Je viens vers vous aujourd'hui pour présenter un petit problème plutôt marrant. Tout commence jeudi soir, à minuit, lorsque je reçois une notif facebook pour m'indiquer que j'ai l'anniversaire d'un de mes amis aujourd'hui. A étudier la notification de plus près, je suis assez surpris : j'ai 5 amis nés le même jour, pour seulement 500 amis Facebook. Si je pense à leur souhaiter demain, je devrais déjà me dédouaner d'une bonne part de mon travail de souhaitage d'anniversaire pour cette année. Mais tiens d'ailleurs, j'aurais combien de journées cette année où je devrais penser à souhaiter un bon anniversaire ?(en considérant que les dates d'anniversaire de mes amis sont aléatoires )
Pour traiter le problème de manière un peu plus générale, on considérera que le nombre de jour dans l'année est extensible, et que mon nombre d'amis Facebook peut prendre toutes les valeurs (voir même dépasser 9 milliards ). Il y aura donc n jours dans l'année, k amis.
Si on note \(N_k\) la variable aléatoire qui donne le nombre de dates différentes après k dates choisies, la première réponse que l'on voudrait apporter à notre question, c'est le nombre de jours moyens où on va devoir souhaiter un anniversaire. Ca tombe bien, ça se calcule assez facilement :
\(N_k\ = X_1 + X_2 + ... + X_n\), en notant \(X_i\) la variable qui vaut 1 si l'un de mes amis est né le i-ème jour de l'année, 0 sinon.
En effet toutes les variables \(X_i\) suivent la même loi : elles valent 0 si aucun ami n'est né ce jour là (proba = \((\frac{n-1}{n})^k\) ) et 1 sinon. On en déduit alors facilement \(E(X_i)\), puis \(E(N_k)\)
\(E(N_k) = n(1-(\frac{n-1}{n})^k)\)
C'est déjà un bon début, mais on aimerait en savoir plus, on aimerait trouver la loi générale de \(N_k\), pour voir un peu à quoi ressemble cette loi, et éventuellement la dessiner. Mais c'est un peu plus complexe, et c'est pour ça que j'ai besoin de vous :)
J'ai déjà au moins une méthode numérique pour répondre à la question, qui se base sur une relation de récurrence obtenue en partitionnant l'univers selon les évènements \((N_{k-1} = j)\). Il n'est possible que \(N_k\) vaille i que si \(N_{k-1}\) vaut i ou i -1
On a de plus que \(p_{1,i}\) = 1 si i = 1, et 0 pour toute autre valeur de i. Si informatiquement, cette suite récurrente donne très facilement une solution approchée, je ne suis pas sûr qu'elle puisse être résolue de manière exacte… Mais si quelqu'un connait une solution, je serai curieux qu'il la donne. En attendant, voilà les résultats python, pour la curisiosité (ici avec n = 365, k = 500)
Autre piste à explorer, par un dénombrement classique, mais j’ai essayé rapidement et ça m’a l’air bien compliqué :/ Si quelqu'un peut m'aider à avancer
EDIT : vérification des formules en cours et relecture
- Edité par gasasaa 16 novembre 2019 à 15:48:40
Vous n'auriez pas un ptit calcul à me montrer ? :D