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Last updated on 5/19/23

Utilisez le Théorème Central Limite

Convergence en loi

Rappel

Il existe différents types de convergences pour une suite de variables aléatoires. Au chapitre précédent, nous avons vu la convergence en probabilité. Voyons maintenant ce que l'on appelle la convergence en loi.

Définition (le cas général)

Soit $\((X_n)\)$ une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé $\((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\)$ . Pour tout entier naturel  $\(n\)$ , on note $\(F_n\)$ la fonction de répartition de $\(X_n\)$ . Soit $\(X \)$ une variable aléatoire définie également sur  $\((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\)$ et de fonction de répartition $\(F\)$ .

On dit que la suite $\((X_n) \)$ converge en loi vers $\(X \)$ si, en tout point $\(x \)$ où $\(F\)$ est continue, on a :

  $\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} F_n(x) = F(x)\)$

Notation

$\((X_n)\)$ converge en loi vers $\(X \)$ se note :$\(X_n \underset{n \to +\infty}{\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}}X\)$

Cas particulier des variables aléatoires discrètes

Soit $\((X_n)\)$ une suite de variables aléatoires discrètes et $\(X \)$ une variable aléatoire discrète. On suppose que les $\(X_n\)$ et $\(X\)$ sont à valeur dans $\(\mathbb{Z}\)$ . La suite $\((X_n)\)$ converge en loi vers $\(X \)$ si :

  $\(\forall k \in \mathbb{Z}, \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}(X_n=k) = \mathbb{P}(X=k)\)$

Exemple

Soit  $\((X_n)\)$ une suite de variables aléatoires suivant la loi exponentielle de paramètre $\(n\)$ . Cette suite converge en loi vers une variable $\(X \)$ que nous allons déterminer.

Commençons par rappeler ce que nous avons vu au chapitre 4 de la deuxième partie : si$\(X_n \hookrightarrow \mathscr{E}(n)\)$ , alors  la fonction $\(f_x\)$ , densité de probabilité de  $\(X_n\)$ , est définie comme suit :

  $\(f_{X_n}(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x < 0 \\ n e^{-n x} si \: \: x\geq 0 \\ \\ \end{array} \right.\)$

Et surtout, la fonction $\(F_{X_n}\)$ , fonction de répartition de $\(X_n\)$ , est définie par :

  $\(F_{X_n}(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x < 0 \\ 1- e^{-n x} si \: \: x\geq 0 \\ \\ \end{array} \right.\)$

Soit $\(X \)$ la variable aléatoire certaine égale à 0. Alors cette variable aléatoire a pour support $\(X(\Omega) = \left\{0\right\}\)$ et la fonction $\( F_X\)$ , fonction de répartition de $\(X \)$ , serait définie par :

 $\(F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x < 0 \\ 1 si \: \: x\geq 0 \\ \\ \end{array} \right.\)$

Et ainsi, on peut aisément constater que $\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} F_{X_n}(X) = F_X(x)\)$   , pour tout $\(x\)$ réel. Et en conclusion, on a :

 $\(X_n \underset{n \to +\infty}{\overset{\mathscr{L}}{\longrightarrow}}X\)$

Théorème central limite

Première approche

Voici une première façon d'interpréter le théorème de la limite centrale. Chaque fois que l'on a une suite de variables aléatoires indépendantes de même espérance $\(m \)$ et de même variance $\(\sigma^2\)$ , la moyenne de ces variables aléatoires est une variable aléatoire qui converge en loi vers une variable aléatoire qui suit une loi normale.

Qu'il s'agisse de la suite de variables aléatoires indiquant le poids des individus dans une population, de celle des variables aléatoires mesurant la taille des carottes lors d'une récolte, ou encore la durée de vie de téléphones portables à la sortie d'une usine, sans même considérer les lois de probabilités de ces suites de variables aléatoires, dès lors qu'elles sont indépendantes et qu'elles ont une même espérance et une même variance, leur moyenne converge en loi vers une variable aléatoire qui suit une loi normale.

Énoncé

Soit $\((X_n) \)$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, de même espérance m et même variance $\({\sigma }^2\)$ .

Considérons la suite des variables aléatoires  $\((\bar X_n)= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\)$ , moyenne empirique des $\((X_n)\)$ , et sa variable aléatoire centrée réduite $\((Z_n)\)$ avec $\(Z_n = \frac{\bar{X_n} - E(\bar{X_n})}{\sqrt{V(\bar{X_n})}}\)$   $\(= \sqrt{n} \frac {\bar{X_n} -m}{\sigma} \)$ .

Alors $\((Z_n)\)$ converge en loi vers une variable aléatoire normale centrée réduite. On a donc :

 $\(\forall x \in \mathbb{R}\)$ , $\(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}(a\leq Z_n \leq b) = \int_a^b{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt}\)$

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