Bonjour à tous,

J'aimerais réussir à calculer (en fonction de n) la somme (de t=0 à n-2) des membres (6^t)/(n-t-2)!.

Peut être y a t-il un lien avec des séries exponentielles, mais je n'arrive pas à trouver le résultat (en fonction de n).

Quelqu'un saurait-il comment faire?

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Edité par PierrePetitjean 10 avril 2021 à 18:38:09

A mon avis, il n'y a pas de formule magique.

En calculant les premiers termes, et en écrivant les résultats sous forme de fraction, on trouve :

2 -> 1

3 -> 7

4 -> 85/2

5 -> 1531/6

6 -> 36745/24

7 -> 1102351/120

8 -> 3968437/720

Au dénominateur , on reconnaît facilement les factorielles. Au numérateur, on constate que N(n+1) = N(n)*6*(n-1)+1

Rigoureusement, si on fait des maths, il faut démontrer que ceci restera vrai pour toute valeur de n.

Mais on a apparement une formule de récurrence.

Est-ce qu'on peut calculer directement le résultat pour n=100 par exemple, directement, sans calculer toutes les valeurs intermédiaires ? Je ne vois pas.

Du coup, est-ce que cette formule par récurrence est plus utilisable que la formule initiale ? pas sûr.

Un ptit coup de wolfram alpha donne :

sum_(t=0)^(n - 2) 6^t/((n - t - 2)!) = (e^(1/6) E_(2 - n)(1/6))/(6 Γ(n - 1))

White Crow a écrit:

Un ptit coup de wolfram alpha donne :

sum_(t=0)^(n - 2) 6^t/((n - t - 2)!) = (e^(1/6) E_(2 - n)(1/6))/(6 Γ(n - 1))

Merci Tbc92 et WhiteCrow.

Je pense que je suis sensé trouver un entier. Tu pourrais me dire White Crow ce que signifie e(constante d'euler?) E et Γ?

Bah e c'est e … ln e = 1 …

Γ(n - 1) = (n-2)!, Γ est une généralisation de factorielle

Eᵢ est la fonction exponentielle intégrale (comme expliqué dans la légende)

Je pense que la relation récursive donnée par TBC92 est sans doute plus aisément manipulable.

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Edité par White Crow 10 avril 2021 à 23:57:51

Tu dis que tu es sensé trouver un entier ... 

Fais le calcul à la main pour n= 4 ou 5 , c'est facile (tu ne l'avais même pas fait ????) et tu verras que tu ne trouves pas un entier.

Le calcul que je propose était complètement à la portée d'un lycéen des années 1980. WhiteCrow propose des solutions du 21ème siècle.