Bonjour,
J'ai une courbe de Bézier de troisième degré, et je voudrais savoir comment
calculer "y3" (ordonnée de P3, le deuxième point de contrôle) pour que
cette courbe soit tangente au cercle "C" (voir schéma).

Ce que je connais :
   - les coordonnées du centre du cercle.
   - le rayon "R" du cercle.
   - les coordonnées de P1, P2, P4.
   - l'abscisse de P3.

Merci pour votre aide.

Nicolas 

 

Si tu connais le cercle (son centre et son rayon) et si tu connais x3, tu peux trouver 2 valeurs possibles pour y3 (en bas et en haut du cercle). Un petit Pythagore devrait nous donner cela.

Après, pour choisir entre le point du haut et le point du bas, sur ce schéma, c'est le point du bas. A toi de voir dans le cas général (peut être exploiter le signe y4-y2... )

...
Un p'tit Pythagore... ???
Les courbes de Bézier sont des courbes polynomiales paramétriques
qui utilisent notemment le polynôme de Bernstein. Elles s'écrivent sous la forme :


... je pense qu'un p'tit Pythagore va être un poil léger :-)

On a une courbe de Bézier... mais on a aussi un cercle

Donc y3 = yC + racine ( R² - (xC-x3)² )  ou bien y3 = yC - racine ( R² - (xC-x3)² ) 

Reste à choisir entre ces 2 solutions. Sur ton dessin, c'est évident que c'est la 2ème, mais dans le cas général, c'est certainement plus compliqué.

Edit : Bon, j'ai tout faux. Je pensais que tu cherchais le point P3 où la courbe était tangente au cercle

Edit 2 : tu as une fonction qui te donne P(t). Tu peux bâtir la fonction f(t) = Distance (P(t), C) ... ou encore, Distance au carré, pour éviter les embêtements avec les racines carrées.

Cette fonction est dérivable. Quand la courbe est tangente au cercle, c'est que la distance P(t) / C atteint un minimum. Et donc sa dérivée est nulle en ce point. Donc pour une certaine valeur de t , f(t)= R², et f'(t)= 0.

Ca va nous permettre de poser des équations et théoriquement, en déduire y3. Maintenant, ce n'est pas dit que ce soit simple à résoudre !

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Edité par tbc92 30 août 2017 à 3:19:55