Bonjour, 

J'aimerai vos avis sur ce sujet ; il existe une méthode pour démontrer que la somme des entiers positifs serai égale à -1/12. Elle se fait par la régularisation zêta de la fonction zêta de Riemann. Cependant elle parait à tout le monde improbable car comment une somme d'entiers peut elle est négative ? De plus la série étant divergente, on ne sais pas comment se comporte réellement une série divergente à l'infini.

Pourtant la démonstration par la sommation par régularisation zêta et prolongement analytique est vrai ... J'aimerai donc avoir vos avis sur la validité de cette démonstration et (si elle est vrai) ce qu'elle entrainerai.

Bonjour, (désolé je vais dire des évidences et des trucs trop compliqués sans détailler. Je ne connais pas ton niveau, ce n'est donc pas évident d'adapter mon discours à toi. N'hésites pas à poser plein de questions, n'aies pas peur d'être largué, etc.)

Il faut je pense bien comprendre ce que c'est un prolongement analytique. Vu les mots que tu emploies, je doute que tu aies très bien compris.

Je te conseille la lecture de cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=dNpdMYB8pZs

L'idée est de dire : pour tout \(s\) dont la partie réelle est supérieure à 1, on définit la fonction zêta par la formule qui suit : 

Pour s=2, par exemple, cela nous donne la somme de tous les inverse de carrés \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} + ...\)
Cette somme converge, et il existe de multiples manière de démontrer qu'elle vaut \(\frac{\pi ^2}{6}\) 

Cette définition est valable pour les réels plus grand que 1, parce que la série associée converge.
Elle est valable aussi pour les complexes de partie réelle supérieure à 1 (ça se démontre un peu de la même manière, c'est pas tellement dur, faut juste être habitué avec les complexes).

Cependant, cette définition n'est pas valable, et ne le sera jamais, avec \(s\) plus petit que 1. En particulier, si on tente d'écrire avec \(s=-1\), on obtiens bien la somme de tous les entiers, mais cette somme diverge, vaut \(+ \infty\) et tout ça.

Bon, alors, pourquoi qu'on dit que cette somme vaut -1/12 alors ?
Eh bien, quand on étudie la fonction sur le domaine où elle est définie, on se rend compte qu'elle est holomorphe (ça correspond en gros à être dérivable pour les complexes).
Or être holomorphe est quelque chose d'assez restrictif. En particulier si deux fonctions holomorphes sont égales sur un sous-ensemble suffisamment grand (en pratique on va dire un ensemble qui contient une boule... De taille quelconque), eh bien elles sont égales partout.

Du coup, il est possible de définir une fonction sur \(\mathbb{C}\) tout entier (sauf 1) qui est égale à zêta sur l'ensemble des complexes de partie réelle supérieure à 1. Et de dire que c'est la seule qui soit à la fois holomorphe sur \(\mathbb{C}\) et qui soit égale à zêta sur cet ensemble.

Du coup, cette fonction, on décide de l'appeler zêta aussi.

Pour mieux comprendre ce qu'on fait, je t'invite à regarder ce graphe : 

Cette fonction est définie sur \( [-3,3] \) et pas au delà. Mais si on l'étudie un peu, on se dit "tiens, ça ressemble à la courbe de \(x^2 + x - 2\)", et du coup, si on se demande une valeur pour \(x=4\), on voudrait dire que ça vaut 18.
...Sauf que la fonction n'est pas définie pour \(x=4\). C'est juste qu'elle se prolonge naturellement en une fonction qui vaut 18 en 4.

Eh bien pour notre fonction zêta, c'est un peu pareil. La formule qui définit zêta n'est pas définie en -1. Cependant, il existe un unique prolongement de cette fonction qui soit holomorphe, et pour ce prolongement, la valeur en -1 vaut -1/12. 

Bon, et dans ce cas, pourquoi plein de gens se permettent d'écrire \(1+2+3+4+... = \frac{-1}{12}\) si c'est pas juste ? Eh bien, déjà, il faut savoir qu'il n'est pas juste d'écrire une somme infinie.

En effet, le symbole + représente une fonction de deux variables. On peut la définir automatiquement, et je ne vais pas rentrer dans les détails. Cependant, il faut bien comprendre que c'est une fonction qui a deux variables. Pas une infinité. 

Formellement, pour a, b, c des entiers (ou des réels) on ne peut pas écrire \(a + b + c\). On doit écrire \( (a+b) +c\) ou bien \(a + (b+c)\). De la même manière, \(a + b + c + d\) n'est pas bien défini. Cependant, on peut démontrer pour l'addition que peu importe les parenthèses qu'on met (et donc l'ordre avec lequel on additionne), le résultat sera le même. On dit que l'opération d'addition est associative. (La multiplication aussi l'est. Cependant, la soustraction ou la division ne le sont pas. On doit donc imposer un ordre naturel de lecture si l'on veut enlever les parenthèses.)

Bon, du coup, comme ça, on a défini \(a+b+c+...\) pour tout ensemble FINI d'entiers (ou de réels, ou de complexes). On ne l'a pas défini pour une infinité de terme...

Pour une infinité de terme, la manière canonique de le faire est de dire que par exemple une somme infinie est égale à la limite de ses sommes partielles, pour peu que cette limite soit proprement définie.

Mais on peut toujours définir la somme infinie différemment. Par exemple, on peut définir la sommation de Césaro. Ou encore d'autres sommes. Et l'une des manière de définir la somme infinie donne à la somme 1+2+3+4+... la valeur -1/12.

Et cette définition "plus large" de la somme infinie d'entier n'est pas si absurde que ça. En effet, en physique, quand on étudie l'effet Casimir, on peut tomber sur une somme de la forme 1+2+3+4+... Et quand on fait les mesures en pratiques, c'est comme si cette somme valait -1/12. 

