En réfléchissant à calculer ln j'ai réalisé qu'elle était la fonction inverse de exp ce qui m'a permis d'écrire :

Ln(X)=w

Exp(w)=X.      

Exp(a)≈2,71^a

Avec internet :

Ln(bc)=ln(b)+ln(c)

Idem exp

donc pour calculer le logarithme népérien de X il faut trouver qu'elle puissance de exp donne X donc j'ai pensé à une racine mais la le problème :

P√o  P doit être entier se qui n'est pas le cas de exp(1)

o^1/P   ce qui revient à l'étape précédente donc comment calculer ceci ??

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Edité par JeanBombheur 6 décembre 2017 à 21:37:09

Tu cherches à brûler les étapes...  soit, essayons de t'aider.

Une des choses que tu sais peut-être déjà : x^(1/2), c'est racine de x. Et une autre chose que tu sais peut-être, c'est que  x^a * x^b, c'est x^(a+b).

Je ne te donne pas les démonstrations, j'en serais incapable.

Partant de là, on peut faire plein de calculs, et trouver plein de résultats. 

Par exemple 10^0.75, c'est 10^(3/4), c'est donc racine(racine(1000)). Et en fait, pour n'importe quel réel r, et n'importe quel nombre RATIONNEL q, ces 2 propriétés permettent de calculer r^q.

Mais il reste une petite étape à franchir, si x est un réel, mais pas un rationnel, que vaut r^x ?

En fait, à partir d'un réel x, on peut trouver 2 rationnels q1 et q2, très proches de x, aussi proches de x qu'on veut. Il se trouve que si q1 et q2 sont très proches l'un de l'autre, alors r^q1 et r^q2 vont être eux aussi très proches l'un de l'autre. 

Et on peut donc faire ce qu'on appelle un prolongement par continuïté. Et c'est ainsi qu'on va définir r^x, pour x irrationnel.

Fonction inverse =>
\(e^{ln(cheval)}=cheval\)
\(ln(e^{cheval})=cheval\)

Ce qui permet de faire assez facilement un encadrement.

Exemple :
\(e^{3} < 42 < e^{4}\)
\(ln(e^{3}) < ln(42) < ln(e^{4})\)
\(3<ln(42)<4\)
Déjà c'est cool !

Après, on peut continuer par dichotomie. (je teste le nombre au milieu de mon ensemble et j'ajuste en fonction du résultat)

\(e^{3.5} < 42 < e^{4} \)
\(e^{3.5} < 42 < e^{3.75} \)
\(e^{3.5} < 42 < e^{3.75} \)
\(e^{3.625} < 42 < e^{3.75} \)
\(e^{3.6875} < 42 < e^{3.75} \)

etc...
Ça fait pas mal de calcul, mais on se rapprochera vers le bon résultat.
Par l'algorithme de Newton, (approximation affine)
On arrive à un algo un peu plus rapide : \(U_{n+1}=U_n-1+\frac{a}{e^{U_n}}\)
En partant de U0 = 3
et en prenant a=42

On calcule assez vite à un bon résultat résultat !

U1=4.091056871450285
U2=3.793362042258588
U3=3.739192048047686
U4=3.737670776591673
U5=3.737669618284039
U6=3.737669618283368

je comprend ce que tu veux dire en présentent un encadrement pour calculer exp ,mais pas très exactement ,et ne répond pas a la demande ( calculer une puissance a exposent a virgule) quant a tbc ces formule  ne permette même pas de calculer ln  ( car 1/e^1 =0.36787944117).

Merci a vous 2 ,continuer a expliquer pour éclaircir votre réponse ainsi qu'a en proposer d'autre    

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Edité par JeanBombheur 12 décembre 2017 à 20:56:02

> je comprend ce que tu veux dire en présentent un encadrement pour calculer exp 

Pour calculer le logarithme.

> mais pas très exactement

Impossible de faire un calcul exact puisqu'il y a une infinité de décimales.

> calculer une puissance a virgule

Si on veut calculer x puissance a, on écrit : \( x^a = \exp(a \ln x) \). Donc il faut calculer un logarithme, puis une exponentielle.

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Edité par robun 7 décembre 2017 à 21:35:51

Pour t'aider, il faut que tu dises ce que tu sais, quel est ton niveau scolaire. on pourra compléter ce que tu sais, et adapter le discours.

Si tu es un collégien très curieux, ou un étudiant en L2 un peu en échec, le processus pédagogique n'est pas du tout le même.

Ceci dit, tu dis dans ton dernier message que 1/e = 0.36787944117

C'est certainement vrai, mais c'est une information totalement inutile. Pour calculer une fonction ln ou quoi que ce soit autour des log et des exponentielles, on n'a absolument pas besoin de passer par 1/e.

