Bonsoir. Je n'étais pas revenu sur ce site depuis un long moment... et je dois avouer que la section mathématiques m'est totalement étrangère. En effet, j'ai passé un bac L, et n'ai (donc) qu'un niveau faible en maths.
Si je choisis de poster ici, c'est que je pense que vous serez en mesure de m'apporter ce que je recherche : une bonne démonstration mathématique pure et dure.

Pour la petite histoire, j'étais avec mes deux frères, on parlait poker, puis jeux de hasard... je ne sais plus exactement pourquoi j'ai affirmé : "Si on lance une pièce un nombre indéterminé de fois, on va nécessairement avoir autant de pile que de face à un moment."
Je pensais que personne ne me contredirait, mais mes frères s'obstinant à me contredire, la discussion a duré un petit moment, et les arguments ont fusé, malgré le côté "illégitime" de ces arguments, puisque non-appuyés de réelle démonstration mathématique. - pas que j'en sois féru, je ne vois pas comment sortir de l'impasse sans en passer par là.
Je joue beaucoup au poker, et j'ai donc en tête des concepts le concept de variance, qui me parait être tout à fait à sa place ici. Je ne sais pas si ceci est utile à une quelconque démonstration, mais j'avais avancé l'argument suivant : "Le pourcentage de chance pour que la pièce tombe une infinité de fois du même côté est strictement nulle." partant du fait que le pourcentage de chance pour que la pièce tombe de l'autre côté augmente nécessairement avec le nombre d'essais, et que s'il s'agit de l'infini, c'est forcément 100% de chance. (J'avais lu une démonstration prouvant que 0.9999999999(une infinité de 9) = 1 (strictement, pas à approximativement))

Je voudrais donc votre aide pour prouver mathématiquement ma première affirmation, et j'aimerais également savoir si mes arguments ont leur place dans la discussion ou si je tape à côté.
Merci d'avance.

Cela s'appelle la loi forte des grands nombres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_forte_des_grands_nombres

Donc oui, pour un grand nombre de lancers de pièces, tu vas avoir environ 50% de piles et 50% de face.

Citation : Hod

Cela s'appelle la loi forte des grands nombres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_forte_des_grands_nombres

Donc oui, pour un grand nombre de lancers de pièces, tu vas avoir environ 50% de piles et 50% de face.

Euh... merci, mais ce n'est pas vraiment ce que je demande.
"Pour un grand nombre de lancers"... ok, il est question d'un nombre de lancers indéterminés : Si tu lances jusqu'à ce que ça marche, et que ta descendance le fait, ect... ect... tu peux être sûr à 100% que ça va marcher à un moment. Là est l'affirmation à prouver.
Quelqu'un serait-il capable de m'en faire la démonstration mathématique ?

La loi forte des grands nombres a l'air de pouvoir appuyer mon raisonnement, mais comme je l'ai dit, je n'ai vraiment que peu de connaissances en maths...

Je ne vois pas en quoi ce que Hod à dis ne réponds pas à ton problème, où alors c'est que je n'ai pas compris .

Je reformule donc.
Je voudrais prouver mathématiquement qu'il y a 100% de chance pour qu'il y ait autant de pile que de face à un moment.



Edit : Ah, et j'ajoute : Pour <math>\(\infty\)</math> lancers, l'affirmation précédente est vraie.

C'est exactement ce que dit cette loi.
En plus niveau démonstration, la page Wikipédia est bien fournie je trouve. x)



Edit : En fait, la loi dit exactement ce que tu veux prouver, mais dans un formalisme mathématiques que tu ne sembles pas avoir. Je pense que tu l'as vu mais la démonstration est vraiment complexe et prends plusieurs pages. Il y a des concepts qui paraissent simple, ou disons que l'intuition nous y guide, mais dont la démonstration est bien plus complexe qu'il n'y parait. En voila un exemple.