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Edité par Grob' 8 mai 2016 à 21:13:50

Tout d'abord merci beaucoup de m'avoir répondu.

Le prolongement analytique ne m'est pas familier en effet mais grâce à votre explication je pense avoir compris le principe. 

Je pense avoir bien compris toutes les explications. Mais comment a-t-on démontré que la fonction zêta était holomorphe ? Je suis preneur d'une démonstration.

Grob' a écrit:

Cependant, il existe un unique prolongement de cette fonction qui soit holomorphe, et pour ce prolongement, la valeur en -1 vaut -1/12. 

Quel est ce prolongement ? Si j'ai bien compris, si deux fonctions sont holomorphes et qu'elle sont égales sur un sous ensemble donnés, alors elle sont égales sur leurs ensemble de définition ? Mais alors qu'elle est cette fonction holomorphe à zêta ? Et comment peut-on être sûr qu'elle sera égale à zêta sur un ensemble plus grand que l'ensemble de définition de zêta ? 

Merci encore de votre réponse 

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Edité par LapinouX9 9 mai 2016 à 18:31:40

Pour ce qui est de l'énergie de Casimir, je suis tombé sur ça :  avec L la distance entre 2 plaques conductrices.

On retrouve bien la somme infini. Si on remplace par -1/12 on a :  et ça a été prouvé expérimentalement apparemment ...

Juste un petit HS de ma part :

Grob' a écrit:

Et cette définition "plus large" de la somme infinie d'entier n'est pas si absurde que ça. En effet, en physique, quand on étudie l'effet Casimir, on peut tomber sur une somme de la forme 1+2+3+4+... Et quand on fait les mesures en pratiques, c'est comme si cette somme valait -1/12.

Ça, c'est vraiment le truc qui m'a toujours fasciné. A partir d'un truc qui semble irréalisable au premier abord, on obtient des résultats expérimentaux corrects. Dans une moindre mesure, c'est un peu ce qu'Euler avait fait justement pour montrer :

\[\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\]

De ce que j'ai compris, il s'est dit "Bon. Ca j'ai pas le droit de le faire. Mais ça à l'air de marcher vachement bien. Azy balec je le fais. Ah tiens ça marche !", et ça, c'est beau putain.

Grob' a écrit:

Mais on peut toujours définir la somme infinie différemment. Par exemple, on peut définir la sommation de Césaro. Ou encore d'autres sommes. Et l'une des manière de définir la somme infinie donne à la somme 1+2+3+4+... la valeur -1/12.

Et cette définition "plus large" de la somme infinie d'entier n'est pas si absurde que ça. En effet, en physique, quand on étudie l'effet Casimir, on peut tomber sur une somme de la forme 1+2+3+4+... Et quand on fait les mesures en pratiques, c'est comme si cette somme valait -1/12. 

Bonsoir

Premièrement, je crois que l'on peut féliciter Grob pour son explication détaillée, assez claire (mais il faut avoir un certain niveau pour comprendre), et assez complète (pour une première approche).

Je voudrais juste ajouter deux choses :
A) les sommations généralisées comme celles de Cézaro ou d'Abel aboutissent à 1+2+3+... = infini et non -1/12. Ces généralisations sont simples et sans danger si j'ose dire... 
Les généralisations de l'addition qui aboutissent à 1+2+3+... = -1/12 ne respectent plus certaines propriétés essentielles de la somme : par exemple , elles n'assurent plus du tout 0+x = x  ! Alors, personnellement, j'ai du mal à appeler cela des généralisations de l'addition.

B) Pour le coté physique (je ne suis pas physicien !), cela paraît plutôt peu convaincant, car en fait, il faut poser 1+2+3+.. = -1/12 pour valider certaines formules écrites sur l'effet Casimir. Les gens mettent la charrue avant les boeufs quand ils disent que la physique prouve 1+2+3+... = -1/12 (en l'état actuel de mes faibles connaissances en physique)

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Edité par Léon1789 9 mai 2016 à 18:03:53

BunshinKage a écrit:

Ça, c'est vraiment le truc qui m'a toujours fasciné. A partir d'un truc qui semble irréalisable au premier abord, on obtient des résultats expérimentaux corrects. 

Oui, mais c'est aussi un peu comme ceux qui ont de la chance de faire un raisonnement faux pour aboutir à une conclusion vraie. La véracité de la conclusion ne valide pas celle des étapes précédentes. L'effet Casimir (vrai car observé, disons) ne valide pas une preuve mathématique qui y aboutit, et ne prouve pas 1+2+3+.. = -1/12. 

Idem pour la théorie des cordes, laquelle prouverait cette égalité... En fait, si j'ai bien compris (et sans être du tout certain de moi...) il faudrait poser cette égalité pour que la théorie des cordes soit non-contradictoire (et au passage la nécessité d'être en dimension 26)

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Edité par Léon1789 9 mai 2016 à 18:34:30

Je me suis renseigné au sujet de l'effet Casimir et sur le réel sens de :  $$\sum_{k=1}^{\infty}k = \frac{-1}{12} $$ 

En effet, d'après l'effet Casimir, deux plaques conductrices dans le vide placées à une distance D l'une de l'autre s'attirent avec une force inférieure quand D augmente. Ainsi, si on ne considère qu'une dimension de l'espace, l'énergie E de point zéro du mode n ; on a la formule : $$E_n = \frac{1}{2} \hbar {c} \frac{n\pi}{D}$$

En sommant tous les modes, l'énergie en fonction de la distance E(D) s'exprime : $$E(D) = \frac{1}{2} \hbar {c} \frac{\pi}{D}(\sum n)$$ 

