Bonjour ,

les oscillations d'un système (masse-ressort) dépendent de la constant de raideur du ressort k et de masse m d'un mobile. En utilisant l'expression de l’énergie potentielle d'un ressort Ep= 1/2*k*x² ( où x est l'allongement du ressort par rapport à  sa longueur à vide), déterminer les coefficients gamma et delta qui apparaissent dans l'expression de la période T des oscillations :

T= 2pi*k^gamma*m^delta

Je débute tout juste dans l'analyse dimensionnelle

je n'arrive pas a voir le lien entre l'expression de l’énergie potentielle et T

au debut j ai remplacé x par (k/m)²

donc cela m'a donné Ep= 1/2*k⁴/m² et je doute tres fortement que ce soit cela ...

pouvez m'apportez de l'aide svp ?

indication  

 La donnée  de l'énergie potentielle du ressort est là, je pense, pour déterminer l'expression dimensionnelle de \(k\) en supposant connue celle d'une énergie. 

On postule que la période est proportionnelle à \(k^{\gamma}m^{\delta}\) et on doit déterminer les exposants pour que l'expression soit homogène à  un temps \(  T \).

En utilisant l'expression dimensionnelle trouvée de \(k\)  dans \(k^{\gamma}m^{\delta}\) et en identifiant à  \(  T \) , on obtient  deux relations entre les exposants . Les deux valeurs (attendues!) s'en déduisent immédiatement. 

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Edité par Sennacherib 19 août 2017 à 19:09:21

bonjour

merci pour votre aide

mais le x dans l'expression de l'energie potentiel je dois remplacer par quoi svp ?

Dans l'analyse dimensionnelle , il s'agit d'exprimer l'homogénéité des équations à partir  des unités fondamentales. Ici on n'a besoin que de masse M, longueur L, temps T.  

la dimension de x , c'est une longueur L , non ? donc \(x^2\) est homogène à \(L^2\) 

une énergie c'est homogène à  \(ML^2T^{-2}\).Si on ne l'a pas en tête, on le retrouve facilement en pensant à l'énergie cinétique \(\frac{1}{2}mv^2\) La vitesse est homogène à une longueur par unité de temps  d'où \(LT^{-1} \), d'où  l'expression dimensionnelle de l'énergie   .

Si \(\left[k\right]\) est la dimension de la raideur , on doit donc avoir \(ML^2T^{-2} =\left[k\right] L^2 \). Pour que les deux membres soient homogènes , on doit avoir  \(\left[k\right]= MT^{-2} \).

On suppose maintenant que la période est proportionnelle à  \(k^{\gamma}m^{\delta}\) .Cela impose que l'expression doit être homogène à un temps, donc que \(( MT^{-2})^{\gamma} M^{\delta}\) soit égal à \(T\). Je vous laisse en déduire les relations que doivent vérifier les exposants pour que cela soit vrai, d'où leurs valeurs .

(remarque:  ...on manipule les expressions dimensionnelles comme des variables ordinaires).

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Edité par Sennacherib 20 août 2017 à 8:41:17

bonjour,

Je sais que T= 2pi*racine carrée (m/k)

donc T= (M.T^-2)^-1/2.M^1/2 = (M.T)^1.M^1/2= M^1/2.T ?

je ne connais pas le texte exact de l'énoncé de l'exercice mais je pense que vous raisonnez "à l'envers".

L'analyse dimensionnelle peut avoir deux objectifs principaux :

1  vérifier l'homogénéité d'une formule , en déduire l'unité d'une constante pour que cette homogénéité soit respecté,

2  déterminer a priori la relation de dépendance d'une grandeur fonction de variables identifiées du phénomène physique considéré sans avoir résolu les équations gouvernant le problème. C'est une démarche plus difficile que la précédente car elle demande une bonne intuition des phénomènes physiques.    