Ton énoncé n'est pas clair car il y a une subtilité que tu omets. Il y a en effet une différence entre "Un événement arrivera nécessairement" et "Il y a une probabilité 1 que l'événement arrive". En probabilité il est tout à fait possible de concevoir des expériences qui mènent à des événement de probabilité 1 qui n'arrivent pas.
Exemple:
Prenons une variable aléatoire uniforme sur [0,1] que l'on appelle X, c'est-à-dire que l'expérience X revient à choisir au hasard un nombre réel entre 0 et 1. La probabilité que ce réel soit différent de 0.5 est bien égale à 1, pourtant, "X = 0.5" n'est pas un événement impossible.

Il faudrait donc déjà que tu sois claire sur ce point...

Reformulée selon ton problème, la loi forte des grands nombres dit que pour une chaîne binaire infinie <math>\(x_1x_2x_3 \dots x_k \dots\)</math> (où <math>\(x_i = 0 \textrm{ ou } 1\)</math> pour tout i) tirée au hasard, on a <math>\(\underset{n \to +\infty}{\lim} \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{2}\)</math>.

C'est bien ce tu affirmes (pour une infinité de lancers).


Si maintenant, on regarde ton affirmation "au bout d'un moment", tu raisonnes sur des chaînes binaires finies de longueur non bornée. Alors on peut, je crois, dire (demander confirmation aux spécialistes) que pour des chaînes finies tirées au hasard, le nombre de 1 et le nombre de 0 est approximativement égal, ce que j'interprète comme la différence entre le nombre de 0 et le nombre de 1 est bornée donc devient 'ridicule' devant la longueur de la chaîne 'au bout d'un moment'.

C'est exactement ça.
Le théorème de convergence en probabilité est, je trouve, extrêmement raffiné.

Tout simplement, un critère extrêmement simple à démontrer et utiliser (critère de Markov) :

Soit X une variable aléatoire positive tel que E(X) existe.
<math>\(\forall a>0 P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}\)</math>

(Je vous passe la démonstration triviale)

Et il y a pleins de petits lemmes et critères que je trouve super intéressant.

Je pensais que ça serait une démonstration plus à la hauteur de ma compréhension.
Merci en tout cas.

Citation : kimimarokun

"Si on lance une pièce un nombre indéterminé de fois, on va nécessairement avoir autant de pile que de face à un moment."

Cette proposition-ci est fausse pour un nombre fini de fois
Contre-exemple :
Tu tires à chaque fois pile. Il n'y aura jamais jusqu'au dernier tirage inclus un nombre égal de pile et de face. Et c'est une possibilité valable, même si tu as <math>\(1/2^n\)</math> chances que ça arrive avec <math>\(n\)</math> tirages.

La démonstration est parfaitement à hauteur de ta compréhension ...

On peut voir ton résultat comme conséquence de l'inégalité de Tchebychev (en 2 lignes), inégalité par ailleurs très simple à démontrer (2 lignes).

Vous parlez de la loi FORTE des grands nombres, c'est vraiment tuer des mouches à la bombe H... La loi faible suffit ici très très amplement. D'ailleurs si quelqu'un a, par pure curiosité, une application "utile" (je veux dire un résultat voulant dire quelque chose) de la loi FORTE qui ne peut pas être obtenue par la loi faible, je suis preneur. Honnêtement je n'ai aucun exemple en tête.

Citation : kimimarokun

Je voudrais prouver mathématiquement qu'il y a 100% de chance pour qu'il y ait autant de pile que de face à un moment.

C'est totalement faut, il y a à chaque lancer 50% de chances de faire pile, ce qui se traduit dans l'experience par autant de pile que de face au bout d'un grand nombre ( d'ailleurs j'avais fait un petit programme sur ma calculette, au bout de 100 lancer déjà on est très proche d'un 50/50 ). Mais mathématiquement parlant il existe évidement un chance de ne pas faire 50%, infinie ou pas.

Citation : damjuve

Citation : kimimarokun

Je voudrais prouver mathématiquement qu'il y a 100% de chance pour qu'il y ait autant de pile que de face à un moment.

