Un contre exemple amusant a chercher :
Montrer que si une série de terme general positif <math>\(u_n\)</math> converge alors la série <math>\((nu_n)_n\)</math>
Ne tend pas forcemment vers 0

C'est marrant, il y a pas longtemps j'ai du démontrer que si Un était décroissante et que la série de terme général Un converge alors n*Un -> 0

Donc il faut trouver un terme général qui ne soit pas décroissant mais tel que la série converge encore

Il suffit de définir Un = 1/n si n est un carré et 1/n^2 sinon

On montre facilement que la série converge quoique ça ne soit pas tout à fait évident

Et la suite n*Un ne tend pas vers 0

Ok grille en 30 sec je vais arrêter les défis

Pas besoin de chercher si loin mais c'est l'idee
Un = 1/n si n est un carre et 0 sinon
La somme des Un vaut pi^2/6

Sinon en prenant Un=1/n^(3/2) ça marche aussi et c'est encore plus simple.

Citation : rom1504

Sinon en prenant Un=1/n^(3/2) ça marche aussi et c'est encore plus simple.

Ah ?
<math>\(nU_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\not \longrightarrow} 0\)</math> ?

Edit : Je retire la seconde partie de mon post, je n'avais pas vu qu'on voulait des suites positives.

Citation : Neoterranos

Citation : rom1504

Sinon en prenant Un=1/n^(3/2) ça marche aussi et c'est encore plus simple.

Ah ?
<math>\(nU_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \underset{n \to \infty}{\not \longrightarrow} 0\)</math> ?

L'énoncé est "Montrer que si une série de terme general positif u_n converge alors la série (nu_n)_n
Ne tend pas forcemment vers 0"
On doit trouver une série convergente de terme général Un tel que la série de terme général nUn ne converge pas vers 0. (nUn)n peut très bien tendre vers 0 quand même.

Edit : et pour montrer que mon exemple marche, c'est immédiat avec les séries de Riemann.

Edit 2 : ah oui d'accord, y a une erreur dans l'énoncé, il voulait dire suite (nUn)n, pas série,...

Je pense effectivement qu'il parlait de suite.
Je l'ai même pensé tellement fort que je l'ai décidé à sa place.

À voir si j'ai eu tort.