Bonjour à tous. Laissez moi vous expliquer le concept. Je suis en train d'essayer de prouver moi même que la fonction exponentielle est positive et croissante sur R. Pour la partie croissante, il suffit d'utiliser le fait qu'elle est positive sur R et égale à sa dérivée et utiliser le fait que si la dérivée est positive sur un intervalle donné alors la fonction est croissante. Ce qui me pose problème c'est la partie "positive". Pour prouver que la fonction est >0 sur R, j'aurais besoins d'un résultat qui me semble vrzi intuitivement mais pour lequel je n'ai pas trouvé de preuve. L'affirmation est la suivante : soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] a<b, continue et dérivable. Si f(a)<f(b)(respectivement f(a)>f(b)) alors il existe a1 et b1, a<=a1<=b1<=b tels que f est monotone et croissante(respectivement monotone et décroissante) sur [a1;b1].

Notez que je précise dérivable ayant connaissance du fait que certaines courbes continues comme la courbe de boltzano ne sont pas dérivables, et ne sont monotones sur aucun intervalle.

Intuitivement ce résultat pourrait être interprété comme suit: en marchant sur une colline, il existe des portions où l'on monte puis descend et inversement, mais en resserrant assez la taille du chemin, il est possible de trouver des petites portions où on ne fait que descendre ou que monter.

Alors voilà je voulais savoir si quelqu'un savait si ce théorème est vrai et si oui cette personne en connait il une preuve ?

Bonjour Rémi!

Déjà, comment deffinisez vous la fonction exponentielle? Il pourrait aussi être interessant de démontrer qu'elle est égale à sa derivé...

Sinon pour votre affirmation, je pense que vos pouvez la démontrer pas l'absurde: en effet, si elle n'est pas stricement croissante sur tout interval [a1,b1], comme elle est continue, je pense qu'on peut montrer qu'elle est décroissante où constante, ce qui serait absurde...

> soit f une fonction définie sur un intervalle [a;b] a<b, continue et dérivable. Si f(a)<f(b)  alors il existe a1 et b1, a<=a1<=b1<=b tels que f est monotone et croissante  sur [a1;b1].

Idée:

- il existe au moins un point où elle est croissante.

- avec la dérivabilité, en ce point la courbe est proche d'une tangente qui est croissante

- si on n'éloigne pas trop, on reste dans un intervalle où elle est croissante

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Edité par michelbillaud 16 juillet 2020 à 13:41:27

PieWar a écrit:

Bonjour Rémi!

Déjà, comment deffinisez vous la fonction exponentielle? Il pourrait aussi être interessant de démontrer qu'elle est égale à sa derivé...

Sinon pour votre affirmation, je pense que vos pouvez la démontrer pas l'absurde: en effet, si elle n'est pas stricement croissante sur tout interval [a1,b1], comme elle est continue, je pense qu'on peut montrer qu'elle est décroissante où constante, ce qui serait absurde...

Bonjour à vous! Je la définis justement comme la seule fonction de R---->R telle que f'(x)=1
Et f(0)=1. Il est vrai qu'il pourrait être intéressant de démontrer cette affirmation à partir d'jne autre définition par exemple celle de la seule fonction de R dans R telle que f(a+b)=f(a)×f(b) et f(0)=1.

Un autre résultat intéressant qui est malgré tout souvent laissé de côté et que j'ai prouvé est le fait que exp(1)=e à partir de la méthode d'euler. Est-ce quelqu'un serait intéressé que je la partage ?

Bonjour,

L'énoncé se démontre aisément avec le théorème des accroissement finis, en effet, si f(a) < f(b), le théorème des accroissements finis nous dit qu'il existe un c tel que f'(c) = [f(b)-f(a)]/(b-a) > 0. Il existe donc un alpha > 0 tel que si |x-c| <= alpha alors f'(x) > f'(c)-epsilon > 0 (par définition de la limite, en choisissant epsilon suffisamment petit). f est donc croissante strictement sur [c-alpha, c + alpha] (la dérivée est strictement positive dessus). Je ne comprends cependant pas votre définition de l'exponentielle, voulez vu plutôt dire la seule fonction telle que f'(x) = f(x) ?

Soit x<0, on étudie le signe de exp(x)

Exp(x)= 1/exp(-x)

Or -x>0 donc exp(x) >0

CQFD

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Edité par Aymeric Nguyen 19 août 2020 à 2:39:16