C'est totalement faut, il y a à chaque lancer 50% de chances de faire pile, ce qui se traduit dans l'experience par autant de pile que de face au bout d'un grand nombre ( d'ailleurs j'avais fait un petit programme sur ma calculette, au bout de 100 lancer déjà on est très proche d'un 50/50 ). Mais mathématiquement parlant il existe évidement un chance de ne pas faire 50%, infinie ou pas.

Tiens, la loi forte des grands nombre mises à défaut en 5 lignes...

Salut,

La loi des grands nombres ne résoud pas la question posée. Il est tout à fait possible que les proportions de piles et de faces tendent vers 50% chacune sans pour autant qu'il y ait autant de piles que de faces à un moment donné. Voici un exemple :

Pile, Pile, Face, Pile, Face, Pile, Face, Pile... (deux Piles au début et ensuite on alterne)

alors cette suite là a bien des proportions de piles et de faces qui tendent vers 50%, mail il n'y aura jamais autant de piles que de faces car il y a toujours plus de piles que de faces.

Pour revenir à ce qui me semble être la question posé, à savoir montrer qu'avec probabilité égale à 1, il y aura à un moment autant de piles que de faces voici une preuve "intuitive" :

Supposons qu'on a 0 points au départ, qu'on gagne 1 point quand on fait pile et qu'on en perd 1 quand on fait face. Par exemple, si les premiers tirages sont F, P, P, P, F, P, F, F, P..., alors les points varient comme ça : 0, -1, 0, 1, 2, 1, 2, 1, 0, 1... (les nombres peuvent être négatifs).

Dans ce cas, ton problème revient à se demander si on va repasser par 0 à un moment donné. Car si on est à 0 c'est qu'on a fait autant de piles que de faces.

Après le premier lancé on est à -1 ou 1. On peut supposer qu'on est à 1 puisque de toute façon c'est symétrique) Alors :

• Quand on est à 1, on a une chance sur 2 de revenir en 0 avant d'aller en 2.
• Si on va quand même en 2 avant d'être à 0, alors on a une chance sur 2 de retourner en 0 avant d'aller en 4 (puisque 0 et 4 sont à égale distance de 2)
• Si on va quand même en 4 avant d'être à 0, alors on a une chance sur 2 de retourner en 0 avant d'aller en 8 (puisque 0 et 8 sont à égale distance de )
• Si on va quand même en 8 avant d'être à 0, alors on a une chance sur 2 de retourner en 0 avant d'aller en 16 (puisque 0 et 16 sont à égale distance de )
• ... et caetera ...

Donc la probabilité de ne jamais revenir en 0 est égale à <math>\((1/2)\times(1/2)\times (1/2)\times (1/2)...=0\)</math>. (les points de suspension (...) signifient qu'on multiplie une infinité de fois 1/2).

Et donc la probabilité de revenir en 0 est égale à 1 ! Il y a donc autant de piles que de faces à un moment donné. Autrement dit, puisque à chaque étape, il a une chance sur 2 de revenir en 0 et qu'il y a une infinité d'étape, il finira forcément par saisir sa chance de revenir en 0.

(Entre parenthèse, ceci montre donc que la suite que j'ai donnée au tout début n'a pas un comportement "typique" de ce qui se passe quand on lance vraiment des pièces.)

Citation : Hod

Citation : damjuve

Citation : kimimarokun

Je voudrais prouver mathématiquement qu'il y a 100% de chance pour qu'il y ait autant de pile que de face à un moment.

C'est totalement faut, il y a à chaque lancer 50% de chances de faire pile, ce qui se traduit dans l'experience par autant de pile que de face au bout d'un grand nombre ( d'ailleurs j'avais fait un petit programme sur ma calculette, au bout de 100 lancer déjà on est très proche d'un 50/50 ). Mais mathématiquement parlant il existe évidement un chance de ne pas faire 50%, infinie ou pas.

