Bonsoir,

J'ai bientôt un test en mathématiques. Je suis en 2nde. Et le sujet du contrôle sera sûr les Statistiques ( Tout ce qui est niveau 2nde ) + Les inéquations. ( Savoir déterminer le signe, et résoudre => Tout ça en s'aidant d'un tableau de signe / Avec une justification quand je rempli le tableau de signe )

Donc, je voulais savoir, si ça ne vous dérangerais pas de "m'exercer" ? ( Je m’entraîne aussi en parallèle. )
Des calculs HARD, compliqués, le plus dur ( Mais dans mon niveau ) avec le plus de pièges possible. Pour qu'arrivé au test, je ne me face pas avoir comme un bleu


Merci d'avance,
Adam.

Oulà en seconde... je sais pu ce qui est facile ou pas lol,

Pour toi c'est quoi ça :

<math>\((2x-x^2) \geq 0\)</math>


EDIT : pour ce qui est des stats...peut pas t'aider ça fait longtemps que j'en ai pas fait...

En stats comme en inéquations, je vois mal comment mettre des pièges. L'inéquation de clades est peut-être l'exercice le plus compliqué qu'on va te demander.

Si je vois un peu plus compliquer avec des divisions, donc vérifier si on divise pas par 0, et inverser les < et >
OU rajouter des sinus, cosinus, exp, ln, ch, sh....je m'emporte

Voilà un petit exemple qui est du niveau seconde :

<math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math>

Salut,

Quand je parlais de "hard" c'est un truc ou je peu avoir un maximum de truc dedans. Divisions, pour valeurs interdites etc.
voici mes réponses, j'espère faire juste

<math>\((2x-x^2) \geq 0\)</math>
Et ben là, je sais pas quoi faire. Gros blanc. Avec le <math>\(x^2\)</math>...
Besoin d'aide

Ensuite :
<math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math>
La première chose qui me viens à l'esprit c'est la factorisation ( La 3ème identitée remarquable ? ) <math>\((a+b)(a-b)\)</math>
Et là, effectivement, je n'arrive également pas.
Dois-je dresser le tableau de signe avec d'un coté
<math>\(x^2 - 6x + 9\)</math> et de l'autre <math>\(64-16x^2\)</math> puis faire le Produit ?
Où je dois factoriser d'abord ? Et je ne vois absolument pas par quoi là...
En fait, c'est juste le début qui me pose TOUJOURS problème...

Tu peux remarquer que <math>\((x^2-6x+9) = (x-3)^2\)</math>.

Et que :



Pour le premier, factorise par <math>\(x\)</math>, tu trouves alors <math>\(x(2-x)>0\)</math>.


Voilà
Gregoire22

Ah oui mais non,
on travail pas avec les tableau de variation dans les inéquations...Juste les tableaux de signe...

Et pour le premier =>
Il faudra au final dresser un tableau de signe, et je devrais mettre x , ensuite 2 - x et ensuite le produit des deux ?

Pour la mienne, un indice factorise par x et traduit ce que veux dire <math>\(a \times b > 0\)</math>

Pour la deuxième, factorise déjà celle que tu peux avec ton identité remarquable.
Après c'est du niveau première (donc pas de discriminant ou de calcul des racine il me semble) donc on peut forcément factoriser par quelque chose de la forme (ax+b) où a et b sont des réel qui soit facile à trouver.

Prend le problème autrement au lieu de te dire par quoi on peut factoriser...cherche dans tes identités remarquables

Indice à regardé que après avoir bien réfléchi :


D'autres cas :

Parfois si tu vois pas tu cherches ce que l'on appel des racines évidente (en gros tu regarde si quand tu remplaces x par une valeur tu as 0 (attention essaye seulement avec ces valeur : -2, -1, 0, 1, 2 )
x^2-3x+2 ici 1-3+2=0 donc on peut factoriser par x-1 ( c'est x-(la racine))

Et la tu a : <math>\((x-1)(ax+b) = (x^2-3x+2)\)</math>

donc tu développes <math>\(ax^2 + bx -x -b = x^2 -3x +2\)</math>
tu identifies les coefs : <math>\(a = 1 , b-1 = -3 et -b=2\)</math>
Et on trouve que <math>\(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\)</math>

Mais demande a ton prof si c'est autorisé avant de le faire en DS

@grégoire22 ne donne pas les réponses tout de suite laisse le cogiter avant

Bah les "racines évidentes" je crois pas que j'ai vu ça. C'est de mon niveau ça ?