Quand tu donnes cet argument, c'est que tu crois avoir compris un truc (lequel, je ne sais pas), mais ce truc est totalement faux.

Je pense qu'il y a confusion entre fonction inverse et fonction réciproque.

je pensé pertinent que pour calculer une racine d'un décimal il serai convenable de trouver une puissance aillent un exposent entier m'ais j'ai compris mon erreur .

1^2=0,5√1  car 1/0,5=2 or 1/e =0.36787944117 n'est pas entier comme e^1 .

donc pour palier a ce problèmes en peux arrondir 3 mais cela serais encore moins exacte que l'encadrement deneuneutrinos

3√x est très approximativement ln(x) car 2,71≈3 a l'entier prés car √ n'est qu’utilisable avec des entier et qu' ln est la fonction inverse de exp donc ln(a)=e√a mais l'écriture n'est pas correcte (comme dit plus haut) et de plus n'est pas calculable car 1/e =0.36787944117 n'est pas entier comme e^1. 

Ce qui ne m'aide pas évidemment.

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Edité par JeanBombheur 10 décembre 2017 à 16:10:36

Rien compris ! Voici pourquoi :

> il serai convenable de trouver un puissance entier 

de trouver la puissance d'un entier ?

> 1^2=0,5√1

Non, 1^2 = 1 (même au collège on le sait !)

> or 1/e =0.36787944117 n'est pas entier comme e^1 .

e^1 n'est pas entier (il n'est même pas rationnel, et même pas algébrique !)

Du coup j'ai l'impression que tu t'embrouilles tout seul...

En tout cas, pour calculer la racine carrée d'un nombre décimal, il existe différentes techniques et c'est un sujet intéressant (un jour j'ai essayé d'apprendre une technique qu'on enseignait aux élèves d'il y a un siècle, avant l'invention des calculatrices, c'était compliqué... ).

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Edité par robun 10 décembre 2017 à 0:43:17

Non robun 

1^2=0,5√1 est correcte car 0,5√1=1 comme 1^2 .

Mais même si cela est faux car l'écriture 0,5√ n'est pas valide cela ne m'aide pas et je veut bien apprendre la technique dite ancestrale si elle permet de calculer la racine exp(1) d'un entier .

je me suis mal exprimer et expliquer ; ce que j'ai voulu dire par  "trouver une puissance entier" ces "trouver une puissance aillent un exposent entier"

je demande votre pardon , je suis dyslexique et para-lexique  

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Edité par JeanBombheur 10 décembre 2017 à 18:03:19

JeanBombheur a écrit:

Non robun 

1^2=0,5√1 est correcte car 0,5√1=1 comme 1^2 .

Mais même si cela été faux cela ne m'aide pas et je veut bien apprendre la technique dite ancestrale si elle permet de calculer la racine exp(1) d'un entier .

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Edité par JeanBombheur il y a 4 minutes

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Edité par QuantumOfsolace 10 décembre 2017 à 16:14:13

tu tapes "méthode extraction racine carrée"  sur un moteur de recherche, et tu auras la réponse.

Ceci-dit , quand tu écris  0,5√1,  tout le monde comprend 0.5  multiplié par √1.

Et donc tout le monde considère que l'égalité 1^2=0,5√1 est fausse.  Si pour toi, elle est vraie, faut expliquer. (en fait, faut pas, ça n'intéressera personne).

tbc92 a écrit:

Effectivement, c'était comme une division, mais on descendait les éléments 2 par 2.  J'ai appris cette technique au lycée, dans le cadre scolaire.

JeanBombheur a écrit:

En réfléchissant à calculer ln j'ai réalisé qu'elle était la fonction inverse de exp ce qui m'a permis d'écrire :    

Exp(a)≈2,71^a

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Edité par QuantumOfsolace 10 décembre 2017 à 19:04:01

@Robun

Est-ce que c'était au programme du bac ? Je ne pense pas. Je pense que j'ai dû apprendre cette technique en première, parce que j'avais un prof qui aimait bien les maths 'alternatives', et en Terminale, on était quand même plus focalisé sur le programme du bac.

tbc92 : OK.

Quand on voit les programmes actuels (qui évoquent l'utilisation de calculatrices, tableurs, qui parlent même de logiciel de calcul formel...) ça donne vraiment l'impression que c'est des maths du siècle dernier...

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Edité par robun 10 décembre 2017 à 22:22:02

Par contre, un truc qui était au programme du bac, c'était l'utilisation de la règle à calcul https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_%C3%A0_calcul

Efficace pour calculer les logarithmes, les exponentielles, les racines carrées/cubiques, et pour faire divisions et multiplication.