Tiens, la loi forte des grands nombre mises à défaut en 5 lignes...

absolument pas, la loi des grand nombre montre qu'on tombera sur du 50/50 en faisant beaucoup de combinaison, mais mathématiquement il existe toujours une probabilité que ça n'arrive pas, c'est le sens même des proba.

Citation : damjuve

Citation : Hod

Citation : damjuve

Citation : kimimarokun

Je voudrais prouver mathématiquement qu'il y a 100% de chance pour qu'il y ait autant de pile que de face à un moment.

C'est totalement faut, il y a à chaque lancer 50% de chances de faire pile, ce qui se traduit dans l'experience par autant de pile que de face au bout d'un grand nombre ( d'ailleurs j'avais fait un petit programme sur ma calculette, au bout de 100 lancer déjà on est très proche d'un 50/50 ). Mais mathématiquement parlant il existe évidement un chance de ne pas faire 50%, infinie ou pas.

Tiens, la loi forte des grands nombre mises à défaut en 5 lignes...

absolument pas, la loi des grand nombre montre qu'on tombera sur du 50/50 en faisant beaucoup de combinaison, mais mathématiquement il existe toujours une probabilité que ça n'arrive pas, c'est le sens même des proba.

Ouai, mais j'ai envie de dire que dans la réalité tu réalises pas un nombre infini de lancers donc de toute manière la question n'a aucun sens et d'un autre côté, mettre à défaut une probabilité "quasi-certaine" c'est possible, mais encore une fois, son énoncé il est plus théorique qu'autre chose alors si on commence à dire "oui, mais dans la réalité, il est possible que ce ne soit pas 50/50 car on a une probabilité 10^-50 que cela n'arrive pas", alors on peut arrêter les probabilités tout de suite.

C'est d'ailleurs une très jolie question, "quelle est la probabilité qu'à un moment donné, on ait exactement autant de pile que de face". Mais la résolution de cette dernière est bien plus complexe : elle donne ce que l'on appelle la "loi de l'arcsinus".

Si l'objectif était de montrer à la communauté toute entière que tu connais cette loi sache qu'elle en est ravie.

Si l'objectif était de vraiment parler de cette loi, c'est raté.

en faite en relisant la question : "en un nbre infinie de lancer est on sure d'avoir 50-50 à un moment" je vois deux interprétation de la question :
- la première c'est "est ce que au bout d'une infinité de lancer on aura 50-50" et là c'est stupide puisque au bout d'une infinité ne veut rien dire
- la seconde c'est "est ce qu'à un moment on aura forcément 50-50" et là j'avais lue un article sur l'infinie, qui disait que dans l'infinie, toutes les combinaisons possible d'un evenement se produise une infinité de fois. Donc oui à un moment on aura forcément 50-50.

Jerry souls killer.

Citation : damjuve

en faite en relisant la question : "en un nbre infinie de lancer est on sure d'avoir 50-50 à un moment" je vois deux interprétation de la question :
- la première c'est "est ce que au bout d'une infinité de lancer on aura 50-50" et là c'est stupide puisque au bout d'une infinité ne veut rien dire
- la seconde c'est "est ce qu'à un moment on aura forcément 50-50" et là j'avais lue un article sur l'infinie, qui disait que dans l'infinie, toutes les combinaisons possible d'un evenement se produise une infinité de fois. Donc oui à un moment on aura forcément 50-50.

Non. Elles se produisent une infinité de fois avec probabilité 1.

Citation : damjuve

la seconde c'est "est ce qu'à un moment on aura forcément 50-50" et là j'avais lue un article sur l'infinie, qui disait que dans l'infinie, toutes les combinaisons possible d'un evenement se produise une infinité de fois. Donc oui à un moment on aura forcément 50-50.

