Bonjour on m'a donné un problème avec cette équation( A^3 +B^3 = C^3) mais je n'arrive pas à la résoudre pourriez 'aidez s'il vous plait ?

Bonjour ! Est-ce que les inconnues sont A, B et C et sont forcément des nombres entiers ?

Si oui, c'est une application directe du grand théorème de Fermat.

Non ils ne sont pas forcément entier. Ils peuvent être décimale mais pas égale à 0

Bonjour

Comme A,B,C sont non nuls (suite au dernier propos du demandeur)

Il serait toutefois bien que le demandeur nous précise le choix suivant (je sais bien que son choix est le premier cas mais il serait bien qu'il le dise lui même et non pas qu'on le devine) :  

-Soit poser A,B,C dans le corps des réels R (dans ce cas il n'y aura pas toujours de solutions quand on se donne deux éléments réels parmi les trois A,B,C)

-Soit poser deux des trois éléments A,B,C sont réels et l'autre est complexe (dans ce cas il y aura toujours une solution quand on se donne deux éléments réels parmi les trois A,B,C et alors dans ce cas le troisième élément sera complexe avec éventuellement une partie imaginaire nulle)

-Soit poser A,B,C sont complexes (dans ce cas il y aura toujours une solution quand on se donne deux éléments complexes parmi les trois A,B,C  et alors dans ce cas le troisième élément sera complexe avec éventuellement une partie imaginaire nulle)

Le premier cas revient à résoudre dans le corps des réels une équation du troisième degré à coefficients réels

Le second cas  revient à résoudre dans le corps des complexes une équation du troisième degré à coefficients réels

Le troisième cas revient à résoudre dans le corps des complexes une équation du troisième degré à coefficients complexes

Si A, B et C sont réels, il y a une infinité de solutions.

Choisis un A et un B quelconques, et alors \( C = \sqrt[3]{A^3 + B^3} \).

Exemple 1 : A = 1, B = 2. Alors \( C = \sqrt[3]{1^3 + 2^3} = \sqrt[3]{9} \) qui vaut 2,0800838...

Exemple 2 : A = 1, B = -2. Alors \( C = \sqrt[3]{1^3 + (-2)^3} = \sqrt[3]{-7} \) qui vaut -1,912931...

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DominiqueSicilia : les puissances sont impaires donc il y a toujours des solutions réelles. De plus je ne crois pas qu'il soit question d'équation du troisième degré : on a trois inconnues, pas une seule. J'ai l'impression que tu compliques un peu trop...

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Edité par robun 6 avril 2020 à 23:00:29

Bonjour Robin : effectivement je me suis trompé 

il y a toujours au moins une solution réelle oui effectivement  si on se donne deux des trois réels A,B,C

(je ne corrige pas mon erreur je la laisse telle quelle dans mon message)  

dans le même temps A^3+B^3=C^3 revient à dire x^3+B^3-C^3=0

revient à dire 

A est une racine du polynôme ax^3+b+c avec

a=1,b=B^3,c=-C^3 les trois coefficients du polynôme dans lequel on se donne B et C

DominiqueSicilia a écrit:

A est une racine du polynôme ax^3+b+c avec

a=1,b=B^3,c=-C^3 les trois coefficients du polynôme dans lequel on se donne B et C

Non, deux coefficients : \( ax^3 + (b-c) \). Quand je disais que tu compliques un peu... De façon générale, quand on doit résoudre \( x^n + C = 0 \) avec n impair, pas besoin de s'embêter avec la théorie des équations du n_ème degré : \( x = \sqrt[n]{-C} \).

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Edité par robun 7 avril 2020 à 13:26:20

Bonjour,

Ce sujet fait suite à un autre sujet: https://openclassrooms.com/forum/sujet/brute-force-equaton-solver

L'OP a oublié de préciser deux choses: il est en 3ème (donc on oublie les complexes ) et l'énoncé est un peu plus étoffé que ça :

Soit ABC un triangle rectangle en A, existe-t-il un triangle ABC tel que AB^3 + AC^3 = BC^3?

On pose AB = a, AC = b et BC = c. On sait que a, b et c >= 0.

On trouve que dès lors qu'on a et b > 0, il n'existe pas de solution.

Une démonstration par l'absurde (en supposant qu'il existe un tel triangle) en partant du système d'équations/inéquation suivant permet de le montrer rapidement:

• c > a
• a^2 + b^2 = c^2
• a^3 + b^3 = c^3

Comme l'a fait remarqué Pascal (sur le sujet original), ce n'est probablement pas évident du tout à faire pour un collégien (mais c'est en cherchant qu'on apprend ).

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Edité par KoaTao 7 avril 2020 à 14:02:18

Effectivement Robun

J'ai aucune excuse, je ne sais pas pourquoi des fois je raconte ce genre de conneries (et en plus j'ai insisté)

Mais comment j'ai fait pour voir trois coefficients? J'ai vraiment la tête ailleurs des fois