Bonjours a tous,

Je viens solliciter votre aide pour comprendre le corriger d'un exercice d'Analyse, pas mal de points restent obscures même après relecture

Voici l’énoncer de l'exo :

Soit a < b deux réels et f : [a,b] -> [0,+ \( \infty \) ) une fonction continue telle que \( \int_a^b f = 0 \). Montrer que f(x) = 0 pour tout x \( \in\) [a,b].

Voici la correction données en cours :

Montrer que : $$ \int_a^b f = 0 \Rightarrow \forall x \in [a;b] f(x) = 0 $$ Equivaut a montrer que :

$$ \exists x \in [a;b] $$ tel que $$ f(x) > 0  \Rightarrow \int_a^b f(x) \neq 0 $$

Donc :

$$ \exists  \delta , \forall x \in (x_{0} - \delta ,  x_{0} + \delta) $$

$$ |f(x)| > \frac{f(x_{0})}{2} , f(x_{0}) > 0 $$

$$ \int_a^b f = \int_a^{x_{0} - \delta} f + \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} f + \int_{x_{0} + \delta}^b f >= \delta f(x_{0}) > 0 $$

Avec : $$ \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} f >= \delta f(x_{0}) $$

J'avoue ne pas trop voir pourquoi les deux "Montrer que" sont equivalent. Et j'ai beaucoup de mal a suivre le résonnement de la preuve (pourtant courte).

Beaucoup d'exercice sont comme ça, et même si je fini par comprendre la correction, je n'arrive que rarement a avoir l'idée nécessaire a la résolution, ça change de la Term

Merci pour votre aide / explications

(C'est la première fois que je dois utiliser Mathjax, j'ai essayer de rendre ça aussi lisible que possible, mais c'est pas encore parfait)

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Edité par K4kugen 1 décembre 2019 à 12:28:05

Bonjour ! La première partie de la démonstration utilise la contraposée : « si A est vrai alors B est vrai » est équivalent  à « si B n'est pas vrai alors A n'est pas vrai » (car si A était vrai, alors B serait vrai)

Ici A = l'intégrale est nulle, B = la fonction est partout nulle.

Propriété à démontrer : si l'intégrale est nulle, alors la fonction est partout nulle.

Contraposée : si la fonction n'est pas partout nulle, alors l'intégrale n'est pas nulle.

Or c'est quoi, une fonction qui n'est pas partout nulle ? C'est une fonction pour laquelle il existe un x tel que f(x) > 0 (puisque par ailleurs on ne considère dans cet exercice que des fonctions postives).

Autrement dit il est équivalent de démontrer que s'il existe x tel que f(x) > 0 alors l'intégrale n'est pas nulle.

Voilà pour le début. Je crains que chaque ligne de ce résumé de démonstration demande chaque fois une certaine analyse.

Par exemple la suite exploite la continuité de f en ce \( x_0 \) pour lequel \( f(x_0) > 0 \). f est continue en \( x_0 \) signifie que la limite de f(x) en \( x_0 \) est \(f(x_0) \). Ensuite on relit la définition de la limite : pour tout \( \epsilon >0 \) il existe un \( \delta \) tel que \( |x-x_0| < \delta \) implique que \( |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \) (définition qu'il faut comprendre : il existe toujours une intervalle autour de \( x_0 \) tel qu'on puisse s'approcher de \( f(x_0) \) de mieux qu'une quantité donnée aussi petite qu'on veut). Je reformule la propriété :

Il existe un \( \delta \) tel que \( x \in [x_0-\delta, x_0+\delta] \) implique que la distance entre f(x) et \( f(x_0) \) peut être aussi petite qu'on veut. En particulier elle peut être plus petite que \( \epsilon = f(x_0)/2 \), ce qui implique qu'alors \( f(x) > f(x_0)/2 \). (Faire un dessin pour s'en convaincre.)

Bref : il existe un \( \delta \) tel que \( x \in [x_0-\delta, x_0+\delta] \) implique que \( f(x) > f(x_0)/2 \).

Voilà pour la deuxième propriété, ouf !

Dans la suite, on calcule l'intégrale en la tronçonnant en trois parties. Celle du milieu, entre \( x_0-\delta \) et \(x_0+\delta \), est forcément plus grande que l'intégrale de  \( f(x_0)/2 \) (d'ailleurs je crois que tu as fait une ou deux fautes de frappe), qui est une constante qu'on peut sortir de l'intégrale.

Etc. etc.

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Edité par robun 1 décembre 2019 à 0:43:39

Déjà merci beaucoup pour ta réponse rapide et détailler.

C'est beaucoup plus clair maintenant, mais j'étais loin d'avoir penser a employer la définition de la limite.

Du coup, j'ai des erreurs, c'est plutôt

$$ \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} f >= \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} \frac{f(x_{0})}{2} $$

Mais du coup, si cette correction est juste, je ne vois plus comment en déduire les deux dernière inégalités.

On a:

$$ \int_a^b f = \int_a^{x_{0} - \delta} f + \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} f + \int_{x_{0} + \delta}^b f  > \int_a^{x_{0} - \delta} f +  \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} \frac{f(x_{0})}{2} + \int_{x_{0} + \delta}^b f $$

Mais je ne vois pas en quoi cela est \( >= \delta f(x_{0}) \)

(Je corrige mes fautes pour la deuxième propriétés)

Encore merci pour ton aide

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Edité par K4kugen 1 décembre 2019 à 12:27:48

Tu as coupé l'intégrale de départ en trois intégrales.

− La première est >= 0.

− La troisième est >= 0.

Pour la seconde, comme je l'ai dit plus haut, on intègre une constante, qu'on peut donc sortir de l'intégrale (intégrer, c'est difficile, il faut donc avoir systématiquement le réflexe pavlovien de sortir les constantes pour simplifier les calculs). Utilise la propriété :

\( \int_a^b C \, dx = C \int_a^b \, dx = C(b-a). \)

pour minorer l'intégrale du milieu.

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Edité par robun 1 décembre 2019 à 17:20:26

Le fait que \( \frac{f(x_{0})}{2} \) soit une constante m'était complétement sortit de la tête, désoler.

On a donc :

$$ \int_{x_{0} - \delta}^{x_{0} + \delta} \frac{f(x_{0})}{2} = \frac{f(x_{0})}{2} ( x_{0} + \delta - ( x_{0} - \delta )) = \frac{f(x_{0})}{2} 2 \delta = \delta f(x_{0}) $$

Ce qui permet d'obtenir l’inégalité souhaiter.

Merci a toi pour avoir pris le temps de détailler les étapes, ça aide beaucoup a comprendre

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Edité par K4kugen 1 décembre 2019 à 14:50:58