Bonsoir, 

Je n'arrive pas à faire la difference entre asymptote oblique et direction asymptotique . Je connais bien la règle ( lim f(x)-ax) mais au niveau courbe je ne vois pas la différence. 

Prenons par exemple la fonction racine(x²+x+1) 

En moins l infini elle admet la droite d équation y=-x comme direction asymptotique  au moins l infini mais je ne vois pas pourquoi ne peut dire aussi qu elle admet la droite d'equation y=-x-1/2 comme asymptote oblique  

Aussi parce qu elle admet un asymptote oblique y=x+1/2  au v de plus l infini et qu'elle symétrique par rapport à (-0.5,0.866)  

Merci pour vos réponses !

A mon avis ( mais ce n'est que mon avis), tu peux dire que les 2 droites que tu as mentionnées sont les asymptotes obliques de ta courbe.

Le seul bémol que je vois, c'est qu'il faudrait parler de demi-droites, et pas de droite. En effet, la droite y=x+1/2 est asymptote quand x tend vers +oo, mais pas quand x tend vers -oo. 

Merci pour votre réponse !  Quand j ai parlé de la droite y=x+1/2 qui est asymptote oblique au voisinage de + oo c était pour conclure que la droite y=-x-1/2  est asymptote au v de +oo cat cette fonction est symétrique au par rapport à (-0.5,0.866) 

Ma  question est qu'elle est la difference entre asymptote oblique et direction asymptotique ( mais pas au point de vue règle que j ai mentionné antérieurement).

La direction asymptotique oblique  c'est la limite lorsque elle existe de \(\frac{f(x)}{x}=a\neq 0\)

Il y aura une asymptote oblique si alors \(f(x)-ax\) a une limite finie \(b\), l'asymptote oblique a alors pour équation \(y=ax+b\).

Mais il peut y avoir direction asymptotique sans que \(f(x)-ax\) tende vers une limite donc sans qu'il y ait d'asymptote oblique.

Si on applique à \(\sqrt{x^2+x+1}\), on voit facilement que \(\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x} \rightarrow \pm 1 \) si \(x \rightarrow \pm \infty\), donc deux directions asymptotiques x et -x

On cherche alors si il y a une asymptote en étudiant  la limite de   \(\sqrt{x^2+x+1} \pm x\) et on trouve facilement \(\pm \frac{1}{2}\), d'où les deux asymptotes.

Mais prenons par  exemple la fonction \(f(x)=1+\sqrt{x} +\frac{x}{2}\). Quand \(x \rightarrow +\infty\) , on a \(\frac{f(x)}{x}\rightarrow  \frac{1}{2}\) quand \(x \rightarrow +\infty\). Donc \(f(x)\) a une direction asymptotique  \( \frac{x}{2}\) .

Mais il est clair que \(f(x) -\frac{x}{2} \rightarrow +\infty\), il n'y a pas d'asymptote oblique. On parle dans ce cas de branche paraboloique de direction asymptotique  \( \frac{x}{2}\).   

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Edité par Sennacherib 27 juillet 2018 à 0:00:34

Merci pour votre réponse mais la limite de racine(x^2+x+1)+x  en moins l'infini est égale à moins l'infini non pas -1/2 donc elle n'admet pas une asymptote oblique au voisinage de -oo mais plutôt admet la droite d’équation y=-x comme direction asymptotique.        

et c'est là ou réside ma question , pour quoi n'admet elle pas une asymptote oblique et c'est la difference entre ces deux termes graphiquement non pas par calcul.

non, tu fais une erreur de calcul pour le cas \(x<0\). Dans ce cas \(\sqrt{x^2+ x+1}\) qui est un terme toujours  positif , et doit le rester si on met \(x\) en facteur, doit donc s'écrire \(-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\) et donc on cherche la limite de  \(-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} +x\) et  cette expression tend bien vers -1/2 lorsque \(x \rightarrow -\infty\). Il y a donc bien aussi une asymptote oblique \(y=-x -1/2\).

Les deux asymptotes se coupent en \(x=-1/2,y=0\) et sont symétriques par rapport à la droite verticale \(x=-1/2\), qui est aussi axe de symétrie de la courbe. On peut d'ailleurs le voir en écrivant l'équation de la courbe  \(y=\sqrt{(x+1/2)^2+3/4}\) ce qui permet de voir aussi  que la courbe présente un minimum en \(x=-1/2, \sqrt{3}/2 \).

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Edité par Sennacherib 27 juillet 2018 à 8:28:43

En d'autres mots, s'il y a une asymptote oblique (et c'est le cas ici), alors il y a une direction asymptotique (le coefficient directeur de l'asymptote). Mais l'inverse n'est pas vrai. Il peut y avoir une direction asymptotique, alors qu'il n'y a pas d'asymptote.

Ah oui je vois ma faute de calcul et maintenant ces deux termes sont beaucoup plus claires. Merci pour vos réponses.