Si on en croit la théorie mathématique alors $$\sum n = \frac{-1}{12}$$

Cependant il est possible de voir les choses autrement ; si D augmente beaucoup, il y a toujours une énergie volumique associée aux modes du champs électromagnétique. Les modes n'étant plus quantifiés, on remplace $$\sum n$$ par $$\int_{0}^{+\infty} x \mathrm  dx$$

Maintenant si on fait la différence des deux situations (D grand ou D petit), on obtient : $$E(D) =  \frac{1}{2} \hbar {c} \frac{\pi}{D}(\sum n - \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx)$$

Arrivé là on est bloqué à cause du : $$\sum n - \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx$$

Cependant il existe une formule toute prête pour résoudre ce genre de problème ; c'est la formule d'Euler-MacLaurin ! Etant donné que je ne connais pas vraiment bien cette formule je vais passé les étapes de calcul où on applique cette formule. 

Le principal, c'est qu'à la fin on retrouve que $$\sum n - \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx = \frac{-1}{12}$$

La physique permet donc (en partie) de comprendre ce résultat.

Donc d'après ce que j'ai compris, la somme des entiers positifs est bien infinie mais elle est égale à $$\frac{-1}{12} {modulo} \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx$$

Sources : Science étonnante, Wikipédia et PDF de leçons donnés en licence.

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Edité par LapinouX9 9 mai 2016 à 20:58:27

LapinouX9 a écrit:

En sommant tous les modes (...)

Comment justifiez-vous que vous pouvez sommer une infinité de modes ? Quelle en est la définition mathématique ?

LapinouX9 a écrit:

Arrivé là on est bloqué à cause du : $$\sum n - \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx$$

Cependant il existe une formule toute prête pour résoudre ce genre de problème ; c'est la formule d'Euler-MacLaurin !

(...)

Le principal, c'est qu'à la fin on retrouve que $$\sum n - \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx = \frac{-1}{12}$$

La physique permet donc (en partie) de comprendre ce résultat.

En réalité la somme des entiers positifs est bien infinie mais elle est égale à $$\frac{-1}{12} {modulo} \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx$$

Quel sens donnez vous à l'expression << -1/12 modulo l' infini >> ?

A mon avis, la physique ne permet pas de comprendre un résultat mathématique obtenu par un raisonnement trop rapide. Faire attention aux formules prêtes à l'emploi, surtout quand elles traitent de l'infini... et même de plusieurs infinis à la fois comme $$1+2+3+... {\rm \ et\ } \int_{0}^{+\infty} x \mathrm dx$$

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Edité par Léon1789 10 mai 2016 à 11:35:21

Cutoff regularization et Ramanujan summation

à lire ici https://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF#Cutoff_regularization

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Edité par Léon1789 10 mai 2016 à 8:46:27

Donc si on récapitule on a :

$${1+2+3+4+5+...+n} = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

$$\forall n\in \mathbb N$$

Question 1 : Peut on écrire l'égalité (i) ?

$$(i)   \sum_{k=1}^{\infty} k = \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} k =  \lim_{n\to +\infty} \frac{n(n+1)}{2} $$

Sachant que (i) est une série divergente, peut on "mettre" une limite ?

Question 2 : Peut on écrire l'égalité (ii) ?

$$(ii)   \int_{1}^{+\infty} x \mathrm dx = \lim_{n\to +\infty} \int_{1}^{n} x \mathrm dx = \lim_{n\to +\infty} \frac{n^2-1}{2}$$

Peut on "mettre" une limite, et si oui, comment calculer cette intégrale ?

Question 3 : Peut on calculer (iii) ? Si oui, est-ce possible grâce à la formule d'Euler-MacLaurin ?

$$(iii)   \sum_{k=1}^{\infty} k - \int_{1}^{+\infty} x \mathrm dx$$

Question 4 : Est-il correcte d'écrire que (iii) = (I) ?

$$(I) \lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^{n} k - \int_{1}^{n} x \mathrm dx$$

Question 5 : Peut on déterminer la valeur de la somme des entiers positifs grâce à la fonction zêta de Riemann, prolongée ? Quelle est alors cette fonction ?

Zêta est une fonction holomorphique, donc si j'ai bien compris, il existe une autre fonction, holomorphe à zêta, qui la prolonge tel que : 

$$f(x) = \zeta (-1) = \sum_{k=1}^{\infty} k = \frac{-1}{12}$$

Merci de vos réponses

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Edité par LapinouX9 10 mai 2016 à 18:50:39

question 1 : oui, on peut se le permettre sans trop de risque car la série est divergente mais elle possède une limite, et la limite est +infini

question 2 : oui, on peut se le permettre sans trop de risque car l'intégrale est divergente mais elle possède une limite, et la limite est +infini (calculer l'intégrale, vous l'avez fait)

question 3 : j'aimerai bien voir un calcul explicite (mais la réponse est non si on utilise les définitions habituelles des séries et intégrales) 

question 4 : oui et non. Le problème est que (I) a un sens alors que (iii) n'en a pas (avec les définitions habituelles). On pourrait essayer de définir (iii) à l'aide de (I), mais dans ce cas ce qui est écrit en (iii) vaut +infini.

question 5 : avec la fonction zêta de Riemann, on peut définir une opération (que j'ai du mal à appeler "somme généralisée", car l'opération perd les propriétés élémentaires de l'addition...) qui envoie l'ensemble des entiers naturels sur -1/12 en partant du calcul d'une somme... C'est ce que tu (LapinouX9) as écrit $$\sum_{k=1}^\infty k^{-s} = \zeta(s)  \ \ pour \ \ s>1$$ et  $$f(-1) = -1/12$$ où f est un prolongement méromorphe (pas holomorphe à cause de 1) de zêta sur le plan complexe entier.

