Bonjour,
J'ai lu quelque part que 0!(factorielle)=1

Mais je ne vois vraiment pas pourquoi.
Pouvez vous m'expliquez?
Merci de votre aide.

PS: Je suis en terminale.

C'est une convention. On pose 0! = 1, par définition...

En fait, la suite <math>\((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\)</math> telle que <math>\(\forall n \in \mathbb{N}, u_n = n!\)</math> est définie de telle manière :
<math>\(u_0 = 1 \text{ et } \forall n \in \matbb{N}, u_{n+1} = u_n \times (n+1)\)</math>

Ok merci de ton aide précieuse

Tu peux voir ça comme le produit de 0 nombre, ce qui fait bien 1.

Sinon, c'est le nombre de manière d'ordonner un ensemble à 0 éléments, c'est à dire de créer une liste ordonnée de ses éléments (il n'y en a bien qu'une seule : la liste vide)

Citation : Caduchon

Tu peux voir ça comme le produit de 0 nombre, ce qui fait bien 1.

Sauf qu'on peut concrètement se demander ce qu'est le produit de 0 nombre.

Citation : gnomnain

Sinon, c'est le nombre de manière d'ordonner un ensemble à 0 éléments,

Idem.


Je pense que l'argument de flobard est pertinent.


On peut aussi penser au nombre de façons de placer n objets 1,2, ..., n dans n cases numérotées en sorte que la case n soit occupée par n. Le résultat est clairement (n-1)! et si n=1, clairement le nombre cherché doit être 1.


Un autre argument serait de considérer le coefficient binomial <math>\(\left( \begin{matrix} n\\ n \end{matrix}\right)\)</math> ou <math>\(\left( \begin{matrix} n\\ 0 \end{matrix}\right)\)</math> sachant que



Un autre argument encore est de considérer la fonction <math>\(\Gamma\)</math> d'Euler.

Citation : candide

Citation : gnomnain

Sinon, c'est le nombre de manière d'ordonner un ensemble à 0 éléments,

Idem.

C'est pas très dur: trouver une bijection entre un ensemble du type {0,1,...,n} (éventuellement vide) dans l'ensemble à 0 éléments, ie. le vide. Il n'y en a qu'une.

1 est aussi l’élément neutre de la multiplication. Il me semble donc pertinent d’en faire le « point de départ ».

Citation : zulon

Citation : candide

Citation : gnomnain

Sinon, c'est le nombre de manière d'ordonner un ensemble à 0 éléments,

Idem.

C'est pas très dur: trouver une bijection entre un ensemble du type {0,1,...,n} (éventuellement vide) dans l'ensemble à 0 éléments, ie. le vide. Il n'y en a qu'une.

Pour que ce soit une bijection, il faut que l'ensemble de départ soit obligatoirement vide. Par définition d'une application on ne peut avoir un ensemble de définition non vide et une image vide.

Surtout, il me semble que pour avoir une bijection entre deux ensembles finis, il faut que les cardinaux des deux soient égaux...

Citation : flobard

Surtout, il me semble que pour avoir une bijection entre deux ensembles finis, il faut que les cardinaux des deux soient égaux...

entre deux ensembles, finis ou non.

Citation : lgndslpgs

Pour que ce soit une bijection, il faut que l'ensemble de départ soit obligatoirement vide. Par définition d'une application on ne peut avoir un ensemble de définition non vide et une image vide.

Oui et ? "éventuellement vide" j'ai écrit. Le problème que tu n'as pas relevé, c'est qu'avec ce que j'ai écrit, le cardinal est n+1. C'est dommage mais tant pis.

Citation : zulon

Citation : lgndslpgs

Pour que ce soit une bijection, il faut que l'ensemble de départ soit obligatoirement vide. Par définition d'une application on ne peut avoir un ensemble de définition non vide et une image vide.