Ici on sait bien sûr que la période vaut \(2\pi \sqrt{m/k}\) en résolvant facilement l'équation de la dynamique des oscillations du ressort et partant de la formule, on peut vérifier qu'elle est dimensionnellement correcte . On est dans la démarche 1-) que vous appliquez....en vous trompant dans le calcul des exposants !

\( (MT^{-2})^{-1/2} M^{1/2}=M^{-1/2}T^{+1}M^{1/2}=T\). La formule donne un résultat homogène à un temps ...ce qui, pour une période ,  est rassurant sur sa validité. 

 2 -) en fait, on vous ici demande d'appliquer plutôt la démarche 2) . On "oublie" le résultat connu et on vous demande de trouver "ex nihilo" la dépendance entre la période P et les grandeurs dont elle dépend a priori.  On doit avoir simplement l'intuition du phénomène physique et faire des hypothèses . On suppose que \(P\) ne dépend que de la masse et de la raideur.

On recherche alors \(P\) de la forme    \(P\propto k^{\gamma}m^{\delta}\)  comme l'indique l'énoncé  . Pourquoi cette forme? L'expérience nous montre que si une grandeur physique dépend de variables indépendantes  , son expression en fonction de ces variables est souvent de cette forme. Regardez les principales formules de la physique, vous verrez que les variables interviennent le plus souvent sous un produit avec des exposants! Cet empirisme est néanmoins appuyé par une analyse plus profonde que vous ne connaissez sans doute pas en débutant en analyse dimensionnelle, en particulier le théorème fondamental de  Vaschy-Buckinggham.

Bref, partant de l'intuition   \(P\propto k^{\gamma}m^{\delta}\), on vous demande de trouver les exposants, soit\( (MT^{-2})^{\gamma} M^{\alpha}  \) homogène à un temps soit \(M^{\gamma +\delta}T^{-2\gamma}\), homogène à un temps. Pour qu'il en soit ainsi on doit donc avoir \( \gamma +\delta=0\) et \(-2\gamma=1\) d'où \(\gamma=-1/2\) et \(\delta =1/2\)...sans surprise.

Cet exemple simple montre que l'analyse dimentionnelle permet , moyennant des hypothèses, de trouver la forme que doit avoir une grandeur sans résoudre mathématiquement le problème. Pour sa validité, tout est dans la valeur des hypothèses !

3- Attention  donc, l'analyse dimensionnelle n'est pas une potion magique et on peut facilement se tromper si on oublie des variables ou si on utilise des variables dépendantes. 

 Il faut voir aussi que  la valeur de la constante de proportionnalité n'est pas donnée par l'analyse.De plus ,  l'hypothèse qu'elle est adimensionnelle n'est pas nécessairement vraie ...beaucoup de constantes physiques ont une dimension! Ce qui complique la recherche des formes possibles que peut prendre la solution cherchée.

   L'exemple ici   a déjà omis  , si on veut être complet, une variable: l'amplitude initiale \(x_0\) . Rien ne dit a priori que le résultat ne dépend pas de cette amplitude. On devrait donc écrire au départ     \(P\propto k^{\gamma}m^{\delta}x_0^{\beta}\) .Heureusement \(x_0\) est homogène à une longueur qui n'intervient pas dans les autres grandeurs et on déduit que \(\beta =0\), donc l'amplitude initiale n'intervient pas . 

Mais l'hypothèse de la constante sans unité n'est pas non plus évidente a priori. On pourrait trés bien écrire \(P=Ck^{\gamma}m^{\delta}x_0^{\beta}\) et avec \(C\) homogène à \(L^{-1}\), l'expression resterait homogène à un temps.

On sait en fait que cette non dépendance avec l'amplitude repose sur  l'hypothèse d'un  réponse linéaire du ressort. 

 Donc en conclusion l'analyse dimensionnelle est un guide qui a des limites et nécessite d'être accompagnée d'une trés bonne connaissance de la physique des phénomènes étudiés . 

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Edité par Sennacherib 21 août 2017 à 11:45:02