslash limits\_\{A\; \backslash rightarrow\; \{+\backslash infty\}\}\; \backslash int\_a^A\{f(x)\}dx\backslash )\$$

Avec $\$\backslash (A\; \backslash )\$$ , un réel dans $\$\backslash (\; [a\; ,\; +\; \backslash infty[\backslash )\$$ .

Variance d'une VAC

Toujours par analogie avec les VAD, on définit la variance d'une VAC $\$\backslash (X\; \backslash )\$$ de densité $\$\backslash (f\_X\backslash )\$$ , lorsqu'elle existe, par l'intégrale suivante :

  $\$\backslash (\backslash mathbb\{V\}(X)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\{(x-\backslash mathbb\{E\}(X))^2f\_X(x)dx\}\backslash )\$$

On précise lorsqu'elle existe, car une VAC n'admet une variance que lorsque l'intégrale généralisée suivante converge :

  $\$\backslash (\backslash mathbb\{E\}(X^2)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\{x^2f\_X(x)dx\}\backslash )\$$

Tout comme pour les VAD, en pratique, il sera souvent préférable d'utiliser la formule de Koenig-Huygens, sous réserve d'existence de $\$\backslash (\backslash mathbb\{E\}(X^2)\backslash )\$$ :

$\$\backslash (\backslash mathbb\{V\}(X)\; =\; \backslash mathbb\{E\}(X^2)\; -\; (\backslash mathbb\{E\}(X))^2\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\{x^2f\_X(x)dx\}\; -\; (\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}\{xf\_X(x)dx\})^2\backslash )\$$

Dans les exercices, on utilisera souvent cette relation pour le calcul, une fois que la question de l'existence de la variance sera élucidée.