Oui et ? "éventuellement vide" j'ai écrit. Le problème que tu n'as pas relevé, c'est qu'avec ce que j'ai écrit, le cardinal est n+1. C'est dommage mais tant pis.

Peu importe que le cardinal soit de 1, n, n+1, un ensemble du type {0, ...,n} n'est jamais en bijection avec un ensemble à 0 élément, et ceci quelque soit la valeur de n. C'est pour ça que j'ai pris la peine de rectifier "éventuellement vide" par "obligatoirement vide".

On peut effectivement se dire que 0! correspondrait au nombre de permutations de l'ensemble vide. Pour moi ça reste conventionnel d'affirmer que l'ensemble vide n'ait qu'une permutation, tout comme 0! = 1.

Citation : zulon

C'est pas très dur: trouver une bijection entre un ensemble du type {0,1,...,n} (éventuellement vide) dans l'ensemble à 0 éléments, ie. le vide. Il n'y en a qu'une.

Et alors, cet argument n'est pas convaincant car c'est par pure convention qu'on définit l'unique bijection de l'ensemble sur lui-même comme étant l'ensemble vide (la belle tête pour une application). Cela n'a aucun sens de vouloir démontrer que 0!=1, il s'agit juste de savoir dans quelle mesure il existe un choix pertinent qui permette d'étendre certaines formules, par exemple <math>\((n+1)!=n!(n+1)\)</math> qui oblige à définir <math>\(0!:=1\)</math> et ne permet pas de définir <math>\((-1)!\)</math>. On pourrait trouver de nombreux exemples du même ordre, par exemple <math>\(a^0\)</math> ou encore <math>\(\int_a^b\)</math> avec <math>\(a>b\)</math>.

D’ailleurs, le « problème » <math>\(a^0\)</math> est similaire à celui de <math>\(0!\)</math>, non ?

Citation : spider-mario

D’ailleurs, le « problème » <math>\(a^0\)</math> est similaire à celui de <math>\(0!\)</math>, non ?

Si l'on travaille dans <math>\(\mathbb R\)</math> avec <math>\(a > 0\)</math>, non.

Citation : spider-mario

D’ailleurs, le « problème » <math>\(a^0\)</math> est similaire à celui de <math>\(0!\)</math>, non ?

D'après ce que je crois avoir entendu dire (donc à prendre avec des pincettes) :
<math>\(\forall a \in \mathbb{R}^*, a^0 = a^{-1} \cdot a^1\)</math>

Citation : candide

Et alors, cet argument n'est pas convaincant car c'est par pure convention qu'on définit l'unique bijection de l'ensemble sur lui-même comme étant l'ensemble vide (la belle tête pour une application).

Non non, la définition du graphe G d'une application f de A dans B (une partie de AxB telle que <math>\(\forall a\in A, \exists !(\alpha,\beta)\in G, \alpha=a\)</math>) fait qu'il y a une application du vide dans tout ensemble (de graphe est l'ensemble vide). Et celle du vide dans le vide est bien bijective.

Citation

Non non, la définition du graphe G d'une application f de A dans B (une partie de AxB telle que <math>\(\forall a\in A, \exists !(\alpha,\beta)\in G, \alpha=a\)</math>) fait qu'il y a une application du vide dans tout ensemble (de graphe est l'ensemble vide). Et celle du vide dans le vide est bien bijective.

Auparavant il faudrait avoir l'inclusion <math>\(\emptyset \subset \emptyset \times \emptyset\)</math>, et le fait de dire que l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble est aussi conventionnel. C'est un cas dégénéré

Citation : krosian

Non non, la définition du graphe G d'une application f de A dans B (une partie de AxB telle que <math>\(\forall a\in A, \exists !(\alpha,\beta)\in G, \alpha=a\)</math>) fait qu'il y a une application du vide dans tout ensemble (de graphe est l'ensemble vide).