Je crois que le théorème dit qu'une chaîne infinie aléatoire contient presque sûrement toute chaîne finie une infinité de fois.
(Voir paradoxe du singe savant)

EDIT : grillé

ouai c'était ça que j'avais lue

De toute façon l'infinie et les proba ne sont pas vraiment compatible, l'analyse de proba à l'infinie n'aporte pas grand chose ...

Ha bon ?
C'est la première fois que j'entends ça.
Et des probabilités sur des espaces infinis indénombrables, c'est pas intéressant peut-être ?

Par contre je suis d'accord, l'analyse n'est qu'un outil pour traiter les probabilités dans ce genre de cas.

Allez, hop pour te renseigner, voila un lien sur la notion de Tribu : http://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_%28 [...] A9matiques%29

je parle dans le cadre de l'analyse d'un bête lancé de pile ou de face mais bien sure qu'il doit y a voir des proba de l'infinie et beaucoup d'autre chose dont j'ignore tout c'est ça qui est bon
Je parlais dans le cadre de sa question

Si l'on suppose que la probabilité d'obtenir pile est 1/2 (et donc pareil pour face), et que les lancers sont indépendants, alors, avec probabilité 1, il existe une étape où l'on aura exactement 50% de piles et 50% de faces.
Mais ATTENTION! "Avec probabilité 1" ne signifie pas "de manière sûr", mais signifie plutôt "de manière presque sûr". "Presque sûr" a une définition précise en mathématiques, qui ne peut réellement se comprendre dans toute sa profondeur qu'en connaissant les bases de la théorie de la mesure.

Citation : damjuve

en faite en relisant la question : "en un nbre infinie de lancer est on sure d'avoir 50-50 à un moment" je vois deux interprétation de la question :
- la première c'est "est ce que au bout d'une infinité de lancer on aura 50-50" et là c'est stupide puisque au bout d'une infinité ne veut rien dire
- la seconde c'est "est ce qu'à un moment on aura forcément 50-50" et là j'avais lue un article sur l'infinie, qui disait que dans l'infinie, toutes les combinaisons possible d'un evenement se produise une infinité de fois. Donc oui à un moment on aura forcément 50-50.

Eh bien, je dirais que tu fais erreur à propos de la première affirmation :
- Pour <math>\(\infty\)</math> lancers, la probabilité d'avoir 50% de pile et 50% de face est égale à 100%.
Ce qui a été confirmé... et ce qui suppose que la deuxième affirmation est vraie aussi.

Citation : GéoMl17

Donc la probabilité de ne jamais revenir en 0 est égale à <math>\((1/2)\times(1/2)\times (1/2)\times (1/2)...=0\)</math>. (les points de suspension (...) signifient qu'on multiplie une infinité de fois 1/2).

Et donc la probabilité de revenir en 0 est égale à 1 ! Il y a donc autant de piles que de faces à un moment donné. Autrement dit, puisque à chaque étape, il a une chance sur 2 de revenir en 0 et qu'il y a une infinité d'étape, il finira forcément par saisir sa chance de revenir en 0.

C'est cette réflexion que j'avais en tête.

Sujet résolu. Merci à tous.

Il semblerait que seul GéoMl17 ait compris le problème posé par kimimarokun :
La probabilité qu'au bout d'un nombre fini (mais non borné) de lancers on se retrouve avec autant de piles que de faces est-elle 1 ?
À cette question la réponse est oui cela correspond à la récurrence d'une marche aléatoire discète et isotrope en dimension 1 il est d'ailleurs interessant que savoir que cela est encore valable en dimension 2. En fait on même mieux : pour tout n, la probabilité qu'au bout d'un nombre fini (mais non borné) de lancers on se retrouve avec n piles de plus que de faces est 1.

Bonjour,

Je me permet de faire remonter ce sujet pour partager cette vidéo que je viens de découvrir sur le site Images des Mathématiques. Il y est justement question des suites de pile ou face et en particulier de la loi de l'arcsinus qu'a évoqué Aladix. C'est pas super récent mais je trouve quand même ça très instructif pour ceux qui veulent en savoir plus.