Bonjour, nous réalisons nos TIPE cette année, et nous avons besoin de calculer la fréquence propre d'un bâtiment.

Nous recherchons quelqu'un capable de nous expliquer comment transposer les caractéristiques de la structure en matrices de masse, d'amortissement et de rigidité.

Puis quelqu'un comprenant la méthode de Ritz et la méthode des puissances inverses afin de calculer la fréquence propre de la structure.

Merci beaucoup

Salut,

commençons par le commencement. Vous n'allez pas pouvoir sortir les matrices aussi facilement : il va falloir passer par une méthode numérique d'approximation de la structure pour calculer les équations de l'élastodynamique de manière approchée, typiquement les éléments finis ou les différences finies, ce qui va également demander un maillage de vos bâtiments. Après, il "suffira" de mettre ces matrices dans un solveur aux valeurs propres pour trouver les fréquences propres et les déformations correspondantes.

Merci, mais justement j'aimerai savoir comment faire ses approximation. Et une fois celles-ci faites, comment les traduire en matrice.

Et qu'entendez-vous par "solveur aux valeurs propres" ?

Ce cours et celui-ci me semble être de bonnes introductions. Ils traitent de la méthode des éléments finis avec, entre autres, des applications à la mécanique. Ils semblent se limiter à des problèmes uni- et bidimensionnels, mais la plupart des développements se généralisent sans soucis en 3D (au prix d'un petit effort de recherche biblio de votre part). Vous y lirez notamment que le "résultat" de cette méthode d'approximation est un système linéaire à résoudre. Pour bien comprendre ce qui se passe, je suggère de faire une implémentation d'un petit problème de diffusion de la chaleur (voir les polys indiqués précédemment) en 1D. Par contre, faire un solveur complet en 2D et 3D est un peu plus chronophage. Dans ce cas, il existe des frameworks. J'en citerai deux qui sont gratuits, connus et qui me semblent être les plus simples d'utilisation :

 - Firedrake : en Python, successeur de FEniCS

 - FreeFEM : qui utilise un langage de script dédié avec une syntaxe proche du C++

Je pense que les deux incluent tous les outils dont vous être susceptibles d'avoir besoin pour votre étude.

Pour ce qui est de la dernière question, un solveur aux valeurs propres est un algorithme/outil qui calcule les valeurs propres et les vecteurs propres associés. Autrement dit, pour deux matrices \(A,B\) où \(B\) peut être l'identité, on recherche tous les couples valeur/vecteur \((\lambda_i, w_i)\) tels que

\[A\,w_i = \lambda_i\, B\,w_i\]

Ne l'implémentez pas vous-même. On en trouve dans quasiment tous les outils de calcul scientifique.