(attention : zeta(-1) n'est pas défini, zeta de Riemann est définie uniquement pour les nombres complexes de partie réelle >1)

C'est un énorme abus de notation d'écrire $$f(z) = \sum_{k=1}^\infty k^{-z} \ \  pour \ tout \ nombre \ complexe \ z$$ en particulier pour z=-1 !

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Edité par Léon1789 10 mai 2016 à 18:45:47

LapinouX9 a écrit:

Je pense avoir bien compris toutes les explications. Mais comment a-t-on démontré que la fonction zêta était holomorphe ? Je suis preneur d'une démonstration.

Grob' a écrit:

Cependant, il existe un unique prolongement de cette fonction qui soit holomorphe, et pour ce prolongement, la valeur en -1 vaut -1/12. 

Quel est ce prolongement ? Si j'ai bien compris, si deux fonctions sont holomorphes et qu'elle sont égales sur un sous ensemble donnés, alors elle sont égales sur leurs ensemble de définition ? Mais alors qu'elle est cette fonction holomorphe à zêta ? Et comment peut-on être sûr qu'elle sera égale à zêta sur un ensemble plus grand que l'ensemble de définition de zêta ? 

Ça fait un gros coup de vieux de se faire vouvoyer, mais soit x)

Je crois que tu n'as pas pris cette idée de "quelle fonction c'est" dans le bon sens.

L'idée, c'est que zêta, sur son ensemble de définition, est holomorphe.
...Et rien que cette propriété nous permet de la prolonger, en disant qu'il existe une unique fonction \(f\) holomorphe sur \(\mathbb{C}\) égale à zêta sur son ensemble de définition.
Cela est suffisant pour définir \(f\), qui est donc définie comme l'unique prolongement de zêta. Du coup, on décide d'appeler \(f\) par le même nom. (donc forcément, au début, ça amène des confusions).

Quand tu écris "Et comment peut-on être sûr qu'elle sera égale à zêta sur un ensemble plus grand que l'ensemble de définition de zêta ?" tu fais cette confusion. zêta (petite), elle n'est définie que pour les complexes de partie réelle supérieure à 1. Il y a une fonction, définie par les théorème d'existence et d'unicité du prolongement, qui est égale sur l'ensemble de définition de zêta (petite). On l’appelle zêta (grande), du coup. Mais ces deux fonctions ne sont pas égale en dehors de l'ensemble de définition de zêta-petite ! En effet, cette dernière n'est même pas définie dessus.

L'idée que j'ai donné sur l'égalité sur une boule (que tu as bien compris, si j'en réfère au fait que j'ai juste à répondre "oui" à ta première question), c'est ce qui permet simplement de se convaincre de l'unicité d'un prolongement. Pour l'existence, on parle de fonctions entières, on fait joujou, et je suis pas assez à l'aise sur le sujet pour l'expliquer simplement, mais c'est pas si dur que ça à comprendre. 

Comment démontrer que zêta est holomorphe ? On applique un théorème lié à la convergence de la série. L'idée est de dire que tous les \(s \mapsto \frac{1}{n^s}\) sont holomorphes (ce qui est en gros aussi dur que de dire que \(x \mapsto \frac{1}{3^x}\) est dérivable). Et après, la convergence de la somme est bien régulière et toute gentille, donc l'holomorphie passe à la limite.

Pour ce qui est de la somme de Cèsaro : tu as je crois assez bien compris. L'idée géniale qui est derrière est de dire que si une suite converge, alors la suite de ses moyennes converge, et vers la même limite !
Du coup, si \(1+1/2+1/4+...=2\), la suite est \(1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, 1+1/2+1/4+1/8\) et elle converge vers 2.
La suite des moyenne est \(1, \frac{1+ (1+1/2)}{2}, \frac{1+(1+1/2)+(1+1/2+1/4)}{3}, \frac{1+(1+1/2)+(1+1/2+1/4)+(1+1/2+1/4+1/8}{4} \) et elle converge aussi vers 2, du coup.
Donc si une série converge au sens usuel, alors elle converge aussi au sens de Cèsaro.
Cependant, il existe des séries qui ne convergent pas usuellement, mais qui convergent au sens de Cèsaro. Et là où usuellement \(1-1+1-1+1-1+...\) n'est pas défini, au sens de Cèsaro, c'est bien défini et ça vaut 1/2. (on a en quelque sorte régularisé les problèmes de saut).

Léon1789 a écrit:

A) les sommations généralisées comme celles de Cézaro ou d'Abel aboutissent à 1+2+3+... = infini et non -1/12. Ces généralisations sont simples et sans danger si j'ose dire... 
Les généralisations de l'addition qui aboutissent à 1+2+3+... = -1/12 ne respectent plus certaines propriétés essentielles de la somme : par exemple , elles n'assurent plus du tout 0+x = x  ! Alors, personnellement, j'ai du mal à appeler cela des généralisations de l'addition.

B) Pour le coté physique (je ne suis pas physicien !), cela paraît plutôt peu convaincant, car en fait, il faut poser 1+2+3+.. = -1/12 pour valider certaines formules écrites sur l'effet Casimir. Les gens mettent la charrue avant les boeufs quand ils disent que la physique prouve 1+2+3+... = -1/12 (en l'état actuel de mes faibles connaissances en physique)

Quand on généralise la notion de nombre, déjà on fait les réels, ça tout le monde les accepte. Après, on fait les complexes. Les matheux adorent cet ensemble parce qu'il est algébriquement clôt et que du coup tout va bien dedans. Mais les jeunes on du mal parce que ça ne correspond à "rien de concret".
Après, si on veut généraliser un peu plus, on ne peut pas agrandir le corps des complexes (justement parce qu'il est algébriquement clôt). Cependant, si on est prêt à restreindre un peu ce qu'on attend des nombres, on peut définir les quaternions. C'est super cool, ça élargit les complexes de la même manière que les complexes élargissaient les réels, ça sert à calculer les rotations dans les jeux vidéos de manière rapide... Sauf que la multiplication n'est plus commutative !

