Bonjour,

J'ai des difficultés à résoudre cet exercice :

L’âge de la Terre a pendant longtemps représenté un vaste sujet de controverse entre les différentes écoles de pensée (théorie biblique, observations géologiques, physique). Un des premiers physiciens à proposer une estimation mathématique de l’âge géologique de notre planète fut Lord Kelvin (1824-1907) vers 18661 . Il partit du postulat que si la Terre se refroidit, son énergie thermique a nécessairement décru au cours des temps amenant une baisse de l’intensité des phénomènes géologiques et une modification de son aspect général.

Kelvin supposait les hypothèses suivantes :

- La Terre est un solide homogène qui se refroidit uniquement par conduction ; il n’y a pas d’autres sources de chaleur.

- Sa température initiale (uniforme) est prise égale à celle de la roche en fusion et définit l’acte de naissance de la Terre T(r,t=0) = T0 (soit de l’ordre de 3000 °C). - La diffusivité thermique moyenne de la Terre est estimée à α = 10-6 m²/s.

- Le gradient géothermique actuel est de l’ordre de 3°C par 100m. Comme ce gradient ne varie de façon notable que sur quelques kilomètres, négligeables devant le rayon de la Terre, on peut assimiler la surface de la Terre à un plan.

- L’existence d’une faune et d’une flore très anciennes justifie qu’une température « raisonnable » ait régné depuis (presque) toujours à la surface. Pour simplifier, on la prendra égale à 0°C et constante dans le temps.

1- En partant des mêmes hypothèses, établir l’évolution de la température au sein de la croûte terrestre.

2- Connaissant le gradient géothermique moyen actuel (3°C par 100m), en déduire l’âge de la Terre.

VOICI CE QUE J'AI FAIT :

Pour la question, j'ai redémontré l'équation de diffusion de la chaleur, mais était-ce bien ce qu'il fallait faire ?

Si oui, comment trouver ensuite l'évolution de la température ?

Merci beaucoup par avance pour votre aide

Je ne suis pas expert en thermodynamique. J'essaie de comprendre.
Tu as au départ une température de 3000°C et on est rendu à 0°C
Tu perds une certaine quantité de chaleur par unité de surface par unité de temps.
Le calcul devrait être simple.
Tu n'as pas à calculer la surface de la terre si tu suppose que c'est uniforme.
Ceci dit, Lord Kelvin ne connaissait pas tout et ne tenait pas compte de la radio-activité interne, du rayonnement solaire ou des effets du volcanisme (effet de serre ou hiver volcanique).
Sans compter l'effet de marée de la Lune qui occasionne des frottements et des déformations engendrant de la chaleur.
On ne sait pas si l'orbite de la terre était la même au début ou si la Lune était pllus proche et tournait plus rapidement autour de la terre.
Si elle était en orbite synchrone avec les géantes gazeuses, elle a pu s'éloigner du Soleil.

De ce que je comprends de cet exercice, la question 1 consisterait à établir l'équation de diffusion de la chaleur sur un demi-plan infini avec température imposée à la surface. L'indication "on suppose la surface de la Terre plane" me fait pencher pour cette option. C'est un problème temporel à une seule dimension spatiale à résoudre, sans doute en utilisant la méthode de séparation des variables.

Pour la seconde question, connaissant la forme de la solution et son gradient, on résout une équation en l'âge de la Terre.