Bonjour, dans le cadre d'un projet je voudrais calculer le moment d'inertie de 2 solides liées afin de calculer le couple nécessaire pour mettre ces solides en rotation.

Les calculs étant compliqué pour mon niveau (les solide n'est pas symétrique par apport a l'axe, voir screen. Le solide est légèrement creusé pour que l'axe rentre bien dedans, c'est pour cela que vous trouverez surement des valeurs différentes si vous les calculer vous-même. De plus le cylindre en dessous de l'axe qui maintient la plateforme est censée être le moteur) mon professeur m'a conseillé de faire l'étude sur solidwork pour avoir la matrice d'inertie du solide.

Je sais que le couple nécessaire est C=I*𝛚. Avec C le couple, I le moment d'inertie et 𝛚 l'accélération angulaire.

Dans mon cas 𝛚 est très faible puisque le but du projet est de crée un tracker qui suit le soleil, je n'ai pas fixé de valeur car je n'ai aucune idée de ce qu'elle devrait avoir.

Par contre dans le calcul il me faut le moment d'inertie, mais je ne sais pas lequel choisir parmi les 9 que me donne SolidWork.

De plus il faut qu'il y ai des frottement suffisant pour que l'inertie de mon solide ne l’entraîne pas trop loin et dépasse la position angulaire demandée (précision demandée a 2° max). Ce qui va faire augmenter le couple, sauf que je ne sais pas non plus comment je calcul cette inertie et ce couple, je l’additionne a celui plus haut ?

Merci de d'avance pour l'aide.

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Edité par XxxXxx8 17 mars 2018 à 14:34:31

L'inertie se caractérise par un tenseur symétrique \([I]\) d'ordre 2  ( 9 composantes) que on peut mettre sous forme d'une  matrice symétrique 3x3, telle qu'elle est indiquée dans le document, et  calculé dans un repère bien précis .( dans le document on donne ce tenseur dans deux repères différents dont un d'origine  au centre de gravité du système)

Les valeurs de \(I\) dépendent évidemment du repère et de son origine.  La valeur de l'inertie que tu dois utiliser n'est donc pas nécessairement une des 9 valeurs de cette matrice mais est, dans le cas général, une combinaison de ces valeurs dépendant de la position   l'axe de rotation dans le repère de calcul. Si on caractérise la direction par un vecteur directeur unité de composantes notées \((a,b,c)\) dans le repère de calcul.
On montre que l'inertie par rapport un  axe passant par l'origine  est obtenu par le produit matriciel \((a,b,c)[I ](a,b,c)^t\). En développant, on aura dans le cas le plus général l'expression de l'inertie autour de l'axe considéré donné par:

\( I_{\Delta}=a^2 I_{xx}+ b^2 I_{yy}+ c^2 I_{zz}+2ab I_{xy}+2bc I_{yz}+ 2acI_{xz}\) 

Attention,  si l'axe ne passe pas par l'origine du repère, on utilise ensuite les formules classiques reliant les moments d'inertie autour de deux axes parallèles.

Cela se simplifie évidemment grandement si l'axe a une  direction privilégiée et ce n'est que dans ces cas où une valeur de la matrice correspondra à la valeur à utiliser ( l'inertie sera par exemple \(I_{zz}\) si l'axe de rotation est Oz  avec \((a,b,c)=(0,0,1)\)).

Donc en conclusion, le calcul  sera plus ou moins simple selon la position de l'axe de rotation du moteur dans le repère où est effectué le calcul des inerties.

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Edité par Sennacherib 17 mars 2018 à 20:08:35

D'accord je pense avoir compris,

Dans ce cas si mon moteur est la pièce cylindrique tout en bas, et qu'il tourne uniquement par apport a l'axe Y, le  moment d'inertie de chacune de mes 2 pièces serait égal à b²Iyy.

Cela ne pose t-il pas un problème que ma plateforme contrairement au cylindre ne soit pas symétrique par apport à l'axe de rotation ?

