AsaAsa2 a écrit:

salut s'il vous plaît si l'un de vous peut m'aider à résoudre cet exercice je n'ai rien compris

en l'absence de réponse à ce message, je donne quelques indications bien que le commentaire me laisse perplexe. Si vous n'avez "rien compris", il y a quand même un problème  

soit vous chercher à résoudre un exercice non adapté à votre avancement dans votre cours de thermo.

soit vous n'avez pas étudié votre cours, puisque déjà la première question est évidente si vous avez ouvert les pages correspondant au notion d'enthalpie libre et je ne suis pas sûr que les indications vous serons utiles. 

1- En partant des définitions normalement connues des fonctions d'état,  G=H-TS =U+PV-TS , en différenciant et en utilisant l'identité thermodynamique pour remplacer \(dU\), on trouve \(dG=VdP-SdT\) ( en supposant le nombre de moles constant). Par identification avec la différentielle de \(G(P,T)\) , \(P,V,T\) étant évidemment reliés par l'équation d’état du gaz, on trouve que :

\(\frac{\partial G}{\partial P}\vert_T  =V \) Pour un gaz parfait pour une mole \(PV=RT\)  . On substitue \(V\) et on intègre selon P de \(P_0\) à \(P\) le long d'une isotherme  pour retrouver la relation de l'énoncé avec une "constante" d'intégration qui est fonction de la température.

2- Pour la question 2, la notion de fugacité caractérise l'écart du gaz réel au comportement idéal du gaz parfait où \(f=P\)  C'est un peu plus délicat .

Dans tout ce qui suit, je raisonne sur le volume molaire et le long d'une isotherme.

Pour le gaz réel, on a toujours \(\frac{\partial G}{\partial P}\vert_T  =V \) mais \(V\) vérifie alors  l'équation de Van der Waals. Et on doit faire preuve d'astuces pour intégrer puisque on ne peut en tirer facilement \(V\) en fonction de \(P\).

De par la définition de la fugacité, on va avoir \(\int_{P_0}^P V dP =RT\ln\frac{f}{f_0}\)  et pour le gaz parfait \(\int_{P_0}^P V_{pf} dP =RT\ln\frac{P}{P_0}\), ce qui donne par différence \(\int_{P_0}^P (V -V_{pf}) dP =RT\ln\frac{fP_0}{f_0P}\) .

Si on fait tendre \(P_0\) vers zéro, l’hypothèse de l'énoncé permet alors d'écrire  \(\int_0^P (V -V_{pf}) dP =RT\ln\frac{f}{P}\) .

Il est usuel de définir le coefficient de compressibilité pour un gaz par \(Z=\frac{PV}{RT}\) valant évidemment 1 pour un gaz parfait.

Moyennant ceci, je vous laisse le soin de trouver que  \(  \ln\frac{f}{P}= \frac{1}{RT}\int_0^P \frac{Z-1}{P}dP\) 

Là je ne vais pas faire tout le travail pour calculer cette intégrale où il s'agit d'utiliser habilement l'équation d'état de Van der Waals:

- en utilisant cette équation , calculer Z  pour le gaz de Van der Waals,

- par différenciation logarithmique, substituer \(\frac{dP}{P}\) par son expression qui en découle pour obtenir deux intégrales en \(dZ\) et \(dV\) respectivement,

- pour intégrer, attention aux nouvelles bornes d'intégration en \(Z\) et \(V\) et il y a un petit problème d'intégrale avec une borne infinie, puisque le volume molaire tend vers l'infini quand la pression tend vers zéro.  

Pour contrôler votre calcul, voici le résultat à trouver :

  \(  \ln\frac{f}{P}= Z-1 +\ln Z + \ln \frac{V}{V-b}-\frac{a}{RTV}\)  

Pour un gaz parfait \(a=b=0, Z=1\), on retrouve bien \(f=P\)

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Edité par Sennacherib 17 avril 2019 à 12:10:25