Déformation de signal du à une source en mouvement

7 janvier 2019 à 0:09:20

Bonjour,

J'avais une question un peu particulière concernant un phénomène physique.

Je cherche à étudier le mouvement d'un satellite qui passe au dessus d'une antenne fixe sur le sol.

Le mouvement de ce satellite importe peu ici, j'ai réussi à en extraire la fonction \(R(t)\), la distance entre l'antenne et le satellite au cours du temps.

Le satellite est supposé envoyé une onde. Que je suppose simple pour le moment, c'est à dire de la forme :

\[y(t) = a.e^{2i\pi f_0 t}, a \in \mathbb{R} \]

Dans mon exemple, \(f_0\) vaut 26 GHz, mais là encore, ça n'a pas d'importance.

Non, mon problème vient des deux équations suivantes :

Premièrement, je sais que le signal va être retardé au cours du temps. et le signal reçu \(y_2(t)\) est donc :

\[y_2(t) = a.e^{2i\pi f_0 \left( t + \tau(t) \right)} \]

Où \( \tau(t) = \frac{R(t)}{c} \)

MAIS, je sais également que le signal va subir un effet Doppler et subir un décalage en fréquence \( \Delta f (t) = \frac{d R(t)}{dt} * \frac{f0}{c} \) (expression simplifiée du fait que la vitesse du satellite est négligeable vis à vis de la vitesse de la lumière).

L'expression du signal décalé (shifté) en fréquence (signal ayant subi l'effet Doppler) est :

\[y_3(t) = a.e^{2i\pi \left( f_0 + \Delta f (t) \right) t} \]

Voilà mon soucis : Je cherche le lien entre les deux équations. Je m'explique. J'ai l'impression que le signal \(y_2\), correspond au vrai signal reçu. Et que la déformation du signal qui en résulte, inclue l'effet doppler décris dans \(y_3\).

Mais quand j'ecris l'équation avec des exemples, ça ne marche pas. Dès que R(t) n'est pas juste linéaire, j'ai l'impression que certe \(y_2\) inclu l'effet Doppler, mais inclue également une autre déformation du signal... Que je n'arrive pas a cernée.

J'ai en effet toujours cru, (si on se place au fin fond de l'univers sans autres perturbations) que la déformation d'un signal dû a une source en mouvement était uniquement lié a l'effet Doppler.

Et donc, on pourrait s'attendre à ce qu'on puisse exprimer \(y_2\) en fonction de \(y_3\) et éventuellement d'une constante qui serait un offset au niveau du délai.

Toutefois, il suffit de prendre \(R(t) = \cos(t)\) pour voir que quelque chose cloche. L'équation \(y_2\) nous décris alors une déformation du signal qui est différente de \(y_3\). Donc il y a "une déformation en plus"...

Mais c'est quoi cette déformation ? Quel est le phénomène physique qui en est la cause ?

Si vous pouviez m'éclairer là dessus, je vous en serait reconnaissant.

Merci d'avance

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Edité par Graille 7 janvier 2019 à 0:10:00

Sennacherib

8 janvier 2019 à 21:06:46

j'ai l'impression qu'il y a une confusion . Les équations de \(y_2, y_3\) ne correspondent pas à l'équation de l'onde progressive qui se propage du satellite au récepteur ( ... je ne sais pas trop ce qu'elles représentent ).

L'onde progressive ( en 3D) est de la forme \(y=ae^{i(\omega_0 t-\vec{k_0}.\vec{r})} \) ou \(y=ae^{i(\omega' t'-\vec{k'}.\vec{r'})} \) selon le repère dans lequel on se place. Et l'effet Doppler -Fizeau est, pour moi, implicitement inclus dans le changement de repère général selon les transformations de Lorentz qui expriment \((x', t')\) en fonction de \((x,t)\).Par identification en considérant que la phase est un invariant relativiste, on obtient la relation donnant \(\omega',k'\)fonction de \(\omega,k\).

On obtient en particulier alors en se ramenant aux fréquences \(\omega/2\pi\):\(f'=f_0\frac{1-v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=f_0\sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\) où \(v\) et la vitesse de la source.

Pour \(v<<c\) on retrouve la relation classique non relativiste par un développement à l'ordre 1 \(f'=f_0(1-v/c)\) soit \(\Delta f=f_0\frac{v}{c}\) qui est la relation approchée que tu rappelles avec \(v=\frac{dR}{dt}\)

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Edité par Sennacherib 8 janvier 2019 à 21:55:12

tout ce qui est simple est faux, tout ce qui est compliqué est inutilisable