...On a plus \(\forall a,b, a\times b = b \times a\).

Mais alors, c'est encore des nombres ?
Et si on veut généraliser encore plus..? Eh ben on peut parler des octonions, (encore le même lien avec les quaternions que les quaternions avec les complexes ou que les complexes avec les réels), sauf que là la multiplications n'est même plus associative : on a plus  \(\forall a,b,c (a\times b) \times c = a \times (b \times c)\).

...et on peut encore continuer ! Parle-t-on toujours de nombres ? Non ? Dommage, ça fait des algèbres de Lie intéressantes (mais là je vais vraiment trop loin). 

Mais bon, l'idée est là : les maths, c'est un outil. Les généralisations de l'addition infinie, c'est des généralisations de l'addition infinie. Ça permet d'additionner plus de choses, mais ça perd des propriétés. De la même manière que si on veut encore plus de nombres, ils perdent des propriétés. Après tu peux débattre philosophiquement/méta-mathématiquement sur laquelle de ces généralisations est naturelle, ou est la meilleure, ou pas. Le mathématicien, il s'en fout. Tu lui ponds une généralisation de l'addition, il te dit "voilà ce que tu as le droit de sommer, voilà ce que t'as pas le droit de sommer, voilà les propriétés intéressantes de ta généralisation, voilà les propriétés qu'elle n'a pas/plus". Il s'en fout de savoir si elle a plus de légitimité qu'une autre.
...Par contre il est capable de te montrer que peu importe la généralisation que tu vas faire (tant que tu la fait pas n'importe comment), la somme de tous les entiers, soit elle ne sera pas définie, soit elle vaudra -1/12...
Et c'est cette idée qui permet à plein de gens d'avancer que la somme vaut -1/12. C'est la seule valeur qui a de la légitimité en tant que "somme des entiers".

Pour ce qui est de la physique, tu as tout à fait raison, il faut vraiment se poser les bonnes questions.

Quand on modélise le monde par des maths (quand on fait de la physique, quoi), on utilise des outils mathématiques, mais on se demande pas forcément si on respecte les propriétés. Par exemple, pour résoudre une équation (ou une équa diff), le matheux va déjà se demander si elle a un sens, si il existe une solution, si elle est unique. Le physicien va utiliser les outils de résolution des matheux, et si ça donne des résultats absurdes, c'est qu'on avait pas le droit de les utiliser et/ou qu'il n'y avait pas de solution, etc.

Là, quand on crée la théorie derrière l'effet Casimir, n'a-t-on pas utilisé une addition infinie dont les propriétés donnaient déjà que la somme des entiers vaudrait -1/12 ? On dit qu'on a trouvé un résultat de maths dans la nature, mais en vrai, c'est pas plutôt qu'on a utilisé des maths qui contenaient ce résultat, et que nos observations nous donnaient déjà cet effet ? Ça nous fait un joli serpent qui se mord la queue

En fait, il faut surtout voir que la physique n'utilise pas de maths "naturelles" (parce qu'il n'y en a pas). La physique, c'est observer plein plein de choses, et chercher le truc matheux qui colle le mieux à ces observations. Après on tourne la moulinette mathématique, on prédit des choses, on les observe : si c'est le résultat attendu, on est content. Sinon, on se dit qu'il faut qu'on cherche un autre truc matheux pour modéliser le monde. On en cherche un, et on recommence. 
Dans tout les cas on fait des maths foireuses  

...Sauf que dire "la somme des entiers peut valoir -1/12 en physique" ça donne un peu plus de légitimité à la chose (qui est légitime, mais des fois on a la flemme de faire 5 pavés pour expliquer cette légitimité)... Et 'pis ça fait magique.
Mais en vrai, le fait que ça intervienne montre clairement que cette généralisation de l'addition, c'est pas juste du joujou de matheux complètement perché. Ça peut aussi être utile en physique ! 

Edit : je vais profiter aussi de ce post pour répondre aux questions qui ont été posées pendant que j'écrivais ce dit post.

Question 1 : Oui

Question 2 : Oui

Question 3 : Tel que c'est écrit, non. L'infini moins l'infini, c'est une forme indéterminée. (en fait, c'est surtout mal défini. Si tu fais converger la somme puis l'intégrale, tu obtiens \(+ \infty\), si tu fais l'inverse, tu obtiens \(- infty\). Si tu fais les deux en même temps, là encore ça dépend de comment : l'une deux fois plus vite que l'autre ? À la même vitesse (comme à la question 4) ?

Question 4 : La formule I est proprement définie, et c'est la définition qui paraîtrait la plus "naturelle" pour ce qui est écrit en (iii)

Question 5, là, ça devient un peu fouilli. Tu n'as pas totalement assimilé la notion. c'est normal, mais ça se voit
"f est holomorphe à truc" ne veut rien dire. Holomorphe, concrètement, ça veut dire "dérivable au sens des complexes". On ne dit pas "f est dérivable à g". Je crois que le début de mon post éclaire un peu, mais si des doutes persistes, n'hésites pas !
...Et du coup "holomorphique" n'existe pas non plus, c'est "holomorphe". 

