Bonjour tout le monde.

Un ami m'a soumis un problème concernant la boule de Galilée. Le but ultime est de pouvoir choisir la pompe adéquate au problème.

Voici le problème : on a une boule de granite de masse \( m = 850\)kg et de rayon \(r = 0,425\)m qui doit pouvoir tourner sur elle-même à partir d'une petite impulsion (même un enfant devrait pouvoir y arriver à ce que j'ai compris). Pour cela, la boule de granite est enfoncée dans un socle d'une profondeur \(a=0,2\)m. Un système hydraulique est censé compensé les frottements, avec un film d'eau d'une épaisseur \(z=0,0001\)m.

La logique que j'ai suivi est d'appliquer un bilan des forces sur la boule, en choisissant la Terre comme référentiel (on aurait pu choisir autre chose sûrement mais pourquoi faire compliqué ? ). On obtient alors une force attirant la boule vers le bas, le poids noté \(P\), et une force poussant la boule vers le haut, une force de pression notée \(F_p\).

C'est peut-être là que mon raisonnement est faux : j'ai suivi seulement une année en classe préparatoire et j'ai donc eu l'idée d'utiliser la statique des fluides. Or peut-on modéliser la pression exercée par l'eau sur la boule par la relation \( \frac{\mathrm d p}{\mathrm d z} = - \rho g\) ? J'aurai tendance à penser que oui mais au final, ça n'a pas l'air de fonctionner avec mes calculs (applications numériques)... 

Je continus sur mon raisonnement :

Pour calculer la pression, j'utilise la relation \( \frac{\mathrm d p}{\mathrm d z} = - \rho g\).  Je peux alors connaitre la force de pression :

\[ F_p = p \times S =- \rho g z \times r^2 \int_{\theta = 0}^{\theta=2\pi} \int_{\varphi = 0}^{\varphi = \alpha} \mathrm d \theta  \sin (\varphi ) \mathrm d \varphi = - \rho g z \times r^2 \cdot 2 \pi \cdot \left[ -cos ( \alpha ) - 1 \right] \]

Avec un peu de trigonométrie je sais qu'on peut retrouver \alpha très facilement mais je n'ai pas mes schémas sous la main.

Or on veut que \( F_p = P \) mais en faisant mes applications numériques, j'ai un facteur 10 000 entre le poids et la force de pression 

Auriez-vous une idée d'où j'ai raté quelque chose ou bien où j'ai une erreur de raisonnement ? Je ne veux pas forcément la réponse hein, même je préfère pas. J'aimerai bien la trouvé avec un peu d'aiguillage.

Merci à tout les scientifiques qui participeront

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Edité par Alexandre Gérault 15 septembre 2017 à 17:31:39

alexan14 a écrit:

 C'est peut-être là que mon raisonnement est faux : j'ai suivi seulement une année en classe préparatoire et j'ai donc eu l'idée d'utiliser la statique des fluides. Or peut-on modéliser la pression exercée par l'eau sur la boule par la relation \( \frac{dp}{dz} = - \rho g\) ? J'aurai tendance à penser que oui mais au final, ça n'a pas l'air de fonctionner avec mes calculs (applications numériques)... 

 Edité par alexan14 il y a 2 minutes

oui,...c'est faux!  

On impose avec une pompe un \(\Delta p\) pression entre le socle et la boule. Ce \(\Delta p\) est constant lorsque le film d'eau est formé, appliqué sur la surface S de la calotte sphérique de contact. La force élémentaire agissant sur  la surface élémentaire \(dS\) vaut  \(\overrightarrow{dF}=\Delta p \overrightarrow{dS}=\Delta pdS \overrightarrow{n}\). La force agit selon une direction radiale de vecteur unitaire  \(\overrightarrow{n}\).  

 L'équilibre de la sphère est alors obtenu lorsque \(mg= \int_S  \Delta p dS\vec{n}.\vec{k}\)  Il faut en effet projeter la force de direction radiale sur Oz pour obtenir la poussée verticale . Par symétrie, la résultante de la poussée horizontale est évidemment nulle.

La difficulté qui reste est le calcul de cette intégrale un peu piégeuse si on n'a pas l'habitude. Je te laisse faire après cet aiguillage

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Edité par Sennacherib 15 septembre 2017 à 18:12:53

Ah mince, bah je m'en doutais un peu. C'est le seul endroit où j'avais fait une hypothèse un peu aléatoire.

Finalement, ce que je veux calculer, c'est bien \( \Delta p\) ? Dans ce cas, j'ai du mal à comprendre le sens physique de ce dernier. En effet, \( \Delta p\) reste une pression (dimensionnellement) mais est surtout une différence de pression (si j'en crois la notation utilisée en tout cas ). Ce serait la différence entre la pression exercée par l'air et l'eau ?

EDIT : \( \vec{k} \) c'est un vecteur utilisé pour projeter sur la composante verticale ?

EDIT 2 : Pour l'intégrale de surface je ne suis pas trop sûr de moi mais je trouve \[ S = 2 \pi r^2 \left( -1 - \frac{r-a}{r} \right) \]

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Edité par Alexandre Gérault 15 septembre 2017 à 19:21:11

j'ai noté \(\Delta p\) en considérant que c'est la surpression apportée par la pompe par rapport à la pression atmosphérique. On calcule donc bien \(\Delta p\)

Ton résultat pour S est bizarre parce que a priori ce que tu trouves est négatif. Le -1 serait plutôt un +1

\(\vec{k}\) est le vecteur unitaire selon la verticale en projetant sur ce vecteur je pense que , avec tes notations, cela fait apparaitre un \(\cos\varphi\) 

Et on obtient \(F_p=  r^2 \Delta p \int_0^{\alpha} \sin \varphi \cos \varphi d \varphi \int_ 0^{2\pi} d\theta\)

soit \(F_p=  2 \pi r^2 \Delta p \int_0^{\alpha}\frac{1}{2} \sin 2 \varphi  d \varphi  \) donc en final je trouve, sauf erreur:

\(F_p= \frac{1}{2}\pi r^2 \Delta p   (1-\cos 2 \alpha)   \), je ne pense pas que cela soit équivalent à ce que tu trouves, parce que avec tes notations je pense que \(\frac{r-a}{r}=\cos \alpha\) .  
N'as-tu pas oublié le \(\cos \varphi\) de la projection?

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Edité par Sennacherib 15 septembre 2017 à 20:23:10

Salut, j'avais écris un long pavé mais mon ordinateur s'est éteint... je recommence !

En effet, \( \displaystyle \frac{r-a}{r} = \cos ( \alpha ) \). Voici une figure de mon schéma que j'ai refais sur ordinateur (cliquer dessus l'agrandi normalement).

En revanche, j'ai l'impression que mon calcul s'applique à toute l'aire en blanc... Soit je me trompe dans mon calcul, soit je ne comprends pas trop le sens de celui-ci. De ce que j'ai compris, on fait le calcul de l'intégrale sur \( \theta \) qui varie entre \( 0 \text{ et } 2\pi \) ce qui correspond finalement (vue du dessus) à faire un tour horizontal complet. Ensuite, si on voulait calculer l'aire totale de la sphère, on ferait la même chose en faisant varier \( \varphi \text{ de } 0 \text{ à } \pi \) car vue de devant, on ne ferait tourner qu'une moitié de cercle (sinon on aurait le double de l'aire).

Ah et aussi, j'avais pas trop compris ce qu'était \( \vec{k} \) donc maintenant que je sais, je vais recommencer.

Merci beaucoup.

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Edité par Alexandre Gérault 16 septembre 2017 à 11:02:49