Franz, c'est vrai que le cercle que tu construis est trop petit. Tu travailles sur une boule à facettes quand tu fais ça et pour des cercles grands ça marche pas.

thc92, je me suis senti très con en te lisant

edit. Je t'ai mal lu mais si tes parenthèses étaient des coordonnées sphériques (rayon, lat, lon) ça ressemble pas mal à un carré sphérique. Ça marche qu'autour de l'équateur mais tu peux orienter ton repère comme tu veux, et effectivement ça ne pave pas la sphère.

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Edité par tabouretBleu 31 août 2017 à 0:34:15

> si tes parenthèses étaient des coordonnées sphériques (rayon, lat, lon) ça ressemble pas mal à un carré sphérique. 

Ah, ce n'était pas des coordonnées cartésiennes ? OK. Voyons ça sur un globe terrestre... Voilà. 1 radian, ça fait 57°. Donc :

A = (57° ouest, 57° nord) = quelque part au large du Labrador.

B = (57° est, 57° nord) = dans l'Oural (pas loin de Perm).

C = (57° ouest, 57° sud) = au sud des Malouines.

D = (57° est, 57° sud) = au sud des îles Crozet.

Non, ce n'est pas un carré puisque les distances AC et BD sont nettement plus longues que les distances AB et CD, ça se voit bien en plaçant les points sur le globe. En fait c'est normal : 1 radian de longitude, à la latitude de 1 radian, représente une longueur égale à seulement 0,540 fois celle que fait 1 radian de latitude (et la vraie longueur ‒ mesurée sur un grand cercle ‒ est forcément encore plus petite).

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Edité par robun 31 août 2017 à 1:57:41

Alors, c'est vrai que les latitudes ne sont pas des grands cercles, j'y ai repensé par la suite, mais c'est pas difficile de se convaincre que si c'étaient des grands cercles, tu pourrais faire un carré : les angles devraient être les mêmes et les côtés devraient être de même longueur si l'angle d'intersection des méridiens est le même (pas sûr de ça mais ça me semble naturel), et les côtés sont "parallèles" deux à deux.

(désolé d'avoir entretenu le hors sujet !)

Concernant les petits cercles arbitraires sur la sphère, est-ce qu'on en peut pas bidouiller en réorientant temporairement le repère pour que l'axe des latitudes soit parallèle au cercle que l'on veut tracer ?

C'est un sujet qui m'intéresse aussi pour faire la moyenne de données climatiques dans un certain rayon, et j'ai aussi des problèmes d'interpolation de données (que je fais pour l'instant salement sans tenir compte de la courbure), donc je suis le fil de discussion avec intérêt, dans tous les sens du terme

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Edité par tabouretBleu 31 août 2017 à 9:37:05

Mes points (10,1,1) étaient exprimés en coordonnées cartésiennes (x,y,z)

Je m'en doutais un peu mais il n'est définitivement pas pas sur la sphère ton carré. Au mieux il a des points/segments d'intersection, ou alors ta sphère a un rayon infini et son centre n'est pas à l'origine du repère.

tabouretBleu : sur ton dessin, ce n'est pas un carré mais un losange. Pour avoir un carré, il faut avoir les quatre angles droits.

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Je crois que j'ai une démonstration complète, cette fois.

Supposons qu'il existe ABCD carré sphérique (donc quatre côtés égaux et quatre angles droits). Les deux triangles ABC et CDA sont semblables : ils ont trois côtés égaux et un angle égal (l'angle droit). Donc les deux autres angles de chacun de ces deux triangles valent 45°. (J'ai pu démontrer l'égalité des deux autres angles en utilisant la formule des cosinus, au cas où l'argument des triangles semblables ne serait pas évident.)

Ainsi, on a exhibé deux triangles sphériques dont la somme des angles fait exactement 180°, ce qui est impossible sur une sphère. Conclusion : le carré sphérique n'existe pas.

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Edité par robun 31 août 2017 à 15:02:16

Je peux me tromper robun, mais il me semble que ce que tu me dis là n'est qu'une propriété et pas une définition. Le carré doit avoir 4 angles égaux (rectangle) et 4 cotés égaux (losange), et dans le plan, ça signifie que les angles sont droits. C'est quelque chose d’émergent et pas intrinsèque au carré. Ce que tu dis revient à dire que le triangle sphérique n'est pas un triangle parce que la somme de ses angles ne vaut pas 180°, alors que ce n'est pas la définition du triangle (une ligne brisée fermée constituée de 3 segments).

edit. de toute façon on sait qu'on ne peut pas convertir une sphère en plan et inversement en conservant à la fois les angles et les distances, donc si le carré est défini par les angles et les distances, c'est foutu, mais justement je ne pense pas que ce soit le cas.

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Edité par tabouretBleu 31 août 2017 à 15:13:33

Ah OK (et ton deuxième paragraphe me convainc). Si le carré doit juste avoir quatre angles égaux (en plus des côtés), alors la question est plutôt facile : ta figure représente en effet un carré sphérique, et les quatre points de tbc92 définissent eux aussi un carré sphèrique (l'égalité des côtés et des angles étant assurée par symétrie).