Ces calculs me permettent de définir le moment d'inertie que mon moteur doit combler pour démarrer, c'est bien ça ?

Mais qu'en est-il de l'inertie que mon solide aura et qui va l'emmener plus loin que la position angulaire donner initialement à mon servo-moteur ?

Ps: vous avez mis : "L'inertie se caractérise par un tenseur symétrique[I] d'ordre 2" Ce ne serait pas plutôt d'ordre 3 ?

XxxXxx8 a écrit:

Dans ce cas si mon moteur est la pièce cylindrique tout en bas, et qu'il tourne uniquement par apport a l'axe Y, le  moment d'inertie de chacune de mes 2 pièces serait égal à b²Iyy.

j'ai donné les principes mais j'avoue que   les indictions de la figure, lorsque on ne connait pas le problème, ne sont pas d'une totale limpidité, avec des repères en rouge et en bleu dessinés un peu partout et des calculs dont on a l'impression que certains ne concernent que la plaque et d'autre l'ensemble du système.(...et c'est quoi ce \(b^2\)?)

  Tout ce que je peux dire c'est que l'inertie à considérer sera bien  \(I_{yy}\) si I est la matrice d'inertie de l'ensemble du système calculé dans un repère où l'axe Oy est confondu avec  l'axe du moteur ( dont je comprends que c'est l'axe du cylindre).

XxxXxx8 a écrit:

Cela ne pose t-il pas un problème que ma plateforme contrairement au cylindre ne soit pas symétrique par apport à l'axe de rotation ?

  Si la matrice I est bien la matrice d'inertie de l'ensemble du système (plateforme+cylindre+moteur) , la valeur de \(I_{yy}\) tient compte du désaxage de la plateforme. Lorsque elle tourne \(I_{yy}\) restera contant à condition que la plateforme n'ait pas d'autres degrés de liberté, c'est à dire que la distance de chaque point de la plateforme à l'axe de rotation reste constante.  

XxxXxx8 a écrit:

Ps: vous avez mis : "L'inertie se caractérise par un tenseur symétrique[I] d'ordre 2" Ce ne serait pas plutôt d'ordre 3 ?

Non!  Sans rentrer dans les détails, un tenseur est une grandeur dont l'ordre correspond au nombre d'indice chaque indice variant de 1 à \(n\)  dimension   de l'espace . ( ici évidemment \(n=3\).
Si \(r\) est l'ordre du tenseur , il est caractérisé par \(n^r\) composantes dépendant de la base de calcul .
Formellemnt, un scalaire  est considéré comme un tenseur d'ordre \(r=0\), donc un scalaire a \( n^0=1\) composante ...sans surprise.
Un vecteur est un tenseur d'ordre \(r=1\)  caractérisé par un indice et \(n\) composantes.

Un tenseur d'ordre 2 a \(n^2\) composantes. D'où pour \(n=3\), les neuf  composantes du tenseur d'inertie. (*)

Si le tenseur était un tenseur d'ordre 3  , il aurait   27 composantes etc ... !

On peut définir mathématiquement des tenseurs d'ordre quelconque .

(*) l'ordre (2) peut introduire une confusion car on a l'habitude de manipuler, pour des raisons pratiques, un tel  tenseur sous forme de matrice. Mais l'algébre tensorielle et les régles de transformations  ne sont pas celles des matrices représentant une application linéaire par exemple.

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Edité par Sennacherib 18 mars 2018 à 19:40:40

En effet, avec toute ces flèches ce n'est pas très compréhensible, mais vous aviez vu juste quand a repère.

Pour ce qui est du b², j'ai fait une erreur de compréhension, je n'aurai pas du l'écrire, désolé de l'erreur.

Je vous remercie pour les précision, je pensais que les torseurs fonctionnait comme les matrices, mais suite a vous explication je vois bien que ce n'est pas le cas.