Initiez-vous à la statistique inférentielle

On passe maintenant à la réponse à la deuxième question, grâce aux intervalles de confiance !

L'idée

On a vu précédemment que l'estimation d'un paramètre $\$\backslash (\backslash theta\backslash )\$$ peut différer selon l'échantillon qu'on va considérer. Cet estimateur $\$\backslash (\backslash widehat\{\backslash theta\}\backslash )\$$ est bel et bien une variable aléatoire qui tombe "autour" de $\$\backslash (\backslash theta\backslash )\$$ mais rarement sur sa "vraie" valeur.

Mathématiquement

Cette fois, on cherche une estimation du paramètre $\$\backslash (\backslash theta\backslash )\$$ dans un intervalle de confiance, une fourchette dont on connaîtra la probabilité.
On cherche donc à déterminer les bornes d'un intervalle, dépendantes de l'échantillon, notées $\$\backslash (IC^\{-\}\backslash left(X\_\{1\},\backslash ldots,X\_\{n\}\backslash right)\backslash )\$$ et $\$\backslash (IC^\{+\}\backslash left(X\_\{1\},\backslash ldots,X\_\{n\}\backslash right)\backslash )\$$ , telles que la probabilité que le paramètre soit à l'intérieur soit dans cet intervalle, soit connue, égale à $\$\backslash (1-\backslash alpha\backslash )\$$ :

$\$\backslash [\backslash mathbb\{P\}\backslash left(IC^\{-\}\backslash left(X\_\{1\},\backslash ldots,X\_\{n\}\backslash right)\backslash leq\backslash theta\backslash leq\; IC^\{+\}\backslash left(X\_\{1\},\backslash ldots,X\_\{n\}\backslash right)\backslash right)=1-\backslash alpha\backslash ]\$$

$\$\backslash (1-\backslash alpha\backslash in\backslash left]0,1\backslash right[\backslash )\$$ désigne le niveau de confiance de l'intervalle.

Tel qu'écrit, il s'agit d'un intervalle de confiance bilatère (on encadre le paramètre à gauche ET à droite), il est également possible de construire un intervalle unilatère (on encadre le paramètre à gauche OU à droite).

On se trouve toujours face à un dilemme : pour garantir le niveau de confiance, l'intervalle ne doit pas être trop étroit mais, pour être pratiquement utilisable, il ne doit pas être trop large. On cherche donc des intervalles aussi étroits que possible, au niveau de confiance $\$\backslash (1-\backslash alpha\backslash )\$$ imposé, et ce uniformément en $\$\backslash (\backslash theta\backslash )\$$ , d'où la difficulté du problème.

Classiquement on considère des intervalles de confiance de niveaux 90% ( $\$\backslash (\backslash alpha=10\%\backslash )\$$ ) ou 95% ( $\$\backslash (\backslash alpha=5\%\backslash )\$$ ).