Bonjour,

Je suis en première scientifique et en attendant de passer en terminale scientifique je lisais quelques cours de terminale S pour assouvir un peu ma curiosité. J'ai découvert le "fonctionnement" des intégrales. En y repensant, une idée m'est venue : Pourquoi ne pas calculer Pi avec cet outil ?

Donc je vous propose ceci (suivre le lien) : https://drive.google.com/file/d/1wUXGhF9sf2RqpV5ZHxWEqY0s1V1gpYFD/view?usp=sharing

N'hésitez pas à corriger mes erreurs (il doit y en avoir beaucoup ) et excusez moi d'avance pour le manque de rigueur.

Bonne journée.

1. la notation de la dernière équation est affreuse, même si en lisant entre les lignes, on la comprend. N'écris jamais ça dans un devoir de maths.

2. As tu testé ton script python, est-ce qu'il donne des valeurs 'réalistes' ?

3. Prend un nombre n, relativement petit. Disons n = 3. Tu fais tourner ton programme python pour cette valeur de n. Et par ailleurs, tu dessines ton calcul d'intégrale, avec donc la somme de 3 rectangles. Ca devrait t'inspirer un autre truc que tu as du croiser dans tes lectures : faire une somme de trapèzes.

Dans ce cas précis, la méthode des trapèzes sera beaucoup plus précise que la méthode des rectangles. Avec 10 trapèzes, tu auras une précision aussi bonne qu'avec 50 ou 100 rectangles.

Bonjour,

je dépose ce tutoriel ici et je plussoie la réponse précédent.

PS : À noter que la méthode des trapèzes ne donne pas toujours de meilleurs résultats que la méthode des rectangles à pas égal ; il y a des fonctions pour lesquelles ce n'est pas du tout le cas.

Merci beaucoup pour vos réponses.

1.tbc92 peux-tu me donner une formulation plus rigoureuse de la dernière équation stp ? (Pour avoir un modèle ).

2. Mon script me donne effectivement des valeurs réalistes et "atteint" 3.14 à partir de i  = 1500~2000.

3. Oui effectivement j'ai croisé la méthode des trapèzes et vais la mettre à la place de celle des rectangles.

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Edité par ErwanMeunier 5 juillet 2018 à 19:41:22

Tu peux écrire que

$$ \pi = \lim{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum{k = 0}^n \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}. $$

EDIT : comme d'habitude, impossible d'écrire un message facilement avec l'éditeur Markdown d'OC, voici la formule.

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Edité par yo@n97one 5 juillet 2018 à 19:51:54

Merci pour cette formule qui, je dois le dire, est plus jolie et rigoureuse. Néanmoins (peut-être que je me trompe) il me semble qu'elle ne colle pas à la mienne. En effet, je ne comprends pas pourquoi 1/n s'applique à la somme (comme pour la formule d'une moyenne) alors que dans mon cas elle s'applique à chaque fois "dans la somme". Je veux dire par là, qu'elle fait "partie" de la somme. La factorisation à posteriori par 4 est aussi à ajouter je crois.

En tout cas, merci beaucoup de m'avoir donné un exemple de ce à quoi m'a formule devait ressembler, ainsi que vos pistes et conseils.

Bonne soirée. 

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Edité par ErwanMeunier 5 juillet 2018 à 23:49:02

Ah, ça c'est intéressant ! Je n'ai pas de commentaire particulier à faire, sinon que c'est une excellente initiative !

Effectivement, j'avais oublié le 4. Quant au facteur 1/n, c'est juste une factorisation (toi tu avais 1/n a + 1/n b + 1/n c + ... et on le factorise pour obtenir 1/n (a + b + c + ... )).

Ah d'accord. Je vais allé revoir mes maths alors 😂. Plus sérieusement,  merci encore à yo@n97one pour votre aide et à robun pour vos encouragements :-).  

Je publierais bientôt mes avancés et mes modifications/améliorations sur le lien précédemment publié

Ps : Enfin, je tiens à souligner le fait que pour une fois, dans cette belle discipline que sont les mathématiques, on peut trouver des personnes qui ne répondent pas avec un air supérieur et un esprit fermé, dès qu'une personne tente quelque chose (malgré des erreurs) et je trouve ça superbe.

Bonne soirée. 

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Edité par ErwanMeunier 6 juillet 2018 à 0:28:57

Tu peux aussi approcher pi de manière probabiliste. Si tu considères le carrée d'aire 1 dans lequel est contenu ton quart de cercle, et que tu tires n points au hasard dans ce quart de cercle. La probabilité que ta flèche soit dans le quart de cercle est le rapport de l'aire du quart de cercle et de l'aire totale, soit de pi / 4.

En tirant un très grand nombre de points, tu peux alors approcher pi / 4 en regardant le rapport entre le nombre de points dans le quart de cercle et le nombre total de points. Bien sûr, ceci est correct s'il y a équiprobabilité, c'est-à-dire que la probabilité de tirer un point est la même pour chaque point.