Oui, oui, je sais bien (et là en fait tu nous dis que la seule application -- et non bijection -- de l'ensemble vide vers n'importe quel ensemble est le vide) mais la notion la notion d'application de A dans B telle que la sous-entendait zulon veut matérialiser une "correspondance" d'un ensemble A dans un ensemble B donc si A est vide, la notion n'a plus rien d'intuitif. D'ailleurs, si tu commence à regarder les démonstrations de pratiquement n'importe quoi, tu vas voir que la possibilité qu'une application soit vide n'est quasiment jamais envisagé. Encore pire pour une permutation sur n éléments qui traduit bien l'idée d'échanger des éléments, donc s'il n'y a pas d'éléments, bof, dire qu'il y a une façon de permuter entre eux zéro élément, ce n'est pas du tout compréhensible.

Citation : candide

Sauf qu'on peut concrètement se demander ce qu'est le produit de 0 nombre.

Ben comme la somme de 0 nombre, ça donne l'élément neutre de l'opération concerné.

Tout ça c'est marrant, mais passé les quatre/cinq premiers messages du sujet, on dirait que vous faites comme dans « The Evolution of a Haskell Programmer ».

Bon sinon, pour mon avis, je suis très mauvais en maths, mais je ne vois pas en quoi l'argument de gnomnain n'est pas bon : il existe bien une seule liste de 0 éléments.

Sinon il y a la fonction <math>\(\Gamma\)</math>

Citation : freudqo

Citation : candide

Sauf qu'on peut concrètement se demander ce qu'est le produit de 0 nombre.

Ben comme la somme de 0 nombre, ça donne l'élément neutre de l'opération concerné.

Ce n'est pas un nouvel argument, somme et produit ne sont que des façons différentes de désigner des opérations internes dans un semi-groupe, tout ça c'est du formalisme et des conventions. Quel sens vas-tu donner à un somme de nombre "absents" ? De même, à la limite, si je te dis : "que vaut la somme de 42 ?", tu vas te dire que j'ai pas tous mes esprits. E si au moins tu donnais un argument justifiant cette convention, mais ce n'est même pas le cas.

Citation : Manuu

Sinon il y a la fonction <math>\(\Gamma\)</math>

Faut suivre :

Citation : candide

Un autre argument encore est de considérer la fonction <math>\(\Gamma\)</math> d'Euler.

lgndslpgs : Tu veux du formalisme à la con ? Je peux t'en donner.
Je définis les ensembles du type {0,1,..,n} comme des parties A de N, majorées, vérifiant <math>\(\forall n \in A, \forall m \in \mathbb{N}, m \leq n \Rightarrow m \in A\)</math>. {0,1,2,3} est un tel ensemble, comme le vide.
Je définis maintenant ordonner une partie finie par : soit E une partie finie, l'ordonner consiste à donner une bijection entre E et un ensemble du type {0,1,...,n}. Cette bijection est bien évidemment une application à la fois injective et surjective, et non pas une quelconque "correspondance" que cherche à me faire inventer candide. J'appelle une telle bijection un ordre de la partie E.
Je pense que maintenant tout le monde est d'accord pour dire que la factorielle de n est le nombre d'ordres d'une partie finie de cardinale n... ? En particulier 0! = 1 (il n'y a qu'une application, qui est bijective, entre le vide et le vide, un ensemble du type {0,1,...,n}).

candide : L'OP demandait pourquoi 0! = 1. Qu'est-ce qu'on peut répondre ? Donner une définition de la factorielle et montrer qu'en 0 ça fait 1 n'est pas une si mauvaise idée je trouve.
Et s'il-te-plaît, ne me fais pas dire ce que je n'ai pas dit... Quand je dis "application" ou "bijection", c'est "application" ou "bijection", pas "correspondance aux propriétés mal définies".
Quant aux démonstrations qui ne supposent pas qu'une application puisse être vide, soit elles sont fausses, soit il manque une hypothèse quelque part (qu'un ensemble ne soit pas vide par exemple).