Si ça vous dérange pas, continuez de me donner quelques exemples, au bout d'un moment, je vais finir par y arriver

Citation : Adam0

Et pour le premier =>
Il faudra au final dresser un tableau de signe, et je devrais mettre x , ensuite 2 - x et ensuite le produit des deux ?

Le principe est là

Solution :


Non, les racines évidentes, c'est niveau première.

	<math>\(- \infty\)</math>	<math>\(0\)</math>	<math>\(2\)</math>	<math>\(+ \infty\)</math>
<math>\(2-x\)</math>	+	+	-	-
x	-	-	+	+
P	-	-	-	-

Ensuite faut rajouter les valeurs qui annulent... Mais j'arrive pas à le faire sur un tel tableau.
Je pensais pas qu'on pouvais mettre un unique "x" tout seul. c'était mon hésitation :s

Puis-je avoir un autre calcul ? x)

les valeurs pour lesquelles c'est égal à zéro, c'est 2 pour 2-x.

Autre inéquation :
<math>\(3x - 1 \leq x( x+3 )\)</math>

Bah 0 aussi non ? Faut pas foutre les 0 de partout ?


Sinon pour l'autre ( apparemment compliqué aussi ) je tente le coup :
Pas sûr du tout.
<math>\(3x - 1 \leq x( x+3 )\)</math>
La première chose qui me vint à l'esprit, c'est de faire passer <math>\(x(x+3)\)</math> à gauche. Donc je développe.
<math>\(3x-1 \leq x^2 + 3x\)</math>

<math>\(3x-1 -x^2 -3x \leq 0\)</math>
Bah là...
<math>\(-1 - x^2 \leq 0\)</math>
+3x - 3x = 0 vu qu'on simplifie.

Je suis un peu bloqué là.
ça deviens comme ça ?
<math>\(x(-1-x) \leq 0\)</math> En mettant x en facteur.


Puis on dresse le tableau :
Mais avant ça :

<math>\(x \leq 0\)</math> Justification numéro 1.

<math>\(-1 - x \leq 0\)</math>
<math>\(-x \leq 1\)</math>
<math>\(x \geq -1\)</math> Justification numéro 2.
Si j'ai juste... Alors :

	<math>\(- \infty\)</math>	<math>\(0\)</math>	<math>\(-1\)</math>	<math>\(+ \infty\)</math>
<math>\(-1-x\)</math>	-	-	-	+
x	-	-	+	+
P	+	+	-	+

Ai-je juste ?


EDIT : Je viens de voir pour l'ancien tableau il y a une erreur, dans P l'avant dernier en partant de la gauche est un + on s'est trompé plus en haut du tableau x)

Ah nn, attention, c'est pas possible de mettre <math>\(-1 - x^2 \leq 0\)</math> en facteur.

Règle : "a(b+c)" si on a "ab+ac". Or ici ça n'est pas le cas

Donc pour l'instant c'est faux

Je te met la solution, mais ne la regarde pas avant que l'on t'ai dit si ce que tu as fait est juste. Sinon, ça ne sert à rien



EDIT : Effectivement, j'avais pas fait attention, mais y'a un problème dans ton tableau de signe

Déjà il manque tes 0 dans le tableau de variation et 0<-1 ???? Petit problème
Ensuite en effet un petit problème de facteur

Après réfléchi sur qu'est ce qu'un carré et :

Ah oui, exact, c'est pas possible, un carré est toujours positif...
*réfléchi*

Oups trop tard^^ tu as déjà réfléchi

Au fait, je viens de refaire cette équation : <math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math>.
Voici la solution.
<math>\((x^2-6x+9)\)</math> est forcément positif car <math>\((x^2-6x+9) = (x-3)^2\)</math> et un carré est toujours positif.

<math>\((64-16x^2) \Leftrightarrow 8^2-(4x)^2\)</math>. Tu reconnais une identité remarquable.
Donc on a <math>\((64-16x^2) \Leftrightarrow (8-4x)(8+4x)\)</math>

Or on sait que <math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math> si <math>\((x^2-6x+9)>0\)</math> et <math>\((64-16x^2)>0\)</math> ou alors si <math>\((x^2-6x+9)<0\)</math> et <math>\((64-16x^2)<0\)</math>.
Or <math>\((x^2-6x+9)>0\)</math>.
Donc on doit avoir <math>\((x^2-6x+9)>0\)</math> et <math>\((64-16x^2)>0\)</math>.


