Calcul du déterminant d'une matrice

Triangularisation

Sujet résolu

21 juillet 2017 à 19:13:14

Bonjour,

Sachant que le déterminant du matrice triangulaire est le produit des éléments diangonaux, j'ai eu dans l'idée d'utiliser cette méthode (triangulariser la matrice) pour calculer le déterminant se cette dernière : \[ \begin{pmatrix} 5 & 4 & 2 & 1\\ 2 & 3 & 1 & -2\\ -5 & -7 & -3 & 9\\ 1 & -2 & -1 & 4\end{pmatrix}\]

Si je note c1 , c2 , c3 et c4 les colonnes de ma matrice

En faisant c1->c1+c3, c2 -> c2 - 2c3, c3-> 4c3+c4, j'obtiens :

\[ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 9 & 1\\ 3 & 1 & 2 & -2\\ -8 & -1 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}\]

Puis en faisant

C1 -> c1 - 8c2, c2 -> -3c2 + c3 j'obtiens

\[ \begin{pmatrix}7 & 0 & 9 & 1\\ -5 & -1 & 2 & -2\\ 0 & 0 & -3 & 9\\ 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix}\]

Et pour finir, je fais disparaître le 5 de la deuxième ligne en faisant c1 -> c1-5c2

Le problème c'est que le produit des éléments diagonaux me donne ici 84, alors que le déterminant calculer par la formule courante donne 38. J'aimerais que vous m'aidiez à voir où j'ai fauté.

Aussi, le déterminant change bien de signe après un nombre impaire de permutations de lignes ou de colonnes?

Toute matrice carré peut-elle être triangularisé ?

Merci d'avance

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Edité par Dr_strange 22 juillet 2017 à 14:27:08

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robun

21 juillet 2017 à 21:50:56

Bonjour ! Tu as une drôle de façon d'utiliser la méthode du pivot...

Dr_strange a écrit:

En faisant c1->c1+c3, c2 -> c2 - 2c3, c3-> 4c3+c4, j'obtiens :

À ce stade, tu as choisi C3 comme colonne du pivot, donc tu ne devrais pas modifier C3, par contre tu dois faire C4 --> C4 + 4 C3.

Et je pourrais faire la même remarque pour l'étape suivante.

Maintenant, est-ce que c'est cette façon « tordue » d'appliquer le pivot qui génère forcément une erreur, ou bien y a-t-il eu une erreur de calcul, je ne sais pas.

J'ai fait le calcul avec la « vraie » méthode du pivot et je trouve bien 38.

1) Trois étapes du pivot :

\[ \left| \begin{array}{cccc} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -2 \\ -5 & -7 & -3 & 9 \\ 1 & -2 & (-1) & 4 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} 7 & 0 & 2 & 9 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \\ -8 & -1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| \]

Le pivot choisi est le nombre mis entre parenthèse, donc C3 doit rester inchangé. J'ai donc fait :

C1 → C1 + C3, C2 → C2 - 2 C3 et C4 → C4 + 4 C3.

Puis :

\[ \left| \begin{array}{cccc} 7 & 0 & 2 & 9 \\ 3 & (1) & 1 & 2 \\ -8 & -1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} 7 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -5 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| \]

C3 (ancien pivot) et C2 (nouveau pivot) sont inchangés, et :

C1 → C1 - 3 C2, C4 → C4 - 2 C2.

Puis :

\[ \left| \begin{array}{cccc} 7 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -5 & -1 & -3 & (-1) \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cccc} -38 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| \]

Comme on a utilisé, dans cet ordre, C3, C2, C4 puis C1 (façon de parler : le dernier pivot est -38), je vais permuter ces colonnes de façon à les avoir dans l'ordre suivant : C1-C4-C2-C3. Donc je fais deux permutations : j'échange C2 et C3 pour avoir C1-C3-C2-C4, puis C3 et C4 pour avoir C1-C4-C2-C3. Il y a deux permutations, donc on multiplie le déterminant par (-1)² :

\[ \left| \begin{array}{cccc} -38 & 0 & 2 & 9 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right| = (-1)^2 \left| \begin{array}{cccc} -38 & 9 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right| \]

Pour que ce soit triangulaire, il reste à permuter L2 et L3. Une permutation, donc on multiplie par (-1)¹ :

\[ \left| \begin{array}{cccc} -38 & 9 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right| = - \left| \begin{array}{cccc} -38 & 9 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right| = 38. \]

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Edité par robun 21 juillet 2017 à 22:07:45

Dr_strange

22 juillet 2017 à 14:36:00

Bonjour Robin,

Merci pour votre intervention. J'avais besoin d'un petit rappel sur la bonne utilisation du pivôt .

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melepe

23 juillet 2017 à 12:47:39

> Maintenant, est-ce que c'est cette façon « tordue » d'appliquer le pivot qui génère forcément une erreur, ou bien y a-t-il eu une erreur de calcul, je ne sais pas.

Je confirme, ce genre de manipulation modifie la valeur du déterminant. Tu peux faire X -> X + aY mais en aucun cas X -> aX + bY. (On comprend facilement pourquoi quand on considère que le déterminant est une fonction multilinéaire alternée sur les vecteurs colonne)

Dr_strange

23 juillet 2017 à 23:02:21

Bonsoir melepe.

Je me disais bien que l'erreur venait de là. J'avais juste besoin de l'entendre dire par quelques personnes de plus expérimentés.

Merci et bonne soirée.

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