Je me souviens qu'on a donné une petite explication à cela, et je me demandais si cela pourrait construire un argument :
On a <math>\(A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n-p)!}\)</math>
Pour <math>\(p = n\)</math>, <math>\(n! = A_{n}^{n} = \frac{n!}{0!}\)</math>
<math>\(n! = \frac{n!}{0!}\)</math>
Par convention <math>\(0! = 1\)</math>

De même pour <math>\(a^{0} = 1\)</math> :
<math>\(\forall a \neq 0, \frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}\)</math>
Pour <math>\(n = p\)</math>
<math>\(\frac{a^{n}}{a^{p}} = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0} = 1\)</math>
Par convention :
<math>\(a^{0} = 1\)</math>

Sinon on peut partir du principe que 0! = 1, c'est quand même super cool. Non ? Moi ça me suffit comme explication hein.

Citation : Lord Katen ☭

Sinon on peut partir du principe que 0! = 1, c'est quand même super cool. Non ? Moi ça me suffit comme explication hein.

Et moi je part du principe que 1+1=3 ! Et je vais refaire les mathématiques!

Que tu dise que part définition, 0!=1, on peut comprendre, mais de la dire: on accepte cela, et puis voila...

Citation : HighTam

Je me souviens qu'on a donné une petite explication à cela, et je me demandais si cela pourrait construire un argument :
On a <math>\(A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n-p)!}\)</math>
Pour <math>\(p = n\)</math>, <math>\(n! = A_{n}^{n} = \frac{n!}{0!}\)</math>
<math>\(n! = \frac{n!}{0!}\)</math>
Par convention <math>\(0! = 1\)</math>



De même pour <math>\(a^{0} = 1\)</math> :
<math>\(\forall a \neq 0, \frac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}\)</math>
Pour <math>\(n = p\)</math>
<math>\(\frac{a^{n}}{a^{p}} = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0} = 1\)</math>
Par convention :
<math>\(a^{0} = 1\)</math>

La première semble impossible. En effet, ne connaissant pas le résultat de 0!, tu ne peux pas diviser par 0!, donc cela est impossible.

Pour la deuxième, je connaissais une autre démonstration avec <math>\(a^{-1}*a^1\)</math> . Cette démonstration me semble entièrement correcte. Aujourd'hui même, alors que l'on à travailler les exponentielle de base a, on m'a appris (et démontrer) que a^0=1. Après je n'ai pas le niveau pour juger cela.

Citation : pingloveur

La première semble impossible. En effet, ne connaissant pas le résultat de 0!, tu ne peux pas diviser par 0!, donc cela est impossible.

En fait, on est parti de la définition d'un arrangement.

Citation : zulon

lgndslpgs : Tu veux du formalisme à la con ? Je peux t'en donner.
Je définis les ensembles du type {0,1,..,n} comme des parties A de N, majorées, vérifiant <math>\(\forall n \in A, \forall m \in \mathbb{N}, m \leq n \Rightarrow m \in A\)</math>. {0,1,2,3} est un tel ensemble, comme le vide.
Je définis maintenant ordonner une partie finie par : soit E une partie finie, l'ordonner consiste à donner une bijection entre E et un ensemble du type {0,1,...,n}. Cette bijection est bien évidemment une application à la fois injective et surjective, et non pas une quelconque "correspondance" que cherche à me faire inventer candide. J'appelle une telle bijection un ordre de la partie E.
Je pense que maintenant tout le monde est d'accord pour dire que la factorielle de n est le nombre d'ordres d'une partie finie de cardinale n... ? En particulier 0! = 1 (il n'y a qu'une application, qui est bijective, entre le vide et le vide, un ensemble du type {0,1,...,n}).

Ok. Mais pourquoi il y aurait une manière d'ordonner l'ensemble vide et pas aucune par exemple? A part à titre conventionnel afin d'alléger quelques énoncés de résultats, je ne vois pas quelle hypothèse envisager ?