Bonjour,

Soit p1 et p2 un couple de nombres premiers jumeaux avec p2 = 2 + p1

J'aimerais montrer que $$\frac{p1+p2}{12}+(p1+p2-12)-1$$ est toujours un nombre composé avec 13 comme facteur premier intervenant dans la décomposition en facteurs premiers.

Je ne sais pas par où commencer, j'ai bien remarqué que la somme de deux nombres premiers jumeaux était toujours un multiple de 12 mais je ne vois pas le rapport.

Merci de m'aider.

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Edité par Craw 28 août 2021 à 0:43:41

Salut,
Expérimentalement, c'est vrai jusqu'à 10 millions sauf pour (3, 5)
Supposons que p1+p2 est effectivement un multiple de 12 (je n'ai pas de preuve pour ça).
Donc p1+p2 = k*12
p1+p2-12 = (k-1)*12
L'équation me donnera:
k + (k-1)*12 -1 = (k-1) + (k-1)*12 = (k-1)*13
CQFD

On regarde les nombres modulo 12.

A part pour les petits, un nombre premier ne peut pas être multiple de 2, 3, et non plus 4,6, 8, 9,10 bien sûr.

Ca nous laisse 12k+r, avec r=1, 5, 7 ou 11

Pour avoir des nombres premiers jumeaux, on ne peut prendre que

• 12k+11 avec 12(k+1)+1.
• Ou 12k+5 avec 12k+7

PS : À la réflexion, c'est plus simple de regarder modulo 6, les jumeaux sont de la forme  6k+5 et 6(k+1)+1

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Edité par michelbillaud 28 août 2021 à 7:40:57

Merci pour vos réponses.

Si les jumeaux sont de la forme 6k+5 et 6(k+1)+1 => 6k+7
Je fais la somme: 6k+5 + 6k+7 = 12k + 12 = 12*(k+1)

Le monde est bien fait.

Ps Au passage, regarder "modulo 6", ça permet de voir facilement que si p et p+2 sont premiers (jumeaux), alors p+4 ne peut pas être premier, parce qu'il est de la forme 6(k+1)+3, divisible par 3.

Faut-il encore avoir l'idée de regarder sous cet angle. Normalement l'idée est induite par  les exercices précédents ?

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Edité par michelbillaud 30 août 2021 à 8:52:00

Parmi k entiers en progression arithmétique, il y en a toujours exactement 1 qui est multiple de k. (sauf si on a choisi une suite arithmétique de raison r, avec r non premier avec k)

michelbillaud a écrit:

Le monde est bien fait.

Ps Au passage, regarder "modulo 6", ça permet de voir facilement que si p et p+2 sont premiers (jumeaux), alors p+4 ne peut pas être premier, parce qu'il est de la forme 6(k+1)+3, divisible par 3.

Faut-il encore avoir l'idée de regarder sous cet angle. Normalement l'idée est induite par  les exercices précédents ?

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Edité par michelbillaud il y a environ 21 heures

Attention, cela ne vaut pas pour (3,5,7) …

Tout nombre premier p>3 vaut ±1 modulo 6, un couple de jumeau (p1, p2) avec p1>3 sera forcément de la forme (6k-1, 6k+1) avec k>0.

White Crow a écrit:

Attention, cela ne vaut pas pour (3,5,7) …

Tout nombre premier p>3 vaut ±1 modulo 6, un couple de jumeau (p1, p2) avec p1>3 sera forcément de la forme (6k-1, 6k+1) avec k>0.

Ce n'était peut être pas suffisamment explicite ? (cf 28 aout)

> A part pour les petits, un nombre premier ne peut pas (etc)

Je ne faisais la remarque que pour ton affirmation concernant (p,p+2) premiers jumeaux ⇒ p+4 composé.

Après tu m'excuseras si ma précision te semble inadéquate.

ah oui tu as raison.

je rapportais le "cela" à  la phrase suivante

> Tout nombre premier p>3 vaut ±1 modulo 6, un couple de jumeau (p1, p2) avec p1>3 sera forcément de la forme (6k-1, 6k+1) avec k>0.

que j'ai interprété comme une reformulation de

> les jumeaux sont de la forme  6k+5 et 6(k+1)+1

Ah non c'est une explication du pourquoi (3,5,7) est un contre exemple. Simple précision.

(3,5,7) le seul contre-exemple d'ailleurs.

Le point qui m'intéressait, c'était plutôt de savoir si l'idée de "regarder modulo N" était soufflée dans un exercice avant. Parce qu'une fois qu'on le sait (*) c'est facile, mais sinon, ça tombe un peu du ciel.

(*) dans les temps anciens, quand on faisait l'exercice de programmation pour débutant "faites afficher la suite des nombres premiers", il y a avait souvent cette indication : pour gagner du temps ne considérer que les candidats impairs, et mieux les 6k +/- 1 parce que les autres sont divisibles par 2 ou 3 (à part au début).

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Edité par michelbillaud 31 août 2021 à 16:37:12