Bonjour :

Quelqu'un peut m'aider pour trouver la limite de cette fonction ? j'ai beaucoup cherché , et je suis resté bloquer devant cette limite pour des heures et des heures...





Et voilà ce que je cherche...Quelqu'un peut m'aider alors????


Cordialement
Merci d'avance...

Tu fais la somme des limites : la première c'est x, la deuxième aussi et la troisième -2x. Donc la limite c'est 0.

Plus formellement, tu dois utiliser l'astuce :

<math>\(a - b = \frac{a^2 - b^2}^{a+b}\)</math>

avec a = la somme des deux premiers termes et b = le troisième.

Citation : Pierroda

Tu fais la somme des limites : la première c'est x, la deuxième aussi et la troisième -2x.

Je ne suis pas d'accord, on ne peut pas dire que <math>\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x^2-x}=x\)</math>.
La limite, sauf erreur, c'est <math>\(+\infty\)</math>, on est donc bel et bien sur une indétermination. Oui, en termes d'équivalents, <math>\(\sqrt{x^2-x}\sim x\)</math>, mais les calculs par sommation d'équivalents sont généralement faux.
Ici, la limite est bien 0, on l'obtient en faisant un développement limité à l'ordre 1, ou en triturant les racines avec les quantités conjuguées.

Il a bien dit qu'il n'était pas formel ...

cetheph tu ne peux pas utiliser d'équivalence lorsque tu es face à une composé de 2 fonctions en locurence ici la composée de racine de x et de x² - x.

Il est préférable d'utiliser les développements limités usuels.

Sinon, tu factorises directement dans les racines, un exemple our te montrer :

<math>\(\sqrt{x^{2}+x}=\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x})}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}\)</math> avec <math>\(x>0\)</math>

Avec ça, la limite est beaucoup plus facile à calculer.


BTW, que viennent faire les développements limités pour une fonction aussi simple à traiter ? C'est un peu sortir un bazooka pour la brachycérophilie.

Citation : Lineas

Il est préférable d'utiliser les développements limités usuels.

Inutile, il suffit de montrer que <math>\(\lim_{\pm\infty}\sqrt{x^2+x}-x=\frac 12\)</math> ce qui est facile (multiplier par la partie conjuguée et simplifier par x la fraction obtenue). On en déduit que :<math>\(\lim_{+\infty}\sqrt{x^2-x}+x=\frac 12\)</math> et donc la limite demandée vaut <math>\(\frac 12 - \frac 12=0\)</math>.

Citation : ordiclic

Avec ça, la limite est beaucoup plus facile à calculer.

Tu es sûr ?

AMHA, l'OP est en 1ère S, donc les développements limités, exit.
La méthode de la factorisation est quand même assez habituelle.

Je reprends mon exemple :
<math>\(\begin{array}{lll}\sqrt{x^{2}+x} &=& \sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x})}\text{ avec } x>0\\&=& x\sqrt{1+\frac{1}{x}}\end{array}\)</math>

On a <math>\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0\)</math>

et <math>\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\)</math>

Donc <math>\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}}=1\)</math>

Donc <math>\(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x\sqrt{1+\frac{1}{x}}=+\infty\)</math> (par composée de limites).

Il reste toujours la forme indéterminée <math>\(+\infty +\infty -\infty\)</math> !

... Grmph, je n'avais pas vu ça. Dans ce cas, en effet, autant utiliser les expressions conjuguées, oui.

Exactement "candide" , j'ai trouvé enfin le résulta , et bien sur , la limite de cette fonction en +l'infini est 0.
Voilà :

Merci...




not : il manque un x à la 1ere ligne

Citation : Lineas

cetheph tu ne peux pas utiliser d'équivalence lorsque tu es face à une composé de 2 fonctions en locurence ici la composée de racine de x et de x² - x.

Il est préférable d'utiliser les développements limités usuels.

Je suis d'accord, mais on a la droit aux puissances dans les équivalents (constantes bien sûr, ici 1/2).