Bonjour à tous,

j'ai un dm sur la convergence des suites (terminale S) et j'ai une question demandant de justifier que deux suites Un et Vn sont convergentes. On sait que Un est croissante et Vn est décroissante. On sait également que pour tout n entier naturel, Un <Vn.

On demande de prouver que Un et Vn sont convergentes. Je voulais procéder ainsi: je prouve que Un et Vn sont majorée et minorée respectivement et par définition si Un est croissante et majorée alors elle est convergente et il en va de même pour Vn (dans le sens inverse vu qu'elle est décroissante et minorée). Je voulais utiliser l'absurde:

On veut prouver que lim(Un) != +∞.

1: Si lim(Un)=+∞ par comparaison, comme Un<Vn, on a lim(Vn) =+∞.

2: Or Vn est décroissante, elle ne peut par définition pas tendre vers+∞.

1 et 2 sont contradictoires donc lim(Un) !=+∞ et Un majorée.

Cependant je ne sais si il est vrai de dire qu'une suite décroissante ne peut pas tendre vers +∞, ça me semble logique mais je voulais être sûr que ça l'est

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Edité par Grybouilli 6 octobre 2018 à 10:23:11

Aurais-tu les formules des suites ?

Pour ce qui est de la méthode pour montrer la convergence, c'est parfait. Mais avec la formule des suites, il se peut que l'on puisse déterminer une valeur l et l2 pour lesquelles Un < l et Vn > l2.

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Edité par MarineRuiz 6 octobre 2018 à 11:21:09

@MarineRuiz :

Il n'a pas les formules des suites, parce que l'exercice est 'général' : prenons 2 suites quelconques, mais qui vérifient telles et telles conditions, il faut prouver que   bla bla bla...

@Grybouilli : 

Tu as rappelé un théorème : toute suite croissante et majorée est convergente : très bien. C'est ce théorème qui va servir.

Mais la suite n'est pas bonne.  Par exemple, tu ''supposes'' que'une suite est soit convergente, soit elle a pour limite l'infini.  Et ce n'est pas vrai. Prenons par exemple la suite qui vaut alternativement +1 et -A, elle n'est pas convergente, et elle ne va pas vers l'infini.

Dans le titre de ton message, tu as mis 'démonstration par l'absurde'. Ca veut dire qu'on te demande de faire une démonstration par l'absurde ? Je n'y crois pas trop. 

On va faire une démonstration 'classique', par application du théorème que tu as rappelé au début : ici, pour démontrer que Un converge, il suffit de lui trouver un majorant. Et je te suggère de prouver que V0 est un majorant de la suite U. Puis idem en adaptant pour la suite V.

@MarineRuiz  et @tbc92 merci pour vos réponses.

En réalité j'ai des expressions pour Un et Vn simplement, il y a eu des questions avant celle que j'ai postée ici qui ont mené à montrer que :

-Un est strictement croissante sur N; Un ne peut donc pas être alternative

-Vn est strictement décroissante sur N

-Vn > Un strictement sur N

J'en ai déduit que comme Un est monotone, si sa limite n'est pas l'infini, alors c'est un réel et elle est donc majorée? De même pour Vn qui sera minorée.

J'ai choisi l'absurde parce que du coup ça fonctionne bien, mais ça fonctionne bien seulement si je suis sûr qu'une suite décroissante ne peut pas tendre vers +l'infini

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Edité par Grybouilli 6 octobre 2018 à 12:01:10

tbc92 a écrit:

Mais la suite n'est pas bonne.  Par exemple, tu ''supposes'' que'une suite est soit convergente, soit elle a pour limite l'infini.  Et ce n'est pas vrai. Prenons par exemple la suite qui vaut alternativement +1 et -A, elle n'est pas convergente, et elle ne va pas vers l'infini.

euh, ici la suite est supposée par hypothèse croissante (resp. décroissante), non? dans ce cas  ce qu'il suppose est parfaitement légitime:la suite est soit convergente soit tend vers l'infini( plus ou moins selon) et sa preuve me parait alors suffisante sinon rigoureusement rédigée.

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Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 12:09:44

Une suite décroissante ne peut pas tendre vers + l'infini : oui, c'est vrai. Mais je ne pense pas que tu puisses utiliser cette affirmation.  Et en tout cas, je ne pense pas que ce soit la méthode attendue par le prof.

Si j'ai bien compris, tu as déjà répondu à la question (en utilisant le coup des suites croissantes majorées et des suites décroissantes minorées − attention, il ne faut pas écrire « par définition » car c'est un théorème, pas une définition), mais tu voudrais essayer une autre technique, la démonstration par l'absurde, à titre d'entraînement, indépendamment de la résolution du D.M. C'est bien ça ?

Et si j'ai bien compris, tu comptes procéder ainsi : la suite (Un) est croissante, donc soit elle tend vers +∞, soit elle converge, et il reste à exclure le premier cas en supposant, par l'absurde, qu'elle tend vers +∞, ce qui doit mener à une contradiction.

OK, mais ça suppose vraie la propriété « une suite croissante peut soit tendre vers +∞, soit converger ». C'est dans le cours ?

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Remarque :

> J'en ai déduit que comme Un est monotone, si sa limite n'est pas l'infini, alors c'est un réel et elle est donc majorée?

Non, tu fais les choses à l'envers : tu présuppose que sa limite existe, tu affirmes qu'elle n'est pas infini, et tu en déduis que la suite est majorée. C'est le contraire qu'il faut faire : on le sait, que la suite est majorée, et ce qu'il faut démontrer, c'est que sa limite existe et est finie.

Donc il suffit d'écrire (c'est tout simple) : J'en ai déduit que comme Un est monotone et majorée, elle admet une limite (théorème de convergence des suites monotones).

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Edité par robun 6 octobre 2018 à 15:58:53

remarque de "détail" histoire de chercher la petite bête. Mais on doit préciser dans l'énoncé que on étudie les suites dans \(\mathbb{R}\)

En effet, l'existence d'une limite d'une suite croissante majorée (resp. d'uns suite décroissante minorée) repose sur la propriété de la borne supérieure \(\mathbb{R}\), que ne vérifie pas par exemple  l'ensemble des rationnels \(\mathbb{Q}\) où on construit des suites croissantes  majorées qui ne converge pas dans \(\mathbb{Q}\).

Donc si l'ensemble des \(u_n\) de \(\mathbb{R}\) admet un majorant, il admet une borne supérieure qui est le plus petit majorant de l'ensemble \((u_n)\) et on montre que  ce plus petit majorant est la limite de la suite.

Je ne connais pas les programmes mais je ne pense pas que ces notions soient vues en TS, donc comment démontre-t-on rigoureusement le théorème de la convergence d'une suite croissante majorée ( resp. décroissante minorée)  , ou bien  l'admet -on ? ce qui est peut être pourquoi dans le premier post  Grybouilli a parlé de définition et non de théorème ?

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Edité par Sennacherib 6 octobre 2018 à 18:47:34