Bonjour à tous ! 

Une fois n'est pas coutume, je m'adresse à vos compétences quand je bloque véritablement et ne vois pas du tout, mais alors pas du tout comment résoudre une question. 

Je m'entraînais sur ce sujet : http://www.association-apml.fr/upload/sujet_bce_essec_2019.pdf qui était censé me mettre en confiance par des questions faciles dès la partie une. Malheureusement, je bloque totalement dès les questions 3 et 4. 

Pour la question 3, je ne vois pas vraiment comment faire. L'inégalité triangulaire me semble stérile, mais à la limite, il m'a semblé qu'en raisonnant par disjonction des cas cela pourrait marcher, mais rien de bien fameux. 

Mon vrai problème est sur la question 4 au niveau de l'initialisation. Moi je veux bien la faire, mais comment montrer que abs(a -l) est inférieur à 1 quand je n'ai aucune condition sur a ? qu'est ce qui m'empêche d'avoir un u0 qui vaut 100 par exemple ? 

Merci bien de vos pistes !  

Bonjour !

Pour la question 3), j'aurais envie de remplacer cos(u)-cos(v) par cos(quelque chose) ou, mieux, sin(quelque chose). Est-ce que tu connais une formule trigo pour ça ? Je sais qu'il en existe une pour cos(u)-cos(v), mais je ne les connais jamais par cœur... Ça se trouve on peut se ramener à un sinus et on sait que, sur le bon intervalle, sin(x) <= x.

Pour la question 4) tu as mal lu l'énoncé : u0 et u1 sont forcément dans [0,1]. Comme c'est le cas aussi pour l, l'initialisation a l'air triviale.

J'espère que ça ne t'a pas bloqué : ça n'empêche pas de faire la question 5 (surtout le jour du concours !).

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Edité par robun 24 février 2021 à 16:58:13

Et dire qu'il arrive vite... 

Bah oui j'avais pensé faire apparaitre cos(u) - cos(v) par les formules de duplication mais il me faut que sin(u) et sin(v) soient égaux à 1 non ? 

Car : sin(u-v) = sin(u)cos(v) - sin(v)cos(u) ( A la limite je multiplie par -1 pour avoir le bon ordre) 
Mais si je veux avoir l'expression de l'énoncé, il faut avoir que sin(u) et sin(v) soient égaux à 1, autrement dit que que u et v = Pi/2 [2Pi]

Or je veux pour tout couple (u,v), d'où mon problème. 

Effectivement, je me suis fait avoir par l'énoncé, mais il faut dire que ceux de l'essec ne sont pas les plus clairs...  

Pour la question 3, la dérivée de la fonction cos est la fonction -sin.

Pour tout nombre entre u et v, -sin(x) est entre -1 et 1

Entre u et v , il n'y a aucun point où la pente de la courbe de la fonction cos dépasse k=1 (en valeur absolue). Au total, sur l'intervalle [u,v], le dénivellé ne peut pas dépasser k |u-v|=|u-v|

Bon, ok, la formulation est très approximative

Pour la question 4, 

L'initialisation est triviale.  Passons à l'hérédité.

L est un nombre entre 0 et 1. On ne l'a pas démontré encore, mais ça se démontre facilement.

Soit m = arccos (L)

U(2n) - L , c'est  cos (... ...) - cos (m)  

On applique le résultat de la question 3  :  | U(2n)-L | = | cos(...) - cos(m) | <= |... - m|   

Et j'ai l'impresssion qu'on aboutit au résultat voulu.

Kyrtu a écrit:

Bah oui j'avais pensé faire apparaitre cos(u) - cos(v) par les formules de duplication mais il me faut que sin(u) et sin(v) soient égaux à 1 non ? 

Ah, tu ne connais pas plus de formules trigo ?

Exemple : http://wwwmathlabo.univ-poitiers.fr/~broussou/formtrig.pdf

Un peu en bas à droite, tu as une formule pour cos(p) - cos(q). Regarde ce qu'il y a dans le membre de droite : des sinus, et on sait que sin(x) <= x (sous certaines conditions). Je pense que c'est une bonne piste.

(Cette formule se retrouve en effet à partir des formules de duplication.)

tbc92 a écrit:

L est un nombre entre 0 et 1. On ne l'a pas démontré encore, mais ça se démontre facilement.

Si, si, c'est une partie de la question 2 (mais tu as le droit de lire trop vite l'énoncé, contrairement à Kyrtu...).

(C'est intéressant, tu as une autre méthode pour la question 3, avec probablement moins de calculs je pense.)

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Edité par robun 24 février 2021 à 19:53:05

Effectivement, la 3 peut se démontrer par l'inégalité des accroissements finis, avec M= 1. Disons qu'elle est résolue. 
Maintenant, la récurrence m'a posé plus de problème que je pensais :  j'avais lu un peu trop vite la question et pensais qu'il fallait faire 2 récurrences distinctes. Or il me semble qu'il fallait montrer toute la proposition par récurrence avec le "et". Dès lors, je pense avoir trouvé la méthode, mais c'est véritablement un souci de rédaction, elle me semble très subtile. 

Pour répondre à tbc92, inutile de passer par arccos, on peut déjà exprimer l en fonction de cosinus d'après la question d'avant. Voici une rédaction que je propose, mais je ne suis pas tout à fait à l'aise : Certes je me sers de l'hypothèse de récurrence, mais je ne montre que la proposition au rand U2(n+1), autrement dit je ne montre la validité au rand n+1 que pour le cas pair, que pour la première inégalité. Après, je me dis que si c'est bon pour la première partie de proposition, alors c'est forcément bon pour la seconde partie, mais c'est vraiment là où je ne suis pas sûr. Voici ma rédaction : 

Edit : Je suis en train de faire la question 5 et je me pose une question : Pourquoi est-il nécessaire de montrer le convergence (on reconnaît ici la définition de la limite) pour le cas pair et impair ?  Je sens bien que la difficulté provient du fait que Cos est une fonction pair, mais j'ai du mal à saisir pourquoi il faut le montrer pour les deux cas. 

Edit² : Bon Dieu, ce sujet est une horreur ! C'est désormais la question 7 qui me semble incompréhensible !! Je ne comprends pas comment on peut définir une fonction Psi qui va de I dans I alors que la fonction est défini par un couple mais qui est dans I, pas dans I². Et d'un coup, on passe avec la dérivée avec une fonction qui génère un triplet !! Bon ça dépend toujours de t, on est d'accord, mais c'est tellement perturbant ... Du coup, Question 7  ma fonction dérivée me donne un triplet, qui je suis censé majorer par un unique réel ?? Et quand bien même je ne verrai pas comment faire, je ne vois même pas le lien entre cette inégalité ! Je sais bien que abs(x'-x) c'est u'(t), mais je ne vois pas de théorème me permettant de justifier... Au secours, je vais vite ragequit ce sujet 

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Edité par Kyrtu 25 février 2021 à 11:08:55

Kyrtu a écrit:

Edit : Je suis en train de faire la question 5 et je me pose une question : Pourquoi est-il nécessaire de montrer le convergence (on reconnaît ici la définition de la limite) pour le cas pair et impair ?

Pour démontrer que la suite \( u_n \) converge vers \( l \), il suffit de démontrer que les \( | u_n - l | \) tendent vers 0. Visiblement, c'est difficile de prouver ça, c'est plus facile de prouver un résultat semblable sur la suite des termes pairs et sur la suite des termes impairs.

Pas parce que la fonction cosinus est paire mais plutôt, je crois, parce que c'est une suite définie par une double récurrence.

Kyrtu a écrit:

C'est désormais la question 7 qui me semble incompréhensible !! Je ne comprends pas comment on peut définir une fonction Psi qui va de I dans I alors que la fonction est défini par un couple mais qui est dans I, pas dans I². Et d'un coup, on passe avec la dérivée avec une fonction qui génère un triplet !! 

Pour \( \psi \), essaie de faire un dessin.

• La fonction \( f \) prend en entrée un couple de \( I^2 \) et renvoie en sortie un nombre de \( I \).
• La fonction \( \psi \) prend entrée un nombre de \( I \), appelle \( f \) avec le couple \( ( tx' + (1-t)x, ty' + (1-t)y ) \) qui fournit en sortie un nombre de \( I \). Donc \( \psi \) va bien de \( I \) dans \( I \).

Pour la dérivée, tu as bien utilisé la formule de l'énoncé ? En calculant d'abord u' et v' ? Regarde bien la formule : elle génère un nombre, pas un triplet. C'est normal : la dérivée d'une fonction de R dans R est forcément une fonction de R dans R. Tu ne peux pas envisager que le triplet soit correct !

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Edité par robun 25 février 2021 à 19:56:00

Bah ma dérivée est juste, et de toute manière elle m'est donnée juste avant. Simplement, quand je regarde ma dérivée, je vois qu'il y a 2 virgules, donc pour moi, (mais sans doute est-ce ici que j'ai tort), (psi)' va de R² dans R3 ...

Oui, l'expression de \( \psi' \) est donnée à la question 6. Mais c'est une fonction de R dans R ! Les virgules sont dans les dérivées partielles de f qui, elle, est une fonction de deux variables. Mais \( \psi \), et donc sa aussi sa dérivée, sont des fonctions d'une seule variable.

Tu as bien compris les notations des dérivées partielles ?

On ne l'a pas encore vu en cours, mais d'après l'énoncé, j'fixe une variable et je dérive l'autre ?

J'ai pris le temps de regarder de plus près l'énoncé. Est-ce que tu as maintenant compris que \( \psi '(t) \) est bien une fonction à valeur dans R ?

Si pas encore, je tente une explication.

Il faut partir de la définition de f : \( f(x,y) = \cos\left( \dfrac{x+y}{4} \right)  \)

Tu as dû calculer ses dérivées partielles :

\( \partial_1 f(x,y) = -\dfrac{1}{4} \sin\left( \dfrac{x+y}{4} \right)  \)

\( \partial_2 f(x,y) = -\dfrac{1}{4} \sin\left( \dfrac{x+y}{4} \right)  \)

Donc (en utilisant la formule de la dérivée − que tu as démontrée je crois) :

\( \begin{array}{lll} \psi'(t) &=& -\dfrac{1}{4} (x'-x) \sin\left( \dfrac{(tx'+(1-t)x)+(ty'+(1-t)y)}{4} \right) \\ & & -\dfrac{1}{4} (y'-y) \sin\left( \dfrac{(tx'+(1-t)x)+(ty'+(1-t)y)}{4} \right) \end{array} \)

Comme tu le vois, c'est bien une fonction de R dans R.

Et maintenant, en utilisant l'inégalité triangulaire, la majoration demandée en 7 devient évidente, non ?

(J'ai complètement développé \( \psi'(t) \) juste pour que tu constates que c'est bien une fonction de R dans R. Mais c'est la forme non développée, celle de la question 6, qu'il faut utiliser pour la majoration de la 7.)

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Edité par robun 28 février 2021 à 0:12:12

MErci bien de ta réponse ! 

Ecoute, les concours blancs commencent demain, dès que je c'est la veille des Maths, je me replongerai dedans ! 

Mille mercis !