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Last updated on 5/19/23

Familiarisez-vous avec quelques lois usuelles continues

Les lois uniformes

Définition de la loi uniforme sur $\([a;b]\)$ , avec $\(b>a\)$

Une variable aléatoire $\(X \)$ suit la loi uniforme sur  $\([a;b]\)$ , notée  $\(\mathscr{U}_{[a;b]}\)$ si $\(X \)$ a pour densité la fonction $\(f \)$ définie par :

 $\(f(x) = \frac{1}{b-a} \)$ si $\(x \in [a;b] \)$ et $\(f(x) = 0\)$ , sinon.

Il s'agit d'une fonction constante sur $\([a;b]\)$ .

Support

On peut considérer que le support d'une telle variable aléatoire est l'intervalle $\([a;b]\)$ .

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi $\(\mathscr{U}_{[a;b]}\)$ est la fonction $\(F_X\)$ définie, pour tout $\(x \)$ , par : $\(\left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x<a\\ \frac{x-a}{b-a} \: \: si \: \: a \leq x \leq b \\ 1 \: \: si \: \: x>b\\ \end{array} \right.\)$

Notation

On dira que X suit la loi uniforme sur $\({[\![1;n]\!]}\)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{U}_{[\![1;n]\!]}\)$

Les lois exponentielles

Définition de la loi exponentielle de paramètre $\(\lambda \)$ , avec $\(\lambda > 0\)$

Une variable aléatoire $\(X \)$ suit la loi exponentielle de paramètre $\(\lambda\)$ notée $\(\mathscr{E}(\lambda)\)$ , si une densité de $\(X \)$ est la fonction définie par :

$\(f(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x < 0 \\ \lambda e^{-\lambda x} si \: \: x\geq 0 \\ \\ \end{array} \right.\)$

Support

On peut considérer que le support d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est $\(\mathbb {R_{+}}\)$ .

Notation

On dira que $\(X \)$ suit la loi exponentielle de paramètre $\(\lambda\)$ . On notera : $\(X \hookrightarrow \mathscr{E}(\lambda)\)$

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi $\(\mathscr{E}(\lambda)\)$  est la fonction $\(F_X\)$ définie, pour tout réel x, par :

 $\(F_X(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 0 \: \: si \: x < 0 \\ 1 - e^{-\lambda x} si \: \: x\geq 0 \\ \\ \end{array} \right.\)$

Les lois normales de paramètres $\(m\)$ et $\({\sigma}^2\)$ , avec $\(\sigma 0\)$

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi $\(\mathscr{N}(m\)$ , $\({\sigma}^2)\)$ si elle admet comme densité la fonction $\(\phi_{m, \sigma}\)$ , définie, pour tout $\(x \)$ réel, par :

$\(\phi_{m, \sigma}(x)\)$$\(= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\)$$\(e^{-\frac{(x-m)^2}{2{\sigma}^2}}\)$

Support

Le support de $\(X \)$ est $\(\mathbb{R}\)$ .

Notation

Pour signifier qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres $\(m \)$ et $\({\sigma}^2\)$ , on écrira :

  $\(X \hookrightarrow \mathscr{N}(m, {\sigma}^2)\)$

Fonction de répartition

La fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi $\(\mathscr{N}(m, {\sigma}^2)\)$  est la fonction notée $\(\Phi_{m, \sigma}\)$ , définie, pour tout x réel, par :

  $\(\Phi_(m, {\sigma}^2) (x) \)$ = $\(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi} }\)$$\(\int_{-\infty}^{x}{e^{{-\frac{(t-m)^2}{2{\sigma}^2}}}dt}\)$

 Loi normale centrée réduite

À noter le cas particulier très important où $\(m=0\)$ et $\(\sigma = 1\)$ . Avec ces paramètres, la loi normale sera dite centrée réduite.

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