Donc <math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math> si <math>\((8-4x) >0\)</math> et <math>\((8+4x)>0\)</math>
Donc x doit être strictement supérieur à 2 pour <math>\((8-4x)\)</math> et x doit être strictement supérieur à -2 pour <math>\((8+4x)\)</math>.

Donc <math>\(x>2\)</math>

J'ai pas compris là...
Il n'y as pas de tableau de signes à dresser ?
En classe on fini les exercices, où l'ont nous demande la résolution d'inéquation par :
S = ...
Mais là, je suis perdu... C'est pas tout à fait ce que l'ont fait.

<math>\(S=]2;+\infty[\)</math>

Qu'est-ce que tu comprends pas ?
J'ai essayé d'être explicite au max pourtant

Tu es perdu car il a fait le raisonnement sans le présenter sous forme de tableau. Essaye de comprendre, c'est le même raisonnement que les tableaux sauf que quand tu fais un tableau le raisonnement est cache. Si tu arrives a bien comprendre ce qu'il dit, les tableaux de signe auront beaucoup plus de signification.
Sinon, pour ce qui est de l'histoire de factoriser par x-racine, c'est au programme de 1eS et officiellement que pour le second degré. On en quasiment pas parle cette année (je suis en terminale)

Attention Gregoire, il te manque des solutions
le plus simple reste tout de même d'écrire :
f(x)=(x²-6x+9)(64-16x²) = (x-3)²(8-4x)(8+4x)

Une fois qu'on est là, le tableau de signe est très simple à tracer (le signe chaque facteur est très facile à trouver), et tu trouves que l'ensemble des solutions de f(x)>0 est :
<math>\(S=]-\infty;-2[ \cup ]2,3[\cup]3,\infty[\)</math>

Faire le raisonnement direct, c'est bien, mais attention, on a très vite fait "d'oublier" une partie des solutions.

Edit : si on considère f(x) > 0, 3 n'est pas solution ...

Euh, ça ne dérange personne que si on pose
<math>\(f(x) = (x^2 - 6x + 9)(64 - 16x^2)\)</math>,
<math>\(f(0) = 9\times 64 = 576 > 0\)</math>
ce qui est quand même évident à première vue, et que <math>\(0\)</math> ne soit dans aucune de vos solutions ?
Sinon, ça devrait donner :
<math>\(\begin{align} &(x^2 - 6x + 9)(64 - 16x^2) > 0 \\ \Leftrightarrow\; &\underbrace{(x-3)^2}_{\geq 0} (8-4x)(8+4x) > 0\\ \stackrel{(1)}{\Leftrightarrow} \;& (2-x)(2+x) > 0 ~\text{et}~ (x\neq 3)\\ \Leftrightarrow \;& ((2-x > 0~ \text{et}~ 2 + x > 0) ~\text{ou} ~(2 - x < 0~ \text{et}~ 2 + x < 0))~\text{et}~(x\neq 3)\\ \Leftrightarrow \;& ((x < 2~ \text{et}~ x > -2)~ \text{ou}~ \underbrace{(x > 2 ~\text{et}~ x < -2)}_{\text{impossible}})~\text{et}~(x\neq 3)\\ \Leftrightarrow \;& -2 < x < 2 \end{align}\)</math>
donc <math>\(S = ]-2; 2[\)</math>.
Pour le (1), j'ai enlevé <math>\((x-3)^2\)</math> mais étant donné qu'on veut que le résultat soit strictement supérieur à <math>\(0\)</math> j'ai rajouté la condition <math>\(x\neq 3\)</math>, et par la même occasion j'ai divisé le reste de l'inéquation par <math>\(4\)</math> pour simplifier.
Bon, là j'ai fait sans tableau de signe, mais si tu prends la forme <math>\((x-3)^2(2-x)(2+x)\)</math> tu devrais facilement retrouver la même chose avec un tableau.

Citation : gregoire22

Non, les racines évidentes, c'est niveau première.

Les racines évidentes c'est niveau rien du tout. Si on les appelle évidentes c'est qu'on a pas besoin d'un quelconque niveau en maths pour les voir : elles sautent aux yeux. Effectivement il faut avoir un peu "pratiquer" pour les voir, mais ça reste abordable par un élève de CM1.