Ça me fait penser à un truc que j'ai oublié sur le début de mon post (que je ne modifie pas parce que je suis relou).
Comment on sait que zêta (grande), évalué en -1, ça vaut -1/12, si la seule chose qu'on sait sur zêta (grande) c'est qu'elle existe ?
Eh bien, et ce justement avec la formule d'Euler-Mac-Laurin (ou de plein d'autres manières), on peut trouver d'autres formules qui définissent zêta (moyenne). C'est à dire des formules différentes de la définition de zêta qui sont définies par ci-par là (mais sur tout \(\mathbb{C} - \{-1\}\) c'est quand même mieux), et dont on peut démontrer l'égalité avec zêta (petite) sur l'ensemble de définition. Ces différentes formules nous permettent donc de calculer les valeurs de zêta grande.

C'est comme quand on veut calculer Pi. On a plein de manières différentes de le faire, et en fonction de ce qu'on veut, on peut choisir la formule de Machin ou la formule de Plouffe (noms véridiques).

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Edité par Grob' 10 mai 2016 à 19:20:16

Grob' a écrit:

Ça fait un gros coup de vieux de se faire vouvoyer, mais soit x)

Oups désolé 

Grob' a écrit:

L'idée, c'est que zêta, sur son ensemble de définition, est holomorphe.

...Et rien que cette propriété nous permet de la prolonger, en disant qu'il existe une unique fonction \({f}\) holomorphe sur \(\mathbb{C}\) égale à zêta sur son ensemble de définition.
Cela est suffisant pour définir \({f}\), qui est donc définie comme l'unique prolongement de zêta. Du coup, on décide d'appeler \({f}\) par le même nom. (donc forcément, au début, ça amène des confusions).

Quand tu écris "Et comment peut-on être sûr qu'elle sera égale à zêta sur un ensemble plus grand que l'ensemble de définition de zêta ?" tu fais cette confusion. zêta (petite), elle n'est définie que pour les complexes de partie réelle supérieure à 1. Il y a une fonction, définie par les théorème d'existence et d'unicité du prolongement, qui est égale sur l'ensemble de définition de zêta (petite). On l’appelle zêta (grande), du coup. Mais ces deux fonctions ne sont pas égale en dehors de l'ensemble de définition de zêta-petite ! En effet, cette dernière n'est même pas définie dessus.

Léon1789 a écrit:

question 5 : avec la fonction zêta de Riemann, on peut définir une opération (que j'ai du mal à appeler "somme généralisée", car l'opération perd les propriétés élémentaires de l'addition...) qui envoie l'ensemble des entiers naturels sur -1/12 en partant du calcul d'une somme... C'est ce que tu (LapinouX9) as écrit $$\sum_{k=1}^\infty k^{-s} = \zeta(s)  \ \ pour \ \ s>1$$ et  $$f(-1) = -1/12$$ où f est un prolongement méromorphe (pas holomorphe à cause de 1) de zêta sur le plan complexe entier.

En fait on a défini une nouvelle opération qui permet de calculer 1+2+3+4+... et cette opération est bien différente de celle que nous connaissons habituellement, car en se généralisant, elle a perdu de ses propriétés tout comme les nombres perdent de leurs propriétés lorsqu'ils appartiennent à un ensemble toujours plus grand (comme l'ensemble \(\mathbb{H}\) je suppose, d'après ce qu'a dit Grob'), c'est bien ça ?

Léon1789 a écrit:

question 3 : j'aimerai bien voir un calcul explicite (mais la réponse est non si on utilise les définitions habituelles des séries et intégrales) 

Pour le calcul explicite de cette différence ... Ca va être compliqué pour moi mais je vais quand même me renseigner et essayer de le faire. Si quelqu'un y arrive et trouve le résultat attendu \(\frac{-1}{12}\), j'aimerai aussi bien le voir. 

Grob' a écrit:

...Sauf que dire "la somme des entiers peut valoir -1/12 en physique" ça donne un peu plus de légitimité à la chose (qui est légitime, mais des fois on a la flemme de faire 5 pavés pour expliquer cette légitimité)... Et 'pis ça fait magique.

Mais en vrai, le fait que ça intervienne montre clairement que cette généralisation de l'addition, c'est pas juste du joujou de matheux complètement perché. Ça peut aussi être utile en physique ! 

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Edité par LapinouX9 10 mai 2016 à 21:09:30

LapinouX9 :
oui, c'est ça (on pourrait reprendre certains détails dans tes phrases, mais je pense que ce n'est pas la peine, tu as saisi les idées).

Grob :
Merci encore pour ton nouveau message détaillé. Je partage complètement ce que tu as écrit.

Ta remarque sur les sur-ensembles de C (quaternions, octonions) est très juste. Perdre la commutativité, pas grave ; perdre l'associativité, c'est pas top, mais ok ; mais dire \(1+2+3+...= -1/12\) (car truc truc zeta prolongement etc.) et avec le même raisonnement obtenir \(0+1+2+3+... = 5/12\) (je peux détailler si besoin), ça me donne pas du tout envie d'y mettre les doigts !! 

Ce que l'on peut regretter, c'est que le coté magique (comme tu dis à juste titre) de 1+2+3+...= -1/12 est bien trop utilisé médiatiquement, et ne permet en rien de comprendre ce qui se cache dernière en réalité. La plus sage serait de ne pas utiliser le symbole + , mais simplement une lettre comme Z, du genre \(Z(1,2,3,4,...) = -1/12 \) et \( Z(0,1,2,3,...) = 5/12 \) . Là, plus de magie, plus d'arnaque médiatique...

Grob' a écrit:

Question 3 : Tel que c'est écrit, non. L'infini moins l'infini, c'est une forme indéterminée. (en fait, c'est surtout mal défini. Si tu fais converger la somme puis l'intégrale, tu obtiens \(+ \infty\), si tu fais l'inverse, tu obtiens \(- \infty\). Si tu fais les deux en même temps, là encore ça dépend de comment : l'une deux fois plus vite que l'autre ? À la même vitesse (comme à la question 4) ?

