Bonjour à tous,

J'ai des soucis sur les DL et mes enseignants de l'année dernière ne me les ont pas fait apprendre et nous ont donnés une feuille avec ceux-ci pour les examens ce qui était une erreur en voyant ça avec du recul du coup je me retrouve à devoir les apprendre maintenant.

Cependant j'aimerais savoir comment les apprendre intelligement dans le sens où quels sont les principaux à retenir pour s'en sortir ?

Mon enseignante m'a indiqué que l'exponentielle et (1+x)^(alpha) étaient les deux à retenir mais j'ai du mal à retrouver le reste rien qu'avec ces deux-là.

Typiquement elle a essayé de m'expliquer comment retrouver ln(1+x) avec ces deux là mais je n'ai pas saisis.

cosinus et sinus devraient pouvoir se retrouver facilement par les formules d'Euler je pense (je n'ai pas essayé) mais je ne vois pas comment retrouver sinus et cosinus hyperboliques, arctan et arcsin avec les deux formules qu'elle m'a indiqué ci-dessus.

Merci d'avance de votre aide.

On démontre un certain nombre de propriétés des DL utiles pour ensuite retrouver tout DL usuel (... ou un peu moins) à partir d'une base assez limitée de DL connus.

Une première propriété fondamentale est l'unicité d'un DL. Si on se limite aux fonctions avec de "bonnes propriétés" sur leur intervalle de définition ( c'est à dire continues et  dérivables à l'ordre \((n+1)\)), elles possèdent un développement de Taylor d'ordre \(n\). L'unicité implique que le polynôme de Taylor est le DL d'ordre \(n\) cherché. Il suffit donc de savoir calculer les dérivées successives pour le trouver .
Le terme générique du développement en \(x_0\) sera alors \(\dfrac{(x-x_0)^k}{(n )!} f^k(x_0)\). Lorsque le calcul des dérivées successives est facile , on obtient ainsi facilement le DL. 
Le cas le plus immédiat est celui de \(e^x\) en \(x_0=0\), toutes les dérivées égales en 1, d'où le terme générique \(\dfrac{(x )^k}{(k )!}  \).

 Il est facile de calculer ainsi un certains nombre de DL dont \((1+x)^{\alpha}\), \(\sin(x)\) en 0, \(\cos(x)\) en \(\pi/2\) etc...

Il peut être dans certain cas plus simple d'utiliser les propriétés diverses d'un DL plutôt que  de calculer des dérivées.
On montre que  on peut faire la somme de deux DL, leur produit en se limitant aux termes d'ordre convenable , de même le quotient par division selon les puissances croissantes des polynômes. Par intégration, on obtient le DL de la fonction intégrée, par dérivation celui de la fonction dérivée sous réserve de dérivabilité convenable etc... 
Ainsi le DL en 0 de \((x+1)^{-1}\)  permet d'obtenir celui de \(\ln(1+x)\) par intégration.

Les propriétés   correctement manipulées permettent plus généralement de calculer le DL de fonctions moins simples , combinaisons de fonctions de base 

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Edité par Sennacherib 22 décembre 2017 à 10:07:36

Merci de ta réponse Sennacherib.

" Ainsi le DL en 0 de

(x+1)−1(x+1)−1  permet d'obtenir celui de ln(1+x)ln⁡(1+x) par intégration. " 

Cela m'aide pour le DL de ln(1+x), merci de celui-ci mais saurais-tu lever mon interrogation pour les suivants ?

Pour arcsin et arctan je viens d'essayer et j'arrive à le faire en intégrant le DL de leurs dérivées mais pour cosh et sinh je n'ai pas d'idée, saurais-tu me guider ?

Merci d'avance.

Edit : A vrai dire un coup de main pour cos(x) ou sin(x) m'aiderait aussi car je ne suis pas à l'aise avec le passage imaginaire-réel qu'implique les formules d'Euler pour le DL du cos ou du sin.