Pour l'auteur du sujet : voir les racines évidentes te permettra de gagner du temps en évitant de dresser un tableau de signe, de faire tout un tas de calcul pénible qui ne rime à rien. Après, dans ton contrôle on veut peut-être que tu montres que tu sais faire sans racines évidentes et il faut que tu le saches, car il n'y a pas toujours de racines évidentes.

Si je te marque : x(x-2) = 0 il faut juste se rappeler qu'un produit est nul lorsqu'un de ses facteurs est nul.
Ici tu as deux facteurs : x et (x-2), ce qui revient à résoudre : x = 0 et x-2=0. Les racines évidentes sont donc 0 et 2. Avec un peu d'entrainement tu devrais les "voir" sans même te poser de question.

Si je te donne (x+1)(x-8)(x+0.5)=0 les racines sont -1, 8 et -1/2.
Tu peux appliquer ça aux inéquations évidemment.

@Hod Ah non, mais nous en mathématiques, on cherche pas à éviter les tableaux de signe, on nous force à les faire. Donc même si c'est possible de trouver la solution sans TABLEAU, bah faut quand même l'utiliser.


@Gregoire => L'intervalle que tu as cité est faux... Vu que sur le tableau y a des négatifs de partout...

Salut,

Je vois que mon inéquation a fait réagir. Je pense que c'est une des inéquations les plus compliqués que tu peux avoir car les identités remarquables doivent te sauter aux yeux, et c'est pas toujours évident en seconde.
J'étais en seconde l'année dernière (il n'y a pas si longtemps donc) donc je pense savoir ce que les profs attendent de toi d'un point de vue de la rédaction et des connaissances. Je te propose de t'expliquer pas à pas la démarche lorsque tu arrive devant une inéquation comme celle là :


<math>\((x^2-6x+9)(64-16x^2)>0\)</math>

Première chose à faire, c'est établir ton plan d'action pour la résoudre en prenant le temps de l'observer. Déjà, tu vois que tu dois trouver le signe d'un produit de deux facteurs. Tu regardes dans un premier temps si tu ne peux pas connaitre le signe de chacun des facteurs en les gardant tels quels, en l'occurrence ici tu ne peux pas. Il faudra donc, pour la résoudre, transformer l'inéquation en quelque chose que tu peux résoudre facilement avec les outils que tu possèdes.
En regardant attentivement, tu peux déjà supprimer l'idée de développer le produit membre à membre car tu remarques que tu te retrouveras avec des termes en <math>\(x^4\)</math> et qu'il y a peu de chance que tu saches le résoudre.
Il te reste donc l'idée de la factorisation. Il s'agit donc de transformer chacun des facteurs en un produit de facteurs.
Occupons nous du premier : <math>\(x^2-6x+9\)</math>. En troisième, on t'a appris que pour factoriser, on cherche le facteur commun. Ici, il y en pas. En troisième, on t'a également appris que si il n'y avait pas de facteurs commun, tu devais tenter d'identifier une identité remarquable. On a donc : <math>\(x^2-6x+9=(x-3)^2\)</math> (tu peux toujours développer le carré pour t'assurer que c'est vrai)
On peut donc à ce stade ci écrire l'inéquation d'en haut comme ceci : <math>\((x-3)^2(64-16x^2)>0\)</math>
Occupons nous à présent du deuxième facteur : <math>\(64-16x^2\)</math>. Il n'y a pas de facteurs communs donc on pense directement à essayer d'identifier une identité remarquable : <math>\(64-16x^2=8^2-(4x)^2\)</math> or <math>\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)</math> donc <math>\(64-16x^2=8^2-(4x)^2=(8-4x)(8+4x)\)</math>

Au final, l'inéquation à résoudre est <math>\((x-3)^2(8-4x)(8+4x)>0\)</math>
Pour le tableau de signe, je te laisse le faire mais n'hésite pas si tu as un doute.

Effectivement, je m'excuse, c'est fort possible que j'ai oublié des solutions
Désoler, j'aurai dû m'abstenir :/
Mais bon, le coeur y est

Ouèp. J'ai discuté avec ma prof de math, finalement le contrôle aura lieu uniquement sur les Statistiques. Un autre plus tard sera sur les inéquations. x)
Donc si on pouvais passer au stats...

Si t'en veux pour les inéquations, j'en ai pas mal des compliqués