Quand tu as passé 20 ou 30 heures avec ce jouet dans les mains, ces opérations n'ont plus de secret pour toi.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8f/Slide_rule_example2_with_labels.svg/403px-Slide_rule_example2_with_labels.svg.png

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Edité par JeanBombheur 11 décembre 2017 à 19:24:48

On va remettre les choses à plat. 

J'ai un nombre a, positif. et un nombre b décimal. Par exemple a = 64, et b = 0.5. Je prends volontairement des nombres 'simples', mais ça marche aussi avec des nombres plus tordus.

Calculer la racine de a aillant l'exposant b : Cette phrase ne veut rien dire, on ne peut pas le faire.

Calculer 64 à la puissance 0.5 : on sait faire, et ça vaut 8 (tiens , coïncidence, c'est la racine carrée de 64)

Calculer 64 à la puissance 1/3 : on sait faire, et ça vaut 4 (tiens, coïncidence, c'est la racine cubique de 64)

Calculer 64 à la puissance 1.2345, on sait faire. Je ne sais pas faire le calcul de tête, donc je ne donne pas la valeur.

PS. Quand je parle de coïncidence... c'est bidon, ce ne sont pas des coïncidences. X à la puissance 1/n,  c'est la racine n-ième de X.

Maintenant, si on veut vraiment embrouiller les choses, on peut parler de racine avec un exposant décimal. On peut très bien dire que la racine 0.8 de X, c'est comme X à la puissance 1.25.  Et plus généralement la racine d-ième de X, c'est égal à X à la puissance 1/d.

Ca n'a aucun intérêt, ca embrouille les choses, mais ça correspond à ta demande.

je le sais ,je les dit plus haut*

mais fait sa pour 1/exp^1 sa donne quoi erreur de syntaxe car exp^1 n'est pas entier comme sont opposé .

et dans ton explication dit moi comment tu conte faire x puissance 1,25 ou racine 0,8 de x 

*( tout premier message: P√o  P doit être entier se qui n'est pas le cas de exp(1)

o^1/P   ce qui revient à l'étape précédente donc comment calculer ceci ?? )

racine P de o 

                               ou 

encore  a ce message :1^2=0,5√1  car 1/0,5=2 or 1/e =0.36787944117 n'est pas entier comme e^1 

ces écriture n'est pas valide car le symbole racine ne s'emplois qu'avec des nombres entiers  mais je veut dire racine 0,5 de 1 compris ?

conclusion sa ne m'aide toujours pas car e et 1/e sont  décimal   :[

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Edité par JeanBombheur 11 décembre 2017 à 21:08:37

Nombre décimal : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_décimal

1/5 est un décimal.

1/3 n'est pas un décimal.

\(e^1\) encore moins.

Une erreur de syntaxe est une erreur sur l'écriture de la formule (sa syntaxe)
exemple d'erreur de syntaxe : 5+*2

L'opposé , inverse d'un nombre : https://www.mathematiquesfaciles.com/nombres-relatifs-inverse-ou-oppose_2_13464.htm

\(x^{1.25} = x^1 * x^{0.25} = x\sqrt[4]{x}\)

et si le nombre ne peut pas s'écrire sous forme de fraction ?
\(x^{\sqrt{2}} \approx x^{1.4142} = x\sqrt[1000]{x^{4142}} \)

C'est une manière de faire et j'ai déjà proposé une meilleur façon d'obtenir une approximation.

Pour la racine carré, on utilise la suite de Babylone.
\(U_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( U_n+\frac{a}{U_n} \right )\)

Cette suite tend rapidement vers \(\sqrt{a}\)

Et de toute manière , le nombre décimal est en générale une approximation (sauf nombre entier et fraction avec des multiple de 2 et 5), le calcul sera une approximation.

La manière de les calculer est algorithmique.

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Edité par neuneutrinos 12 décembre 2017 à 16:00:27

>  dit moi comment tu conte faire x puissance 1,25 ou racine 0,8 de x 

La méthode générale est : \( x^a = \exp(a \ln x) \). On en a déjà parlé plus haut.

Pour ce que tu notes P√o, c'est donc : \( \sqrt[P]{o} = o^{1/P} = \exp{\left( \dfrac{1}{P}\ln o \right)} \).

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Edité par robun 12 décembre 2017 à 14:24:44

rodun le problème avec cette égaliser ces  que tu emplois  ln pour m'aider a calculer cette même fonction et que P ici n'est pas entier .