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Edité par yo@n97one 6 juillet 2018 à 10:33:20

Petite précision sur ce qu'on dit yoan et tbc : il ne faut pas écrire \( \infty \) dans une équation en maths, parce que l'infini n'est pas un nombre et donc ne peut être utilisé que dans certaines conditions très précises, à savoir quand on calcule une limite, on obtient alors la notation donnée par yoan. En fait on peut dire que l'infini est juste une manière pratique d'écrire des formules qui seraient moches sinon (tu as vu les définitions de limite ? Si oui tu seras d'accord pour dire que c'est moche )

yo@n97one a écrit:

Tu peux aussi approcher pi de manière probabiliste. Si tu considères le carrée d'aire 1 dans lequel est contenu ton quart de cercle, et que tu tires n points au hasard dans ce quart de cercle. La probabilité que ta flèche soit dans le quart de cercle est le rapport de l'aire du quart de cercle et de l'aire totale, soit de pi / 4.

En tirant un très grand nombre de points, tu peux alors approcher pi / 4 en regardant le rapport entre le nombre de points dans le quart de cercle et le nombre total de points. Bien sûr, ceci est correct s'il y a équiprobabilité, c'est-à-dire que la probabilité de tirer un point est la même pour chaque point.

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Edité par yo@n97one il y a environ 8 heures

Oui j'avais aperçu ça ici http://irpf90.ups-tlse.fr/files/mpi_pi.pdf. La méthode stochastique je crois ... Cette dernière n'a pas l'air "nouvelle", mais en reste néanmoins intéressante.

melepe a écrit:

Petite précision sur ce qu'on dit yoan et tbc : il ne faut pas écrire \( \infty \) dans une équation en maths, parce que l'infini n'est pas un nombre et donc ne peut être utilisé que dans certaines conditions très précises, à savoir quand on calcule une limite, on obtient alors la notation donnée par yoan. En fait on peut dire que l'infini est juste une manière pratique d'écrire des formules qui seraient moches sinon (tu as vu les définitions de limite ? Si oui tu seras d'accord pour dire que c'est moche )

Effectivement l’esthétique péche .

Une autre question me vient ; Existe-il une formule précise pour pi (sans somme ou produit) ? Et si non ; Ceci est il démontré ou potentiellement démontrable ? 

Qu'est-ce que tu veux dire par sans somme ou produit ? Je peux t'écrire que pi c'est 4 fois arctan(1), mais bon, reste à voir comment tu définis arctan...

Pour moi arctan c'est une fonction réciproque à la fonction tangente (comme la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien). Mais bon, on a pas encore fait les fonctions cos, sin et tan. Je ne suis qu'en première S .

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Edité par ErwanMeunier 6 juillet 2018 à 21:10:11

On va faire largement du hors programme de Première et Terminale. Tu peux regarder une définition du cosinus... à partir d'une somme. On a la même chose pour le sinus et pour la tangente. À partir de là, on a des sommes et des produits qui interviennent un peu partout. Plus généralement il faudrait voir comment on construit les maths et ici comment est défini pi.

Si tu veux une formule 'polynomiale' qui donne pi, il n'en existe pas. En d'autres mots, pi n'est pas un nombre rationnel.

Si tu veux une formule avec des nombres entiers, des divisions, des multiplications, et des racines carrées ou cubiques ou autres, il n'existe pas de formule de ce genre qui donnerait pi. En d'autres mots, pi est un nombre transcendant.

Du coup, les seules 'formules' qui permettent de calculer pi sont celles évoquées ci-dessus : la limite d'une certaine formule, quand n devient de plus en plus grand, ou des formules qui mettent en oeuvre des fonctions comme sin ou arcsin, ou d'autres fonctions encore plus exotiques.

Et pour revenir sur la question « est-ce qu'il y a une démonstration », oui il y a des démonstrations de l’irrationalité et de la transcendance de pi.

D'accord. Merci pour vos réponses encore une fois éclairantes.

J'ai modifié mon document pour rajouter la méthode des trapèzes et corriger quelques petites choses.

Vous allez sans doute me rire au nez ; j'aimerais juste partager "ma formule"/"mon idée" sur Wikipédia (sans aucune forme de vantardise ou de prétention). Pensez-vous que se serait utile/intéressant ?

Cdt

Bonne nuit/matinée .

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Edité par ErwanMeunier 7 juillet 2018 à 1:56:11

Bien que ce soit vraiment super de t'amuser avec les maths en première en touchant à des notions intéressantes, la méthode que tu proposes n'est pas vraiment révolutionnaire et surtout peu efficace par rapport à d'autres méthodes de calcul de pi. Je ne pense donc pas qu'elle ait sa place sur Wikipédia.

Cependant, loin de moi l'idée de te décourager, continue comme ça, c'est une bonne démarche !

Pas de problème. Merci pour vos conseils et vos encouragements. Je marque le sujet comme résolu.

Bonne journée.

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Edité par ErwanMeunier 8 juillet 2018 à 13:44:45