bonjour ,je fais actuellement des cours d'informatique avec un professeur, il m'a présenter un un petit exercice qui est le suivant:soit un tableau définit par n ligne et n colonne avec n nombre impair ,il faut remplir ce tableau de manière a ce que la somme de la première ligne soit égale a celle de la deuxième ...a celle de la première  colonne,de la deuxième...première diagonal égale a la deuxième ,bon il m'a donné une petite méthode et ça marche ,mais est ce que c 'est possible choisir le nombre qu'on veut qu'il soit égale à?

ps:je sais pas si vous connaissez cet exercice ,si ce n'est pas le cas  vous pouvez me  le demander pour vous donner le méthode de résolution de l'énoncé que m'a donné le professeur. 

merci cordialement

le problème que tu décris est celui de la construction des carrés magiques, terme consacré, la somme commune étant usuellement appelée constante magique. Ils sont connus depuis la nuit des temps( carrés magiques d'ordre 3 retrouvés en Chine datant de 650 avant JC, ...sans algo informatique !  ), avec de nombreuses méthodes de construction manuelle 
cf l'article de Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_magique_(math%C3%A9matiques) . Il y a foison d'articles sur le sujet.

Le plus courant est de construire un carré magique dit normal ( est ce le cas de ton algorithme?): les cases sont remplies par les  \(n^2\) premiers entiers consécutifs . Dans ce cas , il est facile de voir que la constante ne dépend que de \(n\) et vaut \(\frac{n(n^2+1)}{2}\). Une  construction est effectivement plus simple pour une dimension impaire.

Pour un carré quelconque, on ne peut pas toujours construire un carré magique de constante arbitraire. Si on prend le simple exemple d'un carré magique pour \(n=3\), la somme pour un carré normal est 15. Mais on peut montrer que cette somme vaut nécessairement 3 fois la valeur de la case centrale. La constante d'un carré magique d'ordre 3 est donc nécessairement un multiple de 3. 

 On peut construire des carrés magiques avec des contraintes imposées très diverses.

exemples:

carrés magiques constitués uniquement de nombres premiers,

ou encore carrés diaboliques où la somme constante doit être vérifiée sur d'autres configurations prédéfinies ( usuellement les diagonales partielles)

il existe aussi des carrés sataniques !   

etc.

il reste des problèmes mathématiques ouverts sur le sujet, ne serait ce que leur dénombrement dés que n est supérieur ou égal à 6. voir ici http://www.trump.de/magic-squares/howmany.html le nombre extraordinairement élevé  de carrés magiques selon n avec un nombre très limité de dénombrements exacts.
Mais malgré ce nombre très élevé, les carrés magiques normaux  représentent une proportion infime des carrés normaux possibles ,c.a.d. construits avec les \(n^2\) premiers entiers successifs qui sont évidemment au nombre de \((n^2)!\) . Pour \(n=5\) , cette proportion n'est que de \(1,77. 10^{-17}\) environ ! et décroit fortement lorsque \(n\) augmente. Même pour l'unique carré magique normal  d'ordre 3, on a une chance sur 362880 de tomber dessus si on place les neuf  nombres constitutifs au hasard .

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Edité par Sennacherib 2 mai 2019 à 10:39:09

Merci bcp pour v9s information, ce que je savoir exactement, est ce qu'on peut définir cette somme, même si on  ne travaillera plus dans l'ensemble N

Merci cordialement 

Si on ne travaille plus dans N, on travaille dans quoi ?

D'ailleurs, dans le cas classique, on ne travaille pas réellement dans N, on travaille dans une toute partie de N, on travaille dans l'ensemble des entiers entre 1 et n² (en tout cas, c'est le cas le plus classique).

A partir de la solution donnée par ton prof, imagine qu'on ajoute 100 à chacun des nombres de la grilles, les contraintes sont toujours respectées, on est toujours dans N, mais la somme que tu obtiens n'est plus la même.