Bonjour,

J'ai hésité à poster ce sujet dans la section math, mais comme il est issu d'un cours apparenté à un cours de physique, je le poste ici.
Il concerne le calcul tensoriel, cette chose immonde mais tellement utile Je pense avoir les bases sur le sujet, mais là je suis face à un noubeau truc

Je vous poste l'exercice : Soit <math>\(F^{\mu \nu}\)</math> un tenseur antisymétrique en ses 2 indices défini sur une espace muni de la métrique de Minkoswki. Montrer que<math>\(F_{\mu}^{~\alpha}_{,\nu} F^{\nu}_{~\alpha} = - F_{\mu \alpha, \beta} F^{\alpha\beta}\)</math>

Problème : comment, si on définit F comme étant un tenseur à 2 indices, peut on noter par la suite <math>\(F_{\mu}^{~\alpha}_{,\nu}\)</math>, c'est à dire avec trois indices ?
(je ne demande pas que vous résolviez l'exercice, ça c'est pour moi ;-)

merci d'avance !

Euh, on ne passe pas d'un tenseur (1,1) à un tenseur (1,2) "comme ça". Des virgules dans les indices, je sais pas trop ce que ça voudrait dire aussi.
Y'a juste ça de marqué, rien de plus ? Ton tenseur <math>\(F_{\mu}^{~\alpha}_{,\nu}\)</math> n'est défini nulle part ?

Bonjour,
une possibilité?
Cette notation avec troisième indice -aprés une virgule- n'indique t-elle pas simplement une dérivation de votre tenseur à deux indices .avec sommation sur ce même indice en position contravariante dans l'autre tenseur du produit .

Bonjour,

En ce qui concerne l'indice après la virgule il s'agit de la dérivée partielle par rapport à la coordonée associée à cet indice:

<math>\({F_{\; \mu,\; \nu}^{\alpha} \equiv \partial_{\nu}F_{\; \mu}^{\alpha}\)</math>

La dérivation par rapport à un indice rajoute un indice au tenseur , par exemple:
<math>\(F_{\mu \alpha }=A_{\mu,\alpha}-A_{\alpha ,\mu}\)</math>
qui permet de passer d'un tenseur (0,1) à un tenseur (0,2)

Pour passer des composantes covariantes aux composantes contravariantes, il suffit de faire le produit contracté une fois par le tenseur métrique en composantes contravariantes.
Dans le cas du tenseur de Faraday c'est même expliqué dans ce lien.

à Horatius
c'est ce que j'ai dit hier....sans développer.

aaaah parfait =D merci Horatius !

Effectivement c'est beaucoup plus clair comme ça =) merci beaucoup !