Bonjour à tous, en effectuant des exercices de " révision" je suis tombé sur ça: 

Rien de très compliqué, mais la rédaction me pose un réelle problème: Voici mon raisonnement, qui je pense est correct mais absolument pas rigoureux: 

https://image.noelshack.com/fichiers/2018/30/6/1532778652-sigma.jpg

Voilà, je n'arrive pas à démontrer correctement mon idée sur le papier, et je me doute qu'il y des façons plus rapides de résoudre cette question, mais ce n'est pas la première fois que j'ai ce genre d'idée et ce serait vraiment sympa si qq'n puisse me montrer la bonne rédaction ! 

P.S: Désolé de vous fournir des photos, j'ai essayé en vain de lire et appliquer le tuto pour écrire en MathsJax mais rien n'y fait, je n'arrive vraiment pas à faire apparaître mes formules.

Merci !

Edit: Pourquoi on ne peut pas cliquer automatiquement sur le lien? 

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Edité par Kyrtu 28 juillet 2018 à 13:58:18

Hello.
Pour écrire en matjax tu dois écrie

\( \sum i^k  \)  

qui donne \( \sum i^k  \) 

Bref, ta première idée était bonne, i^k est effectivement cyclique : tu as
i^0 = 1,
i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1 = i^0


Bref, l'idée est de s' intéresser à \( i^{4n + n_0 } \) avec \( n_0  \in \{ 0,1,2,3 \} \)
Tu peux donc réécrire
\[  \sum_{k=0}^{k=2003} i^k  =  \sum_{n=0}^{n=500} \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{4n + n_0 }  \]
hs : tu remarque que pour n=500, n°=3, tu as 4n+n° = 2003. 

Or \(  i^{4n + n_0 } =  i^{n_0} \) D’où \(  \forall n \in N, \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{4n + n_0 } = \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{n_0 } \)

 On a donc : 
\[  \sum_{n=0}^{n=500} \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{4n + n_0 } = \sum_{n=0}^{n=500} \left(  1 + i -1 -i    \right) = 0 \]

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Edité par edouard22 28 juillet 2018 à 14:13:13

Bonjour, merci de ta réponse.

Euh premièrement, le comportement cyclique, il n'est pas à démontrer ? Ca me perturbe un peu. Deuxièmement, je ne comprends pas pas pourquoi tu passes par i^4n. Je comprend que tu veuilles faire apparaître le 2003 mais quel est le lien avec le comportement cyclique ci-avant ?

Enfin, je ne comprends pas cette Notation:

\(\forall n \in N, \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{4n + n_0 } = \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{n_0 })\

comment n0 peut avoir 2 valeurs différentes ?

Merci bien !

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Edité par Kyrtu 28 juillet 2018 à 14:39:41

En fait : tu peux toujours déposer un nombre k de la façon suivante \(  k=4n + n_0 \) avec N_0 le reste de la division euclidienne de k avec 4, et n le résultat de cette division. 

Décomposer k de cette façon permet de bien voir le coté cyclique ici, puisque le cycle est de 4. Tu as \( i^k = i^{ 4n + n_0 } = i^{4n} * i^{n0} \)
Or \( i^{4n} = (i^4)^n = 1^n = 1 \) soit  \( \forall k \in N ,  i^k = i^{ 4n + n_0 } =  i^{ n0} \) avec k = n0 mod 4.

je n'ai pas compris ta dernière question.
 

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Edité par edouard22 28 juillet 2018 à 14:59:03

Oui, comme tu vois, j'ai repris ta notation, copier coller et je n'ai pas de formule qui apparaît. 

edouard22 a écrit:

Or \(  i^{4n + n_0 } =  i^{n_0} \) D’où \(  \forall n \in N, \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{4n + n_0 } = \sum_{n_0=0}^{n_0=3} i^{n_0 } \)

Si je lis bien, tu as deux valeurs différente pour N0  ? 

Dans le tdernier terme, il n' a pas 2 valeurs pour n0, mais 4 ...  Dans cette expression, on dit : on calcule i^n0, en remplaçant successivement n0 par 0, puis 1 puis 2 puis 3, et on additionne ces 4 termes.

Oh d'accord, je ne connaissais absolument pas cette notation ! Merci bien.

La lettre grecque que tu as dans cette formule est la lettre sigma (majuscule). Si tu tapes "mathématiques Sigma" sur Google, tu auras plein de choses.

si je connais ça, mais le fait de faire varier nO dans une somme, disons que je n'y suis pas familier, cette sorte de double somme, jamais j'y aurais pensé !

Pour ne pas avoir de sigmas imbriqués, on peut s'y prendre par récurrence.

Notons \( S(n) = \sum_{k=0}^n i^k  \). Il s'agit de démontrer que \(S(4n+3) = 0.\)

Initialisation : \(S(3) = i^0 + i^1 + i^2 + i^3 = 1 + i - 1 - i = 0.\)

Hérédité : démontrons que \(S(4n+3) = 0\) entraîne que \(S(4(n+1)+3) = 0\).

On a :

\[ \begin{array}{lcl} S(4(n+1)+3) & = & S(4n+7) \\ & = & \sum_{k=0}^{4n+7} i^k \\ & = & \left( \sum_{k=0}^{4n+3} i^k \right) + i^{4n+4} + i^{4n+5} + i^{4n+6} + i^{4n+7} \\ & = & \left( \sum_{k=0}^{4n+3} i^k \right) + i^{4n+4}(i^0 + i^1 + i^2 + i^3) \\ & = & S(4n+3) + i^{4n+4}S(3) \\ & = & 0 + 0 = 0 \end{array} \]

Conclure...

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Edité par robun 29 juillet 2018 à 19:44:50

Merci bien de vos réponses, je ne suis effectivement pas familier avec cette notation et les conséquences qui en découlent, mais je pense que durant les deux années qui arrivent, je serais plus à l'aise ( j'ai intérêt du moins ! )