Salut à tous :
Pourriez vous m'expliquer cet exo :
Résoudre dans R : 2cos4x - 1 = 0
J'ai cos4x = 1/2
Merci d'avance

Ce serait plus intéressant de trouver quelque chose sur la valeur de <math>\(x\)</math>, non ?

Déjà, est-ce que tu sais résoudre l'équation <math>\(\cos X = \frac{1}{2}\)</math> ?

Quel niveau ?

Oui :
<math>\(x = \frac{\pi}{3}\)</math>
ou
<math>\(x = -\frac{\pi}{3}\)</math>
=)

Tu es sûr ? Tu n'oublies pas des solutions ?

Par exemple, est-ce que <math>\(X = \frac{7\pi}{3} = 2\pi+\frac{\pi}{3}\)</math> est solution de <math>\(\cos X = \frac{1}{2}\)</math> ?

De manière plus générale, comment pourrais-tu exprimer toutes les solutions de cette équation ?

Une fois que tu sais résoudre <math>\(\cos X = \frac{1}{2}\)</math>, tu pourras étendre ça à <math>\(\cos (4x) = \frac{1}{2}\)</math>.

salut,
2cos4x - 1 = 0 => cos4x = 1/2
=> 4x = π/3 => x = π/12 et voila
ou =>4x = -π/3 => x = -π/12
quel niveau ?

Oui :
donc <math>\(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)</math>
La question c'est plus le niveau là, la fatigue.
Je me suis paniqué devant ce que j'avais jamais vu

Donc :
<math>\(cos(4x) = cos(4*(2k\pi + \frac{\pi}{3}))\)</math>

ou <math>\(- \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)</math>.

(Si je suis pénible, c'est que c'est important pour ne rater aucune solution ).

Donc en fait :

<math>\(\cos X = 0 \Leftrightarrow X = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{ ou } X = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\)</math>

En remplaçant <math>\(X\)</math> par <math>\(4x\)</math>, tu obtiens des équations faciles à résoudre. Il te restera forcément des <math>\(k\)</math> dans tes deux expressions finales, c'est normal : il y a une infinité de solutions .

phptml3 : évite de dire quelque chose de faux, ta première implication est juste (même si tu pourrais autant écrire une équivalence, vu qu'on veut résoudre l'équation), mais la suivante est fausse . En trigonométrie, toujours penser au modulo <math>\(2\pi\)</math>, sans quoi on perd beaucoup de choses au passage.


Pour l'édit de Victor01 : non, ce que tu as écrit à la fin est faux, on sent la fatigue . Quand je dis remplacer <math>\(X\)</math> par <math>\(4x\)</math>, c'est littéralement ce qu'il faut faire, ne commence à ajouter des termes à des endroits incongrus .

Eh bien, comme j'ai marqué :
<math>\(cos(4x) = cos(4*(2k\pi + \frac{\pi}{3})) = cos(4*(2k\pi - \frac{\pi}{3}))\)</math>
<math>\(x = 2k\pi + \frac{\pi}{3}\)</math>
<math>\(x = 2k\pi + -\frac{\pi}{3}\)</math>
Je crois que je m'enfonce

Non, ce n'est pas ça le raisonnement qu'il faut avoir : ici, tu ne calcules pas, tu souhaites résoudre une équation, trouver <math>\(x\)</math>.
Donc ne remplace pas <math>\(x\)</math>, garde-le jusqu'au bout.

(Si je t'ai demandé de remplacer <math>\(X\)</math> par <math>\(4x\)</math>, c'était simplement parce que l'équation que je t'ai proposée était la même, moyennant ce changement de variable.)

Le début de ce que tu devrais écrire est quelque chose comme :

<math>\(cos(4x) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi \text{ ou } \frac{\pi}{3}+2k\pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \ldots\)</math>

a oui, ok donc
<math>\(x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\)</math>
<math>\(x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\)</math>

Autant pour moi la faute Je vais dodo après
Je réfléchis plus

Si tu veux diviser par 4, fais-le des deux côtés (tu as écrit <math>\(4x\)</math> à gauche ), et surtout, très important : fais-le pour tous les termes, y compris <math>\(2k\pi\)</math> !

Y suis-je ? (mon édit)

Parfait .

Pour résumer :

<math>\(2\cos(4x)-1=0 \Leftrightarrow \cos(4x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \\ 4x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi \text{ ou } 4x = \frac{\pi}{3}+2k\pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \\ x = -\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2} \text{ ou } x = \frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)</math>

Parfait, je te remercie d'avoir aidé ma passoire de cerveau.
Bonne nuit, par contre : kpi/2, ça corresponse a quoi ?
J'aurais mis (2pi) mais (2pi) = 2kpi (dans l'idée ^^)

C'est-à-dire ça correspond à quoi ?

Si j'ai bien compris ce que tu voulais dire, tu pourrais également écrire la réponse comme ça :

<math>\(x \equiv -\frac{\pi}{12} \pmod{\frac{\pi}{2}} \text{ ou } x \equiv \frac{\pi}{12} \pmod{\frac{\pi}{2}}\)</math>

Ce serait aussi largement accepté de l'écrire comme ça plus simplement :

<math>\(x \equiv \pm\frac{\pi}{12} \pmod{\frac{\pi}{2}}\)</math>