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Edité par Darkmodem 22 décembre 2017 à 18:14:21

Hello. 
Qu'a tu trouvé pour le DL de \( (1+x)^{ -1} \) et pour le DL de ln(1+x) ? Un résonnement analogue marche bien pour arsin(x) ( intégration du DL de  \( ( 1- x^2) ^{-1/2} \) \)

Pour sin, et cos, tu utilise le faite que \( cos(x) = \frac{ e^{ix} + e^{-ix} }{2} \) et  \( sin(x) =  \frac{ e^{ix} - e^{-ix} }{2} \) 
Idem pour sh, et ch, tu as  \( ch(x) = \frac{ e^{x} + e^{-x} }{2} \) et  \( sh(x) =  \frac{ e^{x} - e^{-x} }{2} \) sachant que tu as \( e^x = \sum_O^{\infty} \frac{x^k}{k!} \) 

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Edité par edouard22 22 décembre 2017 à 18:57:09

" Qu'a tu trouvé pour le DL de (1+x)−1(1+x)−1 et pour le DL de ln(1+x) ? Un résonnement analogue marche bien pour arsin(x) ( intégration du DL de  (1−x2)−1/2(1−x2)−1/2 \) " 

J'ai réussi ceux-là

"Pour sin, et cos, tu utilise le faite que 

cos(x)=eix+e−ix2cos(x)=eix+e−ix2 et  sin(x)=eix−e−ix2sin(x)=eix−e−ix2  "

J'en suis bien conscient mais je n'arrive pas à jouer sur les imaginaires pour retrouver un DL réel

" Idem pour sh, et ch, tu as  

ch(x)=ex+e−x2ch(x)=ex+e−x2 et  sh(x)=ex−e−x2sh(x)=ex−e−x2 sachant que tu as ex=∑∞Oxkk!ex=∑O∞xkk!  "

Je ne connaissais pas l'égalité mais du coup cela est évident, merci de l'information

Je te met le calcul bientôt. mais c'est pas la meilleur façon de le faire :  en effet, calculer les dérivées de sinus est super simple. 
Tu sais que \( sin^{(k)}(x) = sin(x + k \frac{pi}{2} ) \)* ce qui est périodique de période 4 . En 0 tu as : 
\( \begin{array}{cc}
sin(x) = sin(0) = 0      & sin''(x)=sin(pi)= 0 \\
sin'(x)= sin(pi/2) = 1  &  sin''(x)=sin(3pi/2)= -1 \\

\end{array} \)

tu as donc  : sin ^{(k)} = (-1)^{k} pour k impaire.   

soit \[ \sum  \frac{ sin^{(k)}(x)  }{k!} = \sum (-1)^{k} \frac{ x^{2k +1 }}{ (2k+1) ! }  \]
Je te laisse faire un raisonnement analogue pour cosinus. 

* ici \( sin^{(k)}(x) \) signifie la dérivée k-ièm de sin
HS : pourquoi le tableau ne marche pas ? grrr 
Et comme dirait taylor :

11. Même si vous menez une vie dont vous êtes fier, il y aura toujours quelqu'un pour vous juger ou vous rabaisser. Et je crois qu'il y a, là, une leçon à retenir.

Oups, c'est le mauvais Taylor

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Edité par edouard22 22 décembre 2017 à 20:28:57

Je ne t'ai pas suivi du tout là.

Quand j'essai de le faire avec les formules d'Euler, je me perds avec les signes ou les imaginaires et je n'arrive pas à retrouver le sinus ou le cosinus. Je ne comprends pas ce que tu as essayé de m'expliquer comme méthode.

Si tu ne détaille pas d'avantage ce que tu n'a pas compris, ce que tu as tenté, je ne vais pas pouvoir t'aider... J'ai pas le temps de rédiger un cours entier sur les DL...  Si tu veux écrire des maths, pense à l'écrire entre

\( ici \)

 edit : un petit lien toujours sympa : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86263h/f62.image
 

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Edité par edouard22 22 décembre 2017 à 21:55:33

Je pense que comprendre par où tu es passé me serait trop long, à force de recherche j'ai fini par trouver cette méthode :

 " pour retrouver ces formules il suffit de faire le développement limité de exp(ix)
comme tu sais que exp(ix)=cos(x)+i.sin(x)
tu n'a plus qu'a prendre la partie réel ou la partie imaginaire de ton DL de l'exponentiel " 

sur un forum.

Cette méthode là est en effet infiniment plus rapide et plus simple.

Eh bien finalement il n'y a effectivement que \(1+x)^a\) et e^x à retenir ce qui simplifie grandement la mémorisation des DL !

Merci de votre aide et de vos conseils en tout cas !

Il faut vraiment que je prennes le temps de regarder comment écrire en Latex un de ces jours