Et oui neuneutrinos il s'agit bien d'une erreur de syntaxe car racine ne peut pas être employé avec un nombre décimal (car évidament je prend un approximation de e ) .Sa serais comment employé 0 comme diviseur dans une  division tu vois le problème . 

on vas prendre plus simple pour comprendre :

comment calculer racine 1,1223344 de 2 sens employé  ln (car ces pour calculer cette fonction ) 

1/1,1223344=0.89100004419

merci d'avoir persévéré ces sympathique  

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Edité par JeanBombheur 12 décembre 2017 à 21:11:25

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Edité par edouard22 12 décembre 2017 à 23:19:02

Quand tu demandes « comment calculer ? », c'est dans le sens de : trouver une approximation ? Ou dans le sens de : trouver une formule ?

> comment calculer racine 1,25 de 2 sans employer ln

(J'ai mis 1,25 pour simplifier.) Pour le calcul exact, c'est : \( \sqrt[1,25]{2} = 2^{1/1,25} = 2^{0,8} = \exp(0,8 \ln 2). \)

Pour un calcul approché, on peut utiliser un développement en série. On sait que :

\[ \exp(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \]

Il faut donc calculer \( x = 0,8 \ln 2 \), et pour ça calculer \( \ln 2 \) (de façon approchée).

On peut utiliser :

\[ \ln(1+u) = u - \dfrac{u}{2} + \dfrac{u}{3} - \dfrac{u}{4} + \dfrac{u}{5} - \dfrac{u}{6} + \dfrac{u}{7} \cdots \]

d'où :

\[ \ln(2) = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} \cdots \]

mais ça converge très lentement.

Donc l'algorithme est :

─ calculer \( y = \ln 2  \) avec la série ci-dessus ;

─ on pose \( x = 0,8 y \) ;

─ calculer \( \exp(x) \) avec le premier développement.

Application :

/**********************************/
/* Calcul de la racine a-ème de b */
/* sqrt[a](b) = exp(ln b / a)     */
/**********************************/
 
// Attention : b doit être compris entre 0 et 2 car on utilise
// le développement en série de ln(1+u)
 
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
 
double logarithme(double b, int n)
// Calcul de ln(b) par une série de n termes
{
    double u = b - 1.0 ;    // b = 1 + u
    double res = 0.0 ;      // résultat provisoire
    double ui = -1.0 ;      // -(-1)^i u^i
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        ui *= -u ;
        res += ui / i ;
    }
    return res ;
}
 
double exponentielle(double y, int n)
// Calcul de exp(y) par une série de n termes
{
    double res = 1.0 ;      // résultat provisoire
    double t = 1.0 ;        // terme du développement
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        t *= y / i ;
        res += t ;
    }
    return res ;
}
 
int main(void)
{
    double a, b ;   // on calcule la racine a-ème de b
    int n1 ;        // nombre de termes dans la série du logarithme
    int n2 ;        // nombre de termes dans la série de l'exponentielle
    // Saisie des données
    printf("a  = ") ; scanf("%lf", &a) ;
    printf("b  = ") ; scanf("%lf", &b) ;
    printf("N1 = ") ; scanf("%d", &n1) ;
    printf("N2 = ") ; scanf("%d", &n2) ;
    // Calculs
    double lnb = logarithme(b, n1) ;
    printf("ln b = %.9lf\n", lnb) ;
    double y = lnb / a ;
    double x = exponentielle(y, n2) ;
    printf("exp(%.9lf) = %.9lf\n", y, x) ;
    // Fin
    return EXIT_SUCCESS ;
}

a  = 1.2
b  = 2
N1 = 100000000      {la série du logarithme converge lentement, d'où N1 grand}
N2 = 1000           {celle-ci converge beaucoup plus vite}
ln b = 0.693147176
exp(0.577622646) = 1.781797429

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Edité par robun 13 décembre 2017 à 3:44:17

Dans la solution proposé, il montre comment calculer ln en utilisant son écriture polynomiale (donc à base de somme, de multiplication).

@robun, il me semblait que le DSE de ln(1+x) ne convergait que sur ] -1 : 1 [; ?
Puisque \( ln(1+x) = \sum \frac{ (-u)^k }{k} \). On a une série alternée. et pour avoir la convergence, il faut que 
\( \frac{ u^k}{ k } \) soit décroissante ce qui n'est pas le cas pour u > 1. non ?  

edit : tu l'a dis dans le code
Apres, il y a une méthode que j'aimais bien pour calculer exp était d'utiliser une équation diff type y' = y et a utiliser une résolution numérique type newton

On doit pouvoir faire la même chose pour Ln; puisque \( \frac{ d(ln(1 + x))}{dx} = \frac{1}{ 1 + x} \) 
On peut calculer ln(1+x) en estimant l'air sous la courbe de 1/(1+x) =) 

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Edité par edouard22 13 décembre 2017 à 14:30:52