<math>\(-1 = exp( iPi ) = exp ((2iPi)/2 ) = exp( 2iPi ) ^ (1/2) = 1 ^ (1/2) = 1\)</math>

Là, je sèche, je ne trouve vraiment pas où est l'erreur.

<math>\(e^{\frac{2i\pi}{2}} \neq e^{2i\pi} \times \frac{1}{2}\)</math>

Salut,

parce que <math>\((a^{b})^{c}\neq (a^{c})^{b}\)</math>. EDIT: avec des nombres complexes, cette formule n'est vraie qu'avec des réels.

Bonne soirée

Marc

Encore et toujours la faute de ces iPi... On se croirait en mai 68!

Sur cette blague archivaseuse, je prends la porte ====>[]

Ps: pour rester dans le contexte je confirme ce qui a été dit au-dessus. C'est donc la 3e égalité qui foire, si je comprends bien la structure de tes parenthèses.

Salut,

Si on regarde ton terme central, <math>\(\exp(2i\pi)^{1/2}\)</math> on peut se poser la question qu'est-ce que ça veut dire mettre un nombre complexe à la puissance 1/2 ? D'une manière plus générale, pour un complexe <math>\(z\)</math>, on a envie de dire que <math>\(z^{1/2}\)</math> c'est un nombre dont le carré est égal à <math>\(z\)</math>. Oui mais voilà le problème : ce nombre n'est pas unique. Les nombres complexes ont tous deux racines carrées (ou puissance 1/2) qui sont opposées l'une de l'autre.

Alors on peut quand même définir <math>\(z^{1/2}\)</math>, mais il faut faire un choix, prendre une convention. Par exemple, pour les réels positifs on considère souvent que sa racine carrée est positive. On peut étendre cette définition et faire un choix pour définir <math>\(z^{1/2}\)</math> pour tout les nombres complexe, mais une fois qu'on l'a fait, il faut s'y tenir.

Pour revenir à ton égalité, repartons du terme <math>\(\exp(2i\pi)^{1/2}\)</math>. Tu dis :

• <math>\(\exp(2i\pi)^{1/2}=1^{1/2}=1\)</math>
• <math>\(\exp(2i\pi)^{1/2}=\exp(2i\pi/2)=-1\)</math>

Dans le premier point tu fait le choix classique qui consiste à prendre la puissance 1/2 d'un nombre positif comme positif.
Dans le deuxième point tu fais le choix de définir la puissance 1/2 en divisant par 2 l'argument du nombre complexe en prenant cet argument égal à <math>\(2\pi\)</math> pour 1.

Ces deux choix ne sont pas les mêmes ! Il est donc normal que tu n'obtienne pas les même "racines de 1" à chaque bout de ton égalité.

En conclusion, par défaut c'est mieux de considérer que <math>\(z^{1/2}\)</math> n'est pas défini. Ça n'empeche pas de le définir pour un exercice particulier mais une fois qu'on a fait un choix, il ne faut plus en changer !

Il est vrai qu'un nombre complexe a deux nombres qui mis au carré font lui-même, c'est encore plus vrai avec les réels : <math>\(a^2=b \Rightarrow (-a)^2 = b\)</math>

En ce qui concerne la racine d'un nombre complexe on prend l'argument le plus petit, et positif s'il a deux racines avec des arguments (géométrique i.e. positif) égaux.

Par exemple la racine cube de <math>\(-27\)</math> n'est pas <math>\(-3\)</math>, mais <math>\(3e^{\frac{i \pi}{3}}\)</math>.

Citation : Cromwell05

En ce qui concerne la racine d'un nombre complexe on prend l'argument le plus petit, et positif s'il a deux racines avec des arguments (géométrique i.d. positif) égaux.

Je me demande ce que ça signifie, sachant que l'argument est défini à <math>\(2\pi\)</math> près...

EDIT : et j'approuve Freedom. Pas moyen de définir LA racine carrée de façon convenable partout en fait. Comme l'a dit GéoMl17, on peut toujours se fixer une convention le temps d'un exercice, mais je connais pas de définition réellement viable.

@Cromwnell05: Tu as une soruce avec cett définition ? Parce qu'à ma connaisance quand on est en complexe on ne définie pas les racines de manière unique, on parle juste des racines n-ième, de l'ensemble des racines n-ième, mais pas de LA racine n-ième d'un nombre.

En fait, il me semble que j'avais lu ça dans un exo sur la résolution des équations du troisième degré.

Pour être plus clair on va prendre l'argument "le plus proche" de l'argument de notre nombre.

Ca explique donc que la racine carrée d'un nombre soit toujours positive.

Si vous avez une calculatrice tapez <math>\(^3\sqrt{-27}\)</math>. Une calculatrice collège vous donnera la solution la plus évidente, i.e. <math>\(-3\)</math>.
En revanche, une calculatrice scientifique vous donnera la valeur de la définition, i.e. <math>\(3e^{\frac{i \pi}{3}}\)</math>.

Et pour <math>\(\sqrt{-1}\)</math>, tu choisis quoi ?

Tu choisis l'argument le plus proche, ou sinon celui dans le sens positif :

i et -i sont aussi proches géométriquement, on prend donc le plus proche dans le sens positif, i.e. i.

J'espère que tu comprends ce que je veux dire, c'est pas facile à expliquer comme ça .

Mouais, dans le sens positif, ça signifie pour moi le sens direct, donc -i .

Enfin, tout ça, c'est pour dire que tu ne peux pas trouver de définition réellement non-ambiguë pour LA racine n-ième d'un complexe.

EDIT pour Freedom en-dessous : oui, pardon, je me suis mal exprimé : on peut, bien évidemment, définir "proprement" la racine n-ième d'un complexe, mais je connais pas de définition dont les propriétés soient réellement utiles en fait, pour le reformuler autrement.

Je la retrouverais

@Cyprien: Tu chipotes, sa définition peut se formatiser sans problème, la question est de savoir si c'est une vraie définition :
(Exemple de définition propre) : En notant U(n) l'ensemble des racine n-ième de x, on appelle première racine n-ième (nom inventé) l'unique x tel que x = exp(it) avec t = inf { u / u dans [0,Pi] et exp(iu) dans U(n) }