Coucou !

Pour les curieux d'entre vous, alors que je lisais Paris au XXème siècle, j'ai ressenti une nécessité de m'interrompre pour faire des maths en lisant ceci :

On donne deux circonférences OO' : d'un point A pris sur O, on mène des tangentes à O' ; on joint les points de contact de ces tangentes : on mène la tangente en A à la circonférence O ; on demande le lieu du point d'intersection de cette tangente avec la corde des contacts dans la circonférence O'.

Vous pouvez vous amuser à faire la résolution. Pour ma part, j'ai simplifié le problème en posant C = le cercle unité, C' = le cercle de centre O'(d,0) et de rayon r. J'ai repéré le point A par l'angle orienté θ qu'il fait avec l'horizontale. En posant a=(d²-r²+1)/d, on obtient alors que le fameux point d'intersection a pour coordonnées : x=a-cos(θ), y=(1+cos²θ)/sin(θ) - a cot(θ).
Pour r et d fixé, le lieu des points d'intersections est donc une quartique, d'équation (1-(a-x)²)y²=(x²-ax+1)².

Conseil : tracez cette quartique en faisant varier a, vous allez voir, c'est magnifique de voir comme lorsque a est entre -2 et 2, la courbe "évite" le disque unité.

Je ne m'y connais pas beaucoup en courbes algébriques mais je suis convaincu qu'il y a des belles choses à tirer de cette courbe (appelons là courbe de Verne).

Ne trouvez-vous pas ça magnifique aussi ?

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Edité par Anonyme 23 avril 2015 à 21:22:55

En fouillant sur le net, on trouve plusieurs références au problème :

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.409.8384&rep=rep1&type=pdf
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/tokhniot/fng
http://users.skynet.be/cabri/cabri/jverne.htm
http://www.debart.fr/pdf/lieux_geometriques.pdf (10)
Un article de Tangente de 2008 (introuvable sur Internet) d'après le dernier lien.

Bonsoir,

tracé de la quartique en rouge, lieu du point M sous géogebra.

Tant que les  cercles   sont disjoints, la forme de la courbe reste assez identique lorsque leurs rayons varient.. 

ensuite, ce que devient la courbe lorsque les cercles se coupent

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Edité par Sennacherib 23 avril 2015 à 23:18:27

Oh ! Merci beaucoup pour ces belles illustrations !

Sinon, j'ai rédigé une preuve plutôt courte de l'équation de la quartique : http://ge.tt/api/1/files/4Jsdi4F2/0/blob?download

Comment GeoGebra détermine-t-il le lieu ? Fait-il une opération de calcul formel ou du calcul numérique ?

(Note : on peut aussi "recentrer" la courbe autour de 0 en posant x'=x-a, comme ça elle est définie sur ]-1,1[ quelle que soit la valeur de a, on obtient alors : (1−x²)y²=(x²+ax+1)². Un autre avantage de cette écriture est qu'on peut aisément isoler à la fois a et y. Notez que la tangente à cette courbe en 0 sur la branche supérieure est tout simplement y=ax+1)

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Edité par Anonyme 24 avril 2015 à 23:08:08

C'est numérique. Il y a une option formelle de Geogébra <EquationLieu>qui permet d'obtenir une équation implicite mais elle "cale" si c'est trop compliqué ( elle sort"non défini" ) et c'est le cas ici semble-t-il.

On peut aussi évidemment, si on a une équation ( paramétrique ou implicite polynomiale(*) ), tracer directement la courbe.

C'est ce que j'ai fait avec la courbe implicite que tu as donnée

edit

contrairement à ce que j'avais affiché précédemment dans ce post , la courbe que tu indiques est bien exacte et identique à celle de Géogebra trouvé en utilisant l'option <Lieu> et se superpose parfaitement  . J'avais fait une erreur de transposition en passant du rayon 1 de O au rayon de ma figure, que j'ai identifiée en regardant le détail du calcul de ton lien.

 (*) la version actuelle , sauf plus récente éventuelle que je ne connais pas, ne trace que des implicites polynomiales.

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Edité par Sennacherib 24 avril 2015 à 11:19:40