Salut à tous, j'ai un Devoir Maison à rendre bientôt.

L'exercice porte sur la fonction <math>\(f(x)= 3x^4 - 8x^3 - 30x^2 + 72x - 20\)</math>
Tout d'abord, je calcule donc sa dérivée : <math>\(f'(x)= 12x^3 - 24x^2 - 60x + 72\)</math>

La question que je ne comprend pas, c'est celle-ci :


Déterminer les réels a,b et c tels que <math>\(f'(x) = (ax^2 + bx + c)(x-3)\)</math>

Je bloque complètement à cette question, je me rappelle d'une méthode qui donnait à la fin un système d'équations à partir duquel on peut déduire a,b et c pour résoudre le polynôme.
Le problème, c'est que je ne sais plus le former
J'aimerais bien une petite piste donc
Merci d'avance !
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Eh bien, pars de l'expression qu'ils te donnent et développe-la pour la mettre sous la forme <math>\(Ax^3+Bx^2+Cx+D\)</math> où <math>\(A\)</math>, <math>\(B\)</math>, <math>\(C\)</math> et <math>\(D\)</math> s'expriment en fonction de <math>\(a\)</math>, <math>\(b\)</math> et <math>\(c\)</math>.

Tu as donc : <math>\(f'(x) = 12x^3-24x^2-60x+72=Ax^3+Bx^2+Cx+D\)</math> pour tout <math>\(x\)</math>.
Deux polynômes sont égaux si et seulement leurs coefficients sont égaux, donc tu peux identifier : <math>\(A=12 ; B=-24 ; C=-60 ; D=72\)</math>
Cela te donne quatre équations pour te permettre d'obtenir <math>\(a\)</math>, <math>\(b\)</math> et <math>\(c\)</math>, c'est plus qu'il n'en faut !

EDIT pour en-dessous :

Ca revient totalement au même, je n'ai fait que donner la méthode détaillée, toi c'est la méthode qu'on utiliserait concrètement pour aller plus vite .
D'ailleurs, si tu détailles "ma" méthode, tu verras que l'une des équations obtenues est <math>\(a=12\)</math> par exemple .
Un avantage cependant à détailler : le fait d'obtenir quatre équations au lieu de trois peut permettre de vérifier sa réponse (sans tout redévelopper) si jamais on n'est pas sûr de soi.

J'ai bien vu la réponse de Cyprien_, mais je voudrais savoir si ma réponse pourrai aller (pour la rigueur de la méthode surtout) :
<math>\(f'(x)=12x^3-24x^2-60x+72\)</math> et <math>\(f'(x)=(ax^2+bx+c)(x-3)\)</math>
On commence par calculer a :
<math>\(ax^3=12x^3 \Leftrightarrow a=12\)</math>
On réduit donc <math>\(f'(x)\)</math> à : <math>\((12x^2+bx+c)(x-3)\)</math>
On calcule b :
<math>\(-36x^2+bx^2=-24x^2 \Leftrightarrow b=12\)</math>
On a donc : <math>\(f'(x)=(12x^2+12x+c)(x-3)\)</math>
On fini par calculer c :
<math>\(-36x+cx=-60x \Leftrightarrow c=-24\)</math>

Vérification :
<math>\((12x^2+12x-24)(x-3) = 12x^3+12x^2-24x-36x^2-36x-72 = 12x^3-24x^2-60x+72\)</math>

Merci à toi pour la réponse, j'ai (enfin) fini le DM après 3h non-stop
(En fait j'ai une note pitoyable à rattraper, je ne peux pas me permettre d'avoir une note en dessous de 15 )

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