L'infini de l'intégrale n'est il pas plus "grand" que celui de la somme ?

Grob' a écrit:

 Question 5, là, ça devient un peu fouilli. Tu n'as pas totalement assimilé la notion. c'est normal, mais ça se voit

"f est holomorphe à truc" ne veut rien dire. Holomorphe, concrètement, ça veut dire "dérivable au sens des complexes". On ne dit pas "f est dérivable à g". Je crois que le début de mon post éclaire un peu, mais si des doutes persistes, n'hésites pas !
...Et du coup "holomorphique" n'existe pas non plus, c'est "holomorphe". 

Oui c'est tout nouveau pour moi  Donc on dit que zêta est holomorphe (zêta est dérivable au sens des complexes), on dit que \({f'(x)}\) est la dérivée de \({f(x)}\) je suppose. Quand j'ai dis "il existe une autre fonction, holomorphe à zêta, qui la prolonge", comment devrais-je dire ? Il existe une autre fonction holomorphe sur le même ensemble que zêta et qui est égale à zêta sur cet ensemble ?

Grob' a écrit:

 Ça me fait penser à un truc que j'ai oublié sur le début de mon post (que je ne modifie pas parce que je suis relou).

Comment on sait que zêta (grande), évalué en -1, ça vaut -1/12, si la seule chose qu'on sait sur zêta (grande) c'est qu'elle existe ?
Eh bien, et ce justement avec la formule d'Euler-Mac-Laurin (ou de plein d'autres manières), on peut trouver d'autres formules qui définissent zêta (moyenne). C'est à dire des formules différentes de la définition de zêta qui sont définies par ci-par là (mais sur tout \(\mathbb{C} - \{-1\}\) c'est quand même mieux), et dont on peut démontrer l'égalité avec zêta (petite) sur l'ensemble de définition. Ces différentes formules nous permettent donc de calculer les valeurs de zêta grande.

D'accord donc en fait (désolé, je pose pleins de questions mais c'est pour être sûr d'avoir bien compris) on sait que zêta est holomorphe et qu'il existe une fonction (zêta grande) qui prolonge zêta sur un ensemble plus grand. Il y a de nombreuses manières de définir cette fonction (zêta grande) et parmi lesquelles on a la manière de la formule d'Euler-MacLaurin qui peut permettre de définir cette fameuse fonction (zêta grande) et ainsi calculer les valeurs de zêta sur tout \(\mathbb{C}\), y compris \(\zeta({-1})\).

Mais j'aimerai bien savoir aussi (tant que j'y suis) comment on peut utiliser la formule d'Euler-MacLaurin pour définir zêta grande.

En tout cas merci beaucoup pour toutes ces explications ! 

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Edité par LapinouX9 10 mai 2016 à 21:59:17

Léon1789 a écrit:

 Ce que l'on peut regretter, c'est que le coté magique (comme tu dis à juste titre) de 1+2+3+...= -1/12 est bien trop utilisé médiatiquement, et ne permet en rien de comprendre ce qui se cache dernière en réalité. La plus sage serait de ne pas utiliser le symbole + , mais simplement une lettre comme Z, du genre \(Z(1,2,3,4,...) = -1/12 \) et \( Z(0,1,2,3,...) = 5/12 \) . Là, plus de magie, plus d'arnaque médiatique...

Comme le disait Grob', le signe + est une fonction à deux entrées. Il faudrait donc définir un nouveau symbole ou une nouvelle fonction qui a une infinité d'entrées (comme ce que tu disais avec Z(1,2,3,4,...)). pour que cette "somme" donne -1/12.

Corrigés moi si je me trompe.

Je laisse Grob répondre aux questions que tu lui pose.

Mais un détail, juste au passage : la grande Zêta est définie sur C\{1}, pas C tout entier. On dit quelle est holomorphe sur C\{1}, et méromorphe sur C .

Edit : je réponds à ta question juste au-dessus.
La fonction avec une infinité d'entrées existe, on peut la calculer pour obtenir l'image de la suite "1,2,3,..." (resp. "0,1,2,3,..") qui -1/12 (resp. 5/12). Mais la noter + , personnellement, tu as compris, je trouve ça choquant, voire pire.

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Edité par Léon1789 10 mai 2016 à 22:12:38

Oui c'est vrai j'avais oublié ... trop tard je vais pas tout corriger

EDIT :

Donc tout cela n'est en fait qu'un problème de notation. 

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Edité par LapinouX9 10 mai 2016 à 22:20:03

Grob disait :
<<
Mais en vrai, le fait que ça intervienne montre clairement que cette généralisation de l'addition, c'est pas juste du joujou de matheux complètement perché. Ça peut aussi être utile en physique !
>>

Je ne suis pas hyper convaincu sur cela. Je pense (spéculation !) plutôt que le coté physique (énergie, modes, etc.) peut s'expliquer de manière conventionnelle, avec les outils mathématiques classiques tout simplement, sans passer par des prolongements analytiques de la fonction zêta, etc. Le fait d'utiliser cette "boite noire mathématique" pour obtenir le bon résultat que l'on observe me paraît relativement fortuit et opportuniste (mais bon, je ne suis pas physicien ) . Cette boite noire n'est-elle pas un mauvais prétexte (fort médiatique) pour éviter les "bons" calculs classiques qui déboucheraient sur 1/12 ??

1er post : c'est à peu près ça

LapinouX9 a écrit:

L'infini de l'intégrale n'est il pas plus "grand" que celui de la somme ?

 Euuuh... Non... On peut tenter de détailler sur les infinis et leurs différences, mais l'infini n'est pas un nombre. Et cette notion n'est absolument pas simple à aborder. 

Oui c'est tout nouveau pour moi  Donc on dit que zêta est holomorphe (zêta est dérivable au sens des complexes), on dit que \({f'(x)}\) est la dérivée de \({f(x)}\) je suppose. Quand j'ai dis "il existe une autre fonction, holomorphe à zêta, qui la prolonge", comment devrais-je dire ? Il existe une autre fonction holomorphe sur le même ensemble que zêta et qui est égale à zêta sur cet ensemble ?

 Oui. Voire "il existe une autre fonction, holomorphe (partout (sauf en 1)), qui est égale à zêta sur son ensemble de définition (son = celui de zêta) "

D'accord donc en fait (désolé, je pose pleins de questions mais c'est pour être sûr d'avoir bien compris) on sait que zêta est holomorphe et qu'il existe une fonction (zêta grande) qui prolonge zêta sur un ensemble plus grand. Il y a de nombreuses manières de définir cette fonction (zêta grande) et parmi lesquelles on a la manière de la formule d'Euler-MacLaurin qui peut permettre de définir cette fameuse fonction (zêta grande) et ainsi calculer les valeurs de zêta sur tout \(\mathbb{C}\), y compris \(\zeta({-1})\).

Mais j'aimerai bien savoir aussi (tant que j'y suis) comment on peut utiliser la formule d'Euler-MacLaurin pour définir zêta grande.

C'est très bien de poser plein de questions C'est ça, du coup.
Comment on l'utilise ? Comme à chaque fois qu'on l'utilise, de manière pas très jolie. (J'ai un point de vue biaisé sur l'analyse :P)

...Enfin le papier que j'ai sous la main (un cours sur les fonctions holomorphes avancé, "fonctions holomorphes fonctions spéciales". ça se trouve sur internet, mais sans le bagage, c'est p'tet pas super simple à comprendre) il fait des formules qui font un retour à la ligne. En maths c'est peu courant (en physique c'est plus courant d'avoir 5 retours à la ligne dans la même formule). Mais bref c'est des formules assez longues. (Et c'est la version complexe d'Euler-Mac-Laurin qui est utilisée, pas la réelle).

Bref je laisse volontiers ma place à quiconque voudra parler de cette formule. P'tet que quand une motive me reviendra, je m'énerverais, mais là... Désolé. 

Léon : si t'as la foi (ou un lien) pour le 5/12 je suis preneur

Et déjà en général on évite d'utiliser le symbole +, mais on utilise plutôt le sigma majuscule... Après, de toute manière, on note ce qu'on veut comme on veut. Tant qu'on est capable de se comprendre.

(Aussi, pour ceux qui feraient un tant soi peu référence à la vidéo de MicMaths quand ils abordent ce sujet, il faut savoir qu'il adore les sujets tendancieux, parce que selon lui ça aide à réfléchir, et ça motive à comprendre)

Léon1789 a écrit:

Cette boite noire n'est-elle pas un mauvais prétexte (fort médiatique) pour éviter les "bons" calculs classiques qui déboucheraient sur 1/12 ??

Que ce soit le cas où non, au bout d'un moment, quand on fait de la physique, on veut une méthode qui donne des résultats corrects, et si possible rapidement. On va pas faire tourner le supercalculateur le plus puissant et faire des centaines de pages de calcul si on peut faire un truc dégueu qui prend 3 lignes et utilise une calculette.

Quand on fait de la physique de lycée on s'en rends pas forcément compte, mais si un jour tu abordes la physique quantique avancée et tous les aspects mathématique qu'il y a derrière... Après un calcul de 200 pages à faire comme un forcené, tu te jettera sur la boîte noire...

 ...Et puis de toute manière quel que soit le calcul, le résultat sera faux, alors bon...

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Edité par Grob' 10 mai 2016 à 23:26:23

Pour un nombre complexe z de partie réelle >1, on définit \(\zeta(z) = \sum_{k>0} 1/k^z \) (cela converge au sens classique des sommes partielles). On prolonge cette fonction \(\zeta \) par la fonction holomorphe \( Zeta \) sur C\{1}.

Pour une suite \((u_k)_{k>0}\), on note \( (\sum_k u_k) \) l'image de 0 (s'elle existe) par le prolongement de la fonction  \(z \mapsto \sum_{k>0} u_k / k^z \).
Cela peut se comprendre car \( k^0 = 1 \) et donc, visuellement,  on obtient \(0 \mapsto \sum_{k>0} u_k\), en particulier si la série \( \sum_{k>0} u_k\) converge au sens classique...

Par exemple, pour \(u_k = k\), on considère la fonction \(z \mapsto \sum_{k>0} k / k^z  = \sum_{k>0} 1/ k^{z-1}\) , que l'on prolonge par \( z \mapsto Zeta(z-1) \), et de là l'image de 0 est \( Zeta(-1) \), d'où $$ \sum_{k>0} k = Zeta(-1) = -1/12$$

Autre exemple, pour \(u_k = k-1\), on considère la fonction \(z \mapsto \sum_{k>0} (k-1) / k^z  = \sum_{k>0} 1/ k^{z-1} - 1/k^z\) , que l'on prolonge par \( z \mapsto Zeta(z-1)-Zeta(z) \), et de là l'image de 0 est \( Zeta(-1)-Zeta(0) \), d'où $$ '' \sum_{k\geq 0} k =\ '' \quad \sum_{k>0} (k-1) = Zeta(-1)-Zeta(0) = -1/12 - (-1/2) = 5/12$$

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Edité par Léon1789 11 mai 2016 à 9:11:56

https://www.youtube.com/watch?v=vMnkmBCvGQc

https://www.youtube.com/watch?v=IghfFlXK__U

Toutes mes excuses, mais il semble que l'on a dit des âneries...