Bonjour j'espère que vous allez bien , j'aimerais avoir besoin d'aide de votre part pour cet exercice.

Soit K= ℚ(√7 i) = { a+b√7 i , a , b ∈ ℚ }.

Montrer que K est un sous-anneau de C.Est-il un sous-corps de C ? justifier.

N.B : C est l'ensemble des nombres complexes 

Bonjour ! Je ne sais plus ce qu'est un sous-anneau et un sous-corps, mais je me souviens toujours comment on résout ce genre d'exercice.

Commence par écrire ce qu'il faut vérifier. D'après Wikipédia :

« Une partie B d'un anneau (A,+,*). est appelée un sous-anneau de A lorsque :

• B est un sous-groupe de A pour l'addition ;
• B est stable pour la multiplication ;
• Le neutre multiplicatif de A appartient à B. »

Il y a donc 3 critères à vérifier. Il faut « traduire » en remplaçant les données de la définition par les données de l'exercice. Pour le premier critère :

« K est un sous-groupe de C pour l'addition »

C'est quoi un sous-groupe ? D'après Wikipédia :

« H est un sous-groupe de (G, ∗) si la structure de G induit sur H une structure de groupe, c'est-à-dire si les trois conditions suivantes sont satisfaites : H comprend le neutre de G, le composé de deux éléments de H selon la loi de G appartient toujours à H et l'inverse (selon la loi de G) de tout élément de H appartient lui-même à H. »

Je traduis :

« K est un sous-groupe de (C, +) si les trois conditions suivantes sont satisfaites : K comprend le neutre de C, l'addition de deux éléments de K appartient toujours à K et l'opposé de tout élément de K appartient lui-même à K. »

On peut encore traduire plus en détail. Il faut vérifier les trois conditions suivantes :

− 0 est de la forme a + b√7 i (pour démontrer ça, il suffit de trouver a et b pour que ça marche).

− (a' + b'√7 i) + (a" + b"√7 i) est de la forme a + b√7 i (facile !).

− L'opposé de (a' + b'√7 i) est de la forme a + b√7 i (là encore il suffit de trouver a et b).

Tout ça est très facile. Et ensuite il faut faire pareil pour les deux autres critères.

Si tu as déjà fait ça (j'espère), précise où tu en es, et ce qui t'arrête.

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Edité par robun 26 juillet 2024 à 0:06:40

Le point le plus amusant est de savoir si  a + b√7 i  (quand il n'est pas nul) a un inverse dans K, condition pour que ça soit un sous-corps.

Indication:  (x+y)(x-y) = x² - y²

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Edité par michelbillaud 26 juillet 2024 à 14:00:48

Indication 2 :

Si on cherche l'inverse d'un nombre non nul de la forme   a + b√7 i   , on se dit qu'il doit être du genre  1 / (a + b√7 i), pardi.

Pour essayer de simplifier, notamment la racine qui est au dénominateur. 

On appliquant le truc, on multiplie numérateur et dénominateur par    a - b√7 i ce qui nous fait  (a - b√7 i) / (a² - (b√7 i)²), qui a l'air sympathique, surtout si on le simplifie.

En regardant bien, le dénominateur doit sûrement être dans Q.

Attention ! on n'est pas allé trop vite ? on a divisé par a - b√7 i , au fait qu'est ce qui nous dit qu'il n'est pas nul ?

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Edité par michelbillaud 30 juillet 2024 à 21:26:44