Bonjour,

Dans une fonction du genre f(x) = th(2 th(2x+3) + 2 th(2x-2)), fonction d'ailleurs extraite d'un réseau de neurones basique d'IA, je me demandais comment peut-on déterminer combien de valeur peut prendre x pour f(x) = y ?

Salut,

ça va dépendre de \(y\). Par exemple, si \(y\) est en dehors de l'intervalle \(]-1,1[\), ça sera 0. Sinon, ça sera exactement une puisque \(f\) est une composition de fonctions strictement croissantes (en y ajoutant le théorème des valeurs intermédiaires).

(Oups, je n'avais pas vu que f était strictement croissante. De plus elle est continue ?)

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Edité par robun 26 mai 2021 à 18:04:39

Comme Nozio.

Sauf que l'ensemble des y pour lesquels on peut trouver une solution est un tout petit peu plus plus petit que celui annoncé :

environ  ]-0.999329 , 0.999329[

Tout d'abord merci pour vos réponses .

Je viens de regarder une vidéo https://www.youtube.com/watch?v=ocepTsGVITs sur le TVI, et je vais reformuler ma question avec des termes plus  appropriés.

J'ai une fonction f(x) continue sur [-∞, ∞]. Combien de solution existe t-il pour f(x) = k ? sachant que -∞ < k < ∞.

Ca dépend de plein de choses. Comment peut-on travailler sur des réseaux de neurones, et poser une question de niveau collège ? 

Exemple 1 : la fonction f, c'est la fonction sinus .... à toi de répondre.

Exemple 2 : la fonction f, c'est la fonction définie par f(x)=x^2 ... à toi de répondre.

Exemple 3 : la fonction f, c'est la fonction définie par f(x)=x^3 ... à toi de répondre.

3 exemples,  3 fonctions continues, archi-simples... et 3 réponses totalement différentes.

Le critère important, ce n'est pas tellement que f soit continue, mais : f est elle monotone ou pas. Et il me semble que dans le domaine des réseaux de neurones, on travaille avec des fonctions monotones. 

Donc la question que tu dois te poser, c'est : 

1. Ma fonction f est elle monotone ou pas ?

2. Ma fonction f,  elle s'applique à des valeurs x allant de -infini à +infini, ok. Mais elle renvoie des valeurs dans quel intervalle ? (cf les 3 exemples ci-dessus).  

Quand tu as répondu à ces 2 questions, tu as tous les éléments pour répondre à ta question initiale.

Si on était sur un forum de maths, je dirais aussi :

On n'écrit pas  : j'ai une fonction f(x) continue ... mais : j'ai une fonction f continue ...

On n'écrit pas : continue sur [ -∞, +∞]  mais  continue sur ]-∞, +∞ [

En fait, peu importe que f soit continue et/ou monotone...

Je voudrais, de la même manière qui si je demande comment déterminer la pente de f(x) en fonction de x, on m'oriente vers la dérivée, il y aurait-il un moyen de créer une nouvelle fonction à partir de f pour connaitre le nombre de valeurs possible lorsque f(x) = k. Peut importe le contenue de f en fait.

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Edité par VictorCurie-Ismard 26 mai 2021 à 21:22:53

Eh bien, sous réserve que tu sois capable d'identifier tous les minima/extrema locaux, sous réserve de continuité entre ces extrema, il faut compter le nombre d'intervalles (éventuellement ouverts) que tu obtiens, et ensuite regarder les bornes de la fonction sur chacun de ces intervalles. Le nombre de solutions de ton équation correspond au nombre d'intervalles sur lesquels \(k\) est entre les bornes correspondantes de ta fonction.

Par contre, je ne pense pas que ce soit automatisable. A noter qu'il existe des algorithmes de recherche des 0 de fonctions (root finding algorithms) qui pourront peut-être t'aider dans une démarche numérique.

Résoudre une équation f(x) = k dans le cas général (et quand je dis « résoudre », c'est au sens du mathématicien : savoir s'il y a des solutions et si oui combien) forme un sous-ensemble extrêmement riche des maths. Je crains que pour répondre à ta question il ne faille recopier ici des centaines de livres.

D'après mon expérience, tu ne devrais pas t'intéresser au cas général (on ne peut rien dire en général) mais regarder chaque cas particulier. C'est en étudiant la fonction f qu'on peut